Fiche d`exercices n°4 bis - IMJ-PRG

Universit´e de Paris 6
Arithm´etique
LM 220 (INFO)
2011–2012.
Feuille d’exercices no4
Exercice 1. Lesquels de ces ensembles sont des groupes pour les lois de composition ?
(1) (N,+).
(2) (Z,+).
(3) (Z,×).
(4) (Z\ {0},×).
(5) (R\ {0},×).
(6) R2\ {(0,0)}avec la loi de composition suivante :
(x,y)∗(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+x′y).
Exercice 2. Soit (G,∗) un groupe.
(1) Donner la d´efinition d’un sous–groupe de G.
(2) Soient Het H′deux sous–groupes. Montrer que H∩H′est un sous-groupe de G.
(3) Que peut-on dire de la r´eunion de deux sous-groupes de G? (Indication :´ Etudier l’ensemble
Z·2∪Z·3.)
Exercice 3. Montrer que un sous–groupe Ade (Z,+) a toujours la forme Z·npour un certain
n. (Indication : On consid`ere le plus petit entier n∈A∩ {1,2,...}et on montre, avec l’aide de la
division euclidienne, que A=Z·n.)
Exercice 4. (1) Montrer que S={z∈C:|z|=1}est un sous–groupe de (C∗,×)
(2) Montrer que pour chaque entier n>0, le sous–ensemble Cn={z∈S:zn=1}est un
sous–groupe. Pouvez–vous d´eterminer le cardinal de Cn?
Exercice 5. Soit (G,+) un groupe commutatif et soient A,Bdes sous–groupes.
(1) Montrer que l’ensemble C={a+b:a∈A,b∈B}est un sous–groupe de G.
(2) Montrer que A⊆Cet B⊆C.
(3) Montrer que si Dest un autre sous–groupe de Gtel que A⊆Det B⊆D, alors C⊆D.
Le sous groupe Cest le plus petit sous–groupe de Gqui contient Aet B. Il est not´e A+Bet est
appel´e le sous–groupe engendr´e par A et B.
(4) D´eterminer le sous–groupe Z·4+Z·6 de Z.
(5) Soient aet bdes entiers. Montrer que Z·a+Z·best le sous–groupe Z·(a∧b).
Exercice 6. (1) Montrer que les groupes (R>0,×) et (R,+) sont isomorphes.
(2) Montrer que les groupes (Z,+) et (Q,+) ne sont pas isomorphes.
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(3) Soit Gun groupe quelconque avec seulement deux ´el´ements. Montrer que Gest isomorphe
au groupe C2construit dans l’exercice 4.
Exercice 7 (Le groupe sym´etrique).(1) Soit nun entier positif. Montrer que l’ensemble Sndes
bijections f:{1,...,n} → {1,...,n}avec la loi de groupe donn´e par la composition de fonctions
est un groupe.
(2) D´eterminer les ´el´ements de S3. Montrer que S3n’est pas commutatif !
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