2014-2015 LM371 Feuille n 8 Exercice 1 Soit G un groupe d`ordre

2014-2015
LM371
Feuille n◦8
Exercice 1
Soit Gun groupe d’ordre pq, o`u pet qsont deux nombres premiers tels que
p<qet qnon congru `a 1 modulo p.
Montrer que Gposs`ede exactement un p-groupe de Sylow et un q-groupe de
Sylow. En d´eduire que Gest cyclique.
Que peut-on dire dans le cas o`u q≡1 mod p? Donner un exemple.
Exercice 2 (trois techniques pour montrer qu’un groupe n’est pas simple)
a) Soit Gun groupe d’ordre 63. Montrer que Gn’est pas simple.
b) Soit Gun groupe d’ordre 30. Montrer que Gn’est pas simple (compter
le nombre d’´el´ements d’ordres 2, 3, 5).
c) Soit Gun groupe d’ordre 36. Montrer que Gn’est pas simple (faire op´erer
Gsur l’ensemble des 3-Sylow).
Exercice 3
Soit pet qdeux nombres premiers.
a) On suppose p > q. Soit Gun groupe d’ordre pαq. Montrer que Gn’est
pas simple.
b) On suppose que pα< q + 1. Soit Gun groupe d’ordre pαqβ. Montrer
que Gn’est pas simple.
c) On suppose que pαne divise pas (q−1)!. Soit Gun groupe d’ordre pαq.
Montrer que Gn’est pas simple.
Exercice 4
Soit p,q,rtrois nombres premiers tels que p < q < r et soit Gun groupe
d’ordre pqr.
On note np(resp nq, resp nr) le nombre de p-sous-groupes (resp. q-sous-
groupes, resp. r-sous-groupes) de Sylow de G.
a) Montrer que si Gest simple, alors np≥q,nq≥ret nr=pq.
b) En d´eduire que Gn’est pas simple.
Exercice 5
Soit Gun groupe d’ordre pair et Sun 2-sous-groupe de Sylow.
On suppose que Sest cyclique. Montrer que Gn’est pas simple.
(faire op´erer Gsur lui-mˆeme et consid´erer l’homomorphisme de signature)
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Exercice 6
Soit pun nombre premier impair et Gun groupe d’ordre 2p.
a) Montrer que Gcontient un sous-groupe cyclique K=<a>d’ordre pet
un sous-groupe H=<b>d’ordre 2 tels que G=HK ={hk/h ∈H et k ∈K}.
b) Montrer qu’il existe i∈ {1, ..., p −1}tel que bab =aiet que pdivise
i2−1.
c) En d´eduire que Gest soit cyclique, soit di´edral (isomorphe `a Dp, groupe
des isom´etries d’un polygone r´egulier `a pcˆot´es).
Exercice 7
Soit Gun groupe simple.
a) Montrer que tout homomorphisme non trivial de Gdans un groupe quel-
conque est injectif.
b)
i) On suppose que Gest fini, simple et d’ordre 168. Soit Hun sous-groupe
d’indice m.
Construire un homomorphisme de Gdans Sm. (on pourra consid´erer l’ensemble
Edes classes de Gmodulo Het d´efinir une op´eration de Gsur E) En d´eduire
que m≥7.
ii) Combien Gcontient-il d’´el´ements d’ordre 7?
iii) Montrer que le nombre de 3-sous-groupes de Sylow est 7 ou 28. En
d´eduire que Gne poss`ede pas d’´el´ement d’ordre 21.
iii) On suppose que Gest un groupe d’ordre 280. Montrer que Gn’est pas
simple.
Exercice 8
Soit Gun groupe de cardinal n=pαm, o`u pest un nombre premier qui ne
divise pas m.
a) Soit Pet Qdeux p-sous-groupes de Sylow distincts de G.
Montrer que P∩Q=Q∩NG(P), o`u NG(P) est le normalisateur de Pdans
G.
b) On suppose maintenant que l’ensemble Xdes p-sous-groupes de Sylow
de Gest de cardinal exactement p+ 1. Montrer que Pagit sur Xpar conjugai-
son. D´eterminer l’orbite de P(vu comme ´el´ement de X) et son stabilisateur.
D´eterminer de mˆeme l’orbite de Qet son stabilisateur.
Montrer que |P∩Q|=pα−1.
Exercice 9
Soit pet qdeux nombres premiers distincts, met ndeux entiers naturels et
Gun groupe d’ordre pmqn. On suppose que Gposs`ede un seul p-sous-groupe
de Sylow Hpet un seul q-sous-groupe de Sylow Hq.
Montrer que Gest isomorphe `a G/Hp×G/Hq.
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