Licence de Mathématiques U.E. Groupes et Anneaux 2, (36MATS1
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Université Blaise Pascal,
UFR Sciences Exactes et Naturelles
Département de Mathématiques et Informatique
17 mai 2005
Licence de Mathématiques
U.E. Groupes et Anneaux 2, (36MATS1)
Durée: deux heures. L’usage de tout document, et des calculatrices, ordinateurs et téléphones
portables est interdit durant l’épreuve.
Le sujet est composé de cinq exercices brefs, indépendants les uns des autres.
Exercice 1. Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre 45 (on pourra montrer
d’abord qu’ils sont nécessairement abéliens).
Exercice 2. Exprimer le polynôme P (X, Y, Z) = (X + Y − Z)(X − Y + Z)(−X + Y + Z) en
fonction des polynômes symétriques élémentaires, puis en fonction des sommes de Newton, dans
Q[X, Y, Z].
Exercice 3. Une preuve du théorème de Wilson par les théorèmes de Sylow.
1. Montrer que, pour tout n ≥ 2, le nombre de n-cycles dans le groupe symétrique Sn est (n − 1)!
2. Montrer que, pour tout nombre premier p, les éléments d’ordre p dans le groupe symétrique Sp
sont exactement les p-cycles.
3. En déduire que (p − 1)! + 1 est divisible par p pour tout nombre premier p. (On pourra
introduire le nombre Np des p-sous-groupes de Sylow de Sp , et calculer le cardinal de la réunion
des p-sous-groupes de Sylow).
Exercice 4. Applications du calcul des classes de conjugaison dans le groupe symétrique S4 .
1. Déterminer le nombre de classes de conjugaison de S4 , leur cardinal, et un système de représentants
de ces classes. (On pourra utiliser la formule donnant σγσ −1 lorsque γ est un cycle et σ un élément
quelconque d’un groupe symétrique Sn ).
2. En déduire le centre de S4 .
3. Montrer que tout sous-groupe normal d’un groupe fini quelconque G est une réunion de classes
de conjugaison. Utiliser alors la question a) pour déterminer les sous-groupes normaux de S4 , en
les exprimant comme réunion de classes de conjugaison.
4. Redémontrer, pour un groupe G quelconque de centre Z(G), l’isomorphisme (vu en cours) entre
le quotient G/Z(G) et le groupe Int G des automorphismes intérieurs de G. En déduire que Int S4
est isomorphe à S4 .
5 *. Combien S4 admet-il de 3-sous-groupes de Sylow ? En déduire que le groupe Aut S4 des
automorphismes de S4 est isomorphe à S4 . Conclure que tout automorphisme de S4 est intérieur.
Exercice 5. Irréductibilité des polynômes Fp (X) = X p−1 + X p−2 + · · · + X 2 + X + 1 (p premier).
1. Soit A un anneau commutatif intègre. Montrer qu’un élément q de A est irréductible dans A si
et seulement si, pour tout automorphisme φ de A, l’élément φ(q) est irréductible dans A.
2. Soit A un anneau commutatif intègre. Montrer que, pour tout a ∈ U (A) et tout b ∈ A,
l’application φ : A[X] → A[X] définie par φ(P (X)) = P (aX + b) est un automorphisme de l’anneau
A[X]. Exprimer φ−1 (P (X)) en fonction de P (X).
suite au verso...
3. On considère dans Z[X] le polynôme F7 (X) = X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1.
(i) Calculer les coefficients de F7 (X + 1).
(ii) Rappeler (sans démonstration) l’énoncé du critère d’irréductibilité d’Eisenstein.
(iii) Déduire des questions précédentes que F7 (X) est irréductible dans Q[X] et dans Z[X].
4. Généraliser la question précédente au polynôme Fp (X) = X p−1 + X p−2 + · · · + X 2 + X + 1, pour
tout nombre premier p.
Université Blaise Pascal,
UFR Sciences Exactes et Naturelles
Département de Mathématiques et Informatique
21 juin 2005
2ème session
Licence de Mathématiques
U.E. Groupes et Anneaux 2, (36MATS1)
Durée: deux heures. L’usage de tout document, et des calculatrices, ordinateurs et téléphones
portables est interdit durant l’épreuve.
Le sujet est composé de quatre exercices brefs, indépendants les uns des autres.
Exercice 1. Un groupe fini G d’ordre 253 opère sans point fixe sur un ensemble fini à 254 éléments.
Déterminer le nombre d’orbites et le cardinal de chacune d’entre elles.
Exercice 2. Montrer que le polynôme P (X, Y ) = X 2 + Y 2 − 1 est irréductible dans C[X, Y ].
Exercice 3. Soit A un anneau commutatif. Un élément x ∈ A est dit nilpotent s’il existe n ∈ N∗
tel que xn = 0. On note I l’ensemble des éléments nilpotents de A.
i. Soient x ∈ I et a ∈ A. Montrer que ax ∈ I.
ii. Soient x, y ∈ I et n, m ∈ N∗ tels que xn = y m = 0. Montrer que (x + y)n+m = 0.
iii. En utilisant i) et ii) montrer que I est un idéal de A.
iv. Trouver le nombre d’éléments nilpotents de l’anneau Z/nZ. Expliciter ces éléments pour le cas
n = 24.
v. Montrer que le polynôme P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 est nilpotent dans l’anneau A[X]
si et seulement si ses coefficients an , an−1 , . . . , a0 sont nilpotents dans A.
vi. Soient a, u ∈ A, a nilpotent et u inversible (a ∈ I et u ∈ U (A)). Montrer que 1 + a et u + a
sont des éléments de U (A).
vii. Montrer que le polynôme P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 est un élément de U (A[X])
si et seulement si a0 ∈ U (A) et a1 , . . . , an−1 , an sont nilpotents dans A. Que devient ce résultat
lorsque A est intègre?
Exercice 4. On veut trouver le nombre de sous-groupes de Sylow du groupe symétrique S5 . On
note Np le nombre de p-sous-groupes de Sylow de S5 où p est un diviseur premier de 5!.
a)
i. Montrer que N5 ∈ {1, 6}.
ii. Donner un exemple de 5-sous-groupe de Sylow de S5 .
iii. Trouver N5 .
b)
i. Montrer que N3 ∈ {1, 4, 10, 40}.
ii. Trouver le nombre de 3-cycles de S5 .
iii. On note par Q1 , Q2 , . . . , QN3 les 3-sous-groupes de Sylow de S5 . Trouver le nombre d’ éléments
de l’ensemble Q1 ∪ Q2 ∪ · · · ∪ QN3 .
iv. Trouver N3 .
c)
i. Montrer que N2 ∈ {1, 3, 5, 15}.
ii. Trouver le nombre d’éléments du sous-groupe P de S5 engendré par ρ = (1, 2, 3, 4) et =
(1, 2) ◦ (3, 4).
iii. Montrer que P est un 2-sous-groupe de Sylow de S5 et trouver N2 .
