Université de Paris 6 Arithmétique LM 220 (INFO) 2011–2012. Feuille d’exercices no 4 Exercice 1. Lesquels de ces ensembles sont des groupes pour les lois de composition ? (1) (N, +). (2) (Z, +). (3) (Z, ×). (4) (Z \ {0}, ×). (5) (R \ {0}, ×). (6) R2 \ {(0, 0)} avec la loi de composition suivante : (x, y) ∗ (x′ , y′ ) = (xx′ − yy′ , xy′ + x′ y). Exercice 2. Soit (G, ∗) un groupe. (1) Donner la définition d’un sous–groupe de G. (2) Soient H et H′ deux sous–groupes. Montrer que H ∩ H′ est un sous-groupe de G. (3) Que peut-on dire de la réunion de deux sous-groupes de G ? (Indication : Étudier l’ensemble Z · 2 ∪ Z · 3.) Exercice 3. Montrer que un sous–groupe A de (Z, +) a toujours la forme Z · n pour un certain n. (Indication : On considère le plus petit entier n ∈ A ∩ {1, 2, . . .} et on montre, avec l’aide de la division euclidienne, que A = Z · n.) Exercice 4. (1) Montrer que S = {z ∈ C : |z| = 1} est un sous–groupe de (C∗ , ×) (2) Montrer que pour chaque entier n > 0, le sous–ensemble Cn = {z ∈ S : zn = 1} est un sous–groupe. Pouvez–vous déterminer le cardinal de Cn ? Exercice 5. Soit (G, +) un groupe commutatif et soient A, B des sous–groupes. (1) Montrer que l’ensemble C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} est un sous–groupe de G. (2) Montrer que A ⊆ C et B ⊆ C. (3) Montrer que si D est un autre sous–groupe de G tel que A ⊆ D et B ⊆ D, alors C ⊆ D. Le sous groupe C est le plus petit sous–groupe de G qui contient A et B. Il est noté A + B et est appelé le sous–groupe engendré par A et B. (4) Déterminer le sous–groupe Z · 4 + Z · 6 de Z. (5) Soient a et b des entiers. Montrer que Z · a + Z · b est le sous–groupe Z · (a ∧ b). Exercice 6. (1) Montrer que les groupes (R>0 , ×) et (R, +) sont isomorphes. (2) Montrer que les groupes (Z, +) et (Q, +) ne sont pas isomorphes. 1 (3) Soit G un groupe quelconque avec seulement deux éléments. Montrer que G est isomorphe au groupe C2 construit dans l’exercice 4. Exercice 7 (Le groupe symétrique). (1) Soit n un entier positif. Montrer que l’ensemble Sn des bijections f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} avec la loi de groupe donné par la composition de fonctions est un groupe. (2) Déterminer les éléments de S3 . Montrer que S3 n’est pas commutatif ! 2