2014-2015 LM371 Feuille n 8 Exercice 1 Soit G un groupe d`ordre

2014-2015
LM371
Feuille n◦ 8
Exercice 1
Soit G un groupe d’ordre pq, où p et q sont deux nombres premiers tels que
p < q et q non congru à 1 modulo p.
Montrer que G possède exactement un p-groupe de Sylow et un q-groupe de
Sylow. En déduire que G est cyclique.
Que peut-on dire dans le cas où q ≡ 1 mod p? Donner un exemple.
Exercice 2 (trois techniques pour montrer qu’un groupe n’est pas simple)
a) Soit G un groupe d’ordre 63. Montrer que G n’est pas simple.
b) Soit G un groupe d’ordre 30. Montrer que G n’est pas simple (compter
le nombre d’éléments d’ordres 2, 3, 5).
c) Soit G un groupe d’ordre 36. Montrer que G n’est pas simple (faire opérer
G sur l’ensemble des 3-Sylow).
Exercice 3
Soit p et q deux nombres premiers.
a) On suppose p > q. Soit G un groupe d’ordre pα q. Montrer que G n’est
pas simple.
b) On suppose que pα < q + 1. Soit G un groupe d’ordre pα q β . Montrer
que G n’est pas simple.
c) On suppose que pα ne divise pas (q − 1)!. Soit G un groupe d’ordre pα q.
Montrer que G n’est pas simple.
Exercice 4
Soit p, q, r trois nombres premiers tels que p < q < r et soit G un groupe
d’ordre pqr.
On note np (resp nq , resp nr ) le nombre de p-sous-groupes (resp. q-sousgroupes, resp. r-sous-groupes) de Sylow de G.
a) Montrer que si G est simple, alors np ≥ q, nq ≥ r et nr = pq.
b) En déduire que G n’est pas simple.
Exercice 5
Soit G un groupe d’ordre pair et S un 2-sous-groupe de Sylow.
On suppose que S est cyclique. Montrer que G n’est pas simple.
(faire opérer G sur lui-même et considérer l’homomorphisme de signature)
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Exercice 6
Soit p un nombre premier impair et G un groupe d’ordre 2p.
a) Montrer que G contient un sous-groupe cyclique K =< a > d’ordre p et
un sous-groupe H =< b > d’ordre 2 tels que G = HK = {hk/h ∈ H et k ∈ K}.
b) Montrer qu’il existe i ∈ {1, ..., p − 1} tel que bab = ai et que p divise
2
i − 1.
c) En déduire que G est soit cyclique, soit diédral (isomorphe à Dp , groupe
des isométries d’un polygone régulier à p côtés).
Exercice 7
Soit G un groupe simple.
a) Montrer que tout homomorphisme non trivial de G dans un groupe quelconque est injectif.
b)
i) On suppose que G est fini, simple et d’ordre 168. Soit H un sous-groupe
d’indice m.
Construire un homomorphisme de G dans Sm . (on pourra considérer l’ensemble
E des classes de G modulo H et définir une opération de G sur E ) En déduire
que m ≥ 7.
ii) Combien G contient-il d’éléments d’ordre 7?
iii) Montrer que le nombre de 3-sous-groupes de Sylow est 7 ou 28. En
déduire que G ne possède pas d’élément d’ordre 21.
iii) On suppose que G est un groupe d’ordre 280. Montrer que G n’est pas
simple.
Exercice 8
Soit G un groupe de cardinal n = pα m, où p est un nombre premier qui ne
divise pas m.
a) Soit P et Q deux p-sous-groupes de Sylow distincts de G.
Montrer que P ∩ Q = Q ∩ NG (P ), où NG (P ) est le normalisateur de P dans
G.
b) On suppose maintenant que l’ensemble X des p-sous-groupes de Sylow
de G est de cardinal exactement p + 1. Montrer que P agit sur X par conjugaison. Déterminer l’orbite de P (vu comme élément de X) et son stabilisateur.
Déterminer de même l’orbite de Q et son stabilisateur.
Montrer que |P ∩ Q| = pα−1 .
Exercice 9
Soit p et q deux nombres premiers distincts, m et n deux entiers naturels et
G un groupe d’ordre pm q n . On suppose que G possède un seul p-sous-groupe
de Sylow Hp et un seul q-sous-groupe de Sylow Hq .
Montrer que G est isomorphe à G/Hp × G/Hq .
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