Licence de Mathématiques U.E. Groupes et Anneaux 2, (36MATS1

Universit´e Blaise Pascal, 17 mai 2005
UFR Sciences Exactes et Naturelles
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Licence de Math´ ematiques
U.E. Groupes et Anneaux 2, (36MATS1)
Dur´ee: deux heures. L’usage de tout document, et des calculatrices, ordinateurs et t´el´ephones
portables est interdit durant l’´epreuve.
Le sujet est compos´e de cinq exercices brefs, ind´ependants les uns des autres.
Exercice 1. D´eterminer `a isomorphisme pr`es tous les groupes d’ordre 45 (on pourra montrer
d’abord qu’ils sont n´ecessairement ab´eliens).
Exercice 2. Exprimer le polynˆome P(X, Y, Z) = (X+Y−Z)(X−Y+Z)(−X+Y+Z) en
fonction des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires, puis en fonction des sommes de Newton, dans
Q[X, Y, Z].
Exercice 3. Une preuve du th´eor`eme de Wilson par les th´eor`emes de Sylow.
1. Montrer que, pour tout n≥2, le nombre de n-cycles dans le groupe sym´etrique Snest (n−1)!
2. Montrer que, pour tout nombre premier p, les ´el´ements d’ordre pdans le groupe sym´etrique Sp
sont exactement les p-cycles.
3. En d´eduire que (p−1)! + 1 est divisible par ppour tout nombre premier p. (On pourra
introduire le nombre Npdes p-sous-groupes de Sylow de Sp, et calculer le cardinal de la r´eunion
des p-sous-groupes de Sylow).
Exercice 4. Applications du calcul des classes de conjugaison dans le groupe sym´etrique S4.
1. D´eterminer le nombre de classes de conjugaison de S4, leur cardinal, et un syst`eme de repr´esentants
de ces classes. (On pourra utiliser la formule donnant σγσ−1lorsque γest un cycle et σun ´el´ement
quelconque d’un groupe sym´etrique Sn).
2. En d´eduire le centre de S4.
3. Montrer que tout sous-groupe normal d’un groupe fini quelconque Gest une r´eunion de classes
de conjugaison. Utiliser alors la question a) pour d´eterminer les sous-groupes normaux de S4, en
les exprimant comme r´eunion de classes de conjugaison.
4. Red´emontrer, pour un groupe Gquelconque de centre Z(G), l’isomorphisme (vu en cours) entre
le quotient G/Z(G) et le groupe Int Gdes automorphismes int´erieurs de G. En d´eduire que Int S4
est isomorphe `a S4.
5 *. Combien S4admet-il de 3-sous-groupes de Sylow ? En d´eduire que le groupe Aut S4des
automorphismes de S4est isomorphe `a S4. Conclure que tout automorphisme de S4est int´erieur.
Exercice 5. Irr´eductibilit´e des polynˆomes Fp(X) = Xp−1+Xp−2+· · · +X2+X+ 1 (ppremier).
1. Soit Aun anneau commutatif int`egre. Montrer qu’un ´el´ement qde Aest irr´eductible dans Asi
et seulement si, pour tout automorphisme φde A, l’´el´ement φ(q) est irr´eductible dans A.
2. Soit Aun anneau commutatif int`egre. Montrer que, pour tout a∈U(A) et tout b∈A,
l’application φ:A[X]→A[X] d´efinie par φ(P(X)) = P(aX +b) est un automorphisme de l’anneau
A[X]. Exprimer φ−1(P(X)) en fonction de P(X).
suite au verso...
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3. On consid`ere dans Z[X] le polynˆome F7(X) = X6+X5+X4+X3+X2+X+ 1.
(i) Calculer les coefficients de F7(X+ 1).
(ii) Rappeler (sans d´emonstration) l’´enonc´e du crit`ere d’irr´eductibilit´e d’Eisenstein.
(iii) D´eduire des questions pr´ec´edentes que F7(X) est irr´eductible dans Q[X] et dans Z[X].
4. G´en´eraliser la question pr´ec´edente au polynˆome Fp(X) = Xp−1+Xp−2+· · · +X2+X+ 1, pour
tout nombre premier p.
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Universit´e Blaise Pascal, 21 juin 2005
UFR Sciences Exactes et Naturelles 2`eme session
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Licence de Math´ ematiques
U.E. Groupes et Anneaux 2, (36MATS1)
Dur´ee: deux heures. L’usage de tout document, et des calculatrices, ordinateurs et t´el´ephones
portables est interdit durant l’´epreuve.
Le sujet est compos´e de quatre exercices brefs, ind´ependants les uns des autres.
Exercice 1. Un groupe fini Gd’ordre 253 op`ere sans point fixe sur un ensemble fini `a 254 ´el´ements.
D´eterminer le nombre d’orbites et le cardinal de chacune d’entre elles.
Exercice 2. Montrer que le polynˆome P(X, Y ) = X2+Y2−1 est irr´eductible dans C[X, Y ].
Exercice 3. Soit Aun anneau commutatif. Un ´el´ement x∈Aest dit nilpotent s’il existe n∈N∗
tel que xn= 0.On note Il’ensemble des ´el´ements nilpotents de A.
i. Soient x∈Iet a∈A. Montrer que ax ∈I.
ii. Soient x, y ∈Iet n, m ∈N∗tels que xn=ym= 0.Montrer que (x+y)n+m= 0.
iii. En utilisant i) et ii) montrer que Iest un id´eal de A.
iv. Trouver le nombre d’´el´ements nilpotents de l’anneau Z/nZ.Expliciter ces ´el´ements pour le cas
n= 24.
v. Montrer que le polynˆome P(X) = anXn+an−1Xn−1+· · · +a0est nilpotent dans l’anneau A[X]
si et seulement si ses coefficients an, an−1, . . . , a0sont nilpotents dans A.
vi. Soient a, u ∈A,anilpotent et uinversible (a∈Iet u∈U(A)). Montrer que 1 + aet u+a
sont des ´el´ements de U(A).
vii. Montrer que le polynˆome P(X) = anXn+an−1Xn−1+· · · +a0est un ´el´ement de U(A[X])
si et seulement si a0∈U(A) et a1, . . . , an−1, ansont nilpotents dans A. Que devient ce r´esultat
lorsque Aest int`egre?
Exercice 4. On veut trouver le nombre de sous-groupes de Sylow du groupe sym´etrique S5.On
note Nple nombre de p-sous-groupes de Sylow de S5o`u pest un diviseur premier de 5!.
a)
i. Montrer que N5∈ {1,6}.
ii. Donner un exemple de 5-sous-groupe de Sylow de S5.
iii. Trouver N5.
b)
i. Montrer que N3∈ {1,4,10,40}.
ii. Trouver le nombre de 3-cycles de S5.
iii. On note par Q1, Q2, . . . , QN3les 3-sous-groupes de Sylow de S5.Trouver le nombre d’ ´el´ements
de l’ensemble Q1∪Q2∪ · · · ∪ QN3.
iv. Trouver N3.
c)
i. Montrer que N2∈ {1,3,5,15}.
ii. Trouver le nombre d’´el´ements du sous-groupe Pde S5engendr´e par ρ= (1,2,3,4) et =
(1,2) ◦(3,4).
iii. Montrer que Pest un 2-sous-groupe de Sylow de S5et trouver N2.
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