Théorèmes de Sylow

UE2 Groupes et Géométrie
Université de Nice
Théorèmes de Sylow
Exercice 1 Expliciter les sous-groupes de Sylow des groupes suivants :
a) un groupe abélien fini,
b) les groupes symétriques S3 et S4 ,
c) les groupes alternés A4 et A5 .
Exercice 2 [Utilisation sophistiquée de Sylow, c.f. Perrin E]
a) Montrer qu’un groupe d’ordre 12 n’est pas simple.
[Indication : S’il y a plusieurs 3–Sylow, quelle place reste-t-il pour le 2–Sylow ?]
b) Montrer qu’un groupe d’ordre 36 n’est pas simple.
[Indication : Faire agir le groupe sur ses 3–Sylow.]
c) Montrer qu’un groupe d’ordre p2 q n’est pas simple.
[Indication : Distinguer suivant les valeurs du nombre nq de q–Sylow.]
Exercice 3 Montrer que tout groupe d’ordre 143 est cyclique.
Exercice 4 Montrer que tout groupe d’ordre 45 est commutatif.
Exercice 5 Soient p 6= q deux nombres premiers. Montrer que tout groupe d’ordre pq n’est pas
simple.
Exercice 6 Soit p un nombre premier et s > 2. Montrer que tout groupe d’ordre ps n’est pas
simple.
Exercice 7 Soit p un nombre premier qui divise l’ordre d’un groupe fini G. Soit ap le nombre
d’éléments d’ordre p dans G. Montrer que ap ≡ −1 mod p.
Exercice 8 Montrer que les groupes non abéliens d’ordre 6 sont isomorphes à D6 .
Exercice 9 Soit G un groupe abélien fini. Montrer que pour tout d qui divise l’ordre de G, le
groupe G admet un sous-groupe d’ordre d.
Exercice 10 Trouver l’ordre du groupe G qui satisfait les conditions suivantes :
1. G est un sous-groupe d’un groupe d’ordre 100,
2. G ne contient pas d’élément d’ordre 2,
3. G n’est pas cyclique.
Exercice 11 Soit G un groupe infini et H un sous-groupe propre de G tel que [G : H] est fini.
Montrer que G n’est pas simple.
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