Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
I1 – Fiche 4
Septembre 2016
RAPPELS DE COURS
Formules :
 valeurs remarquables :
 angles associés :
 formules d’addition :
 cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
 sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b
 cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
 sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b
 formules de duplication :
 cos 2a  cos2 a  sin2 a  2 cos2 a  1  1  2 sin2 a
 sin 2a  2 sin a cos a
 formules de linéarisation :
 cos2 a 
1  cos 2a
2
 sin2 a 
1  cos 2a
2
Etudes des fonctions trigonométriques :
 étude de la fonction cosinus :

La fonction cosinus est paire et 2-périodique. On l’étudie donc sur  0; .

La fonction cosinus est dérivable sur
et cos'   sin .
x

La fonction cosinus est décroissante sur  0; et a pour tableau de variation sur une période :
cos

La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et invariante par translation
de vecteur 2ki , k 
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-
-1
0
1

-1
.
2016/2017
 étude de la fonction sinus :

La fonction sinus est impaire et 2-périodique. On l’étudie donc sur  0; .

La fonction sinus est dérivable sur


et sin'  cos .
 
 
La fonction sinus est croissante sur 0;  et décroissante sur  ;  et
 2
2 
a pour tableau de variation sur une période :
x
-
0
-/2
0
sin
-1
 étude de la fonction tangente :






1
.
La courbe de la fonction sinus est l’image de celle de la fonction cosinus par la translation de vecteur

/2
1
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère et invariante par translation de
vecteur 2ki , k 

0



i.
2

sin x
, x  D  cos x  0  x   k ,k 
2
cos x
 
La fonction tangente est impaire et -périodique. On l’étudie donc sur 0;  .
 2
1
 
La fonction tangente est dérivable sur 0;  et tan'  1  tan2 
.
 2
cos2
 
La fonction tangente est croissante sur 0;  .
 2
La fonction tangente est définie sur D 
\

 k ,k 
2
. ( tan x 
lim tan x   ( lim sin x  1 et lim cos x  0  d’où le résultat par quotient)
x  / 2
x  / 2
x / 2
x  / 2
x  / 2
La fonction tangente admet le tableau de variation suivant sur une période :
La courbe représentative de la fonction tangente est symétrique par rapport à l’origine
x
-/2
0
)
/2
+
0
tan
-
du repère et invariante par translation de vecteur ki , k  .
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METHODE
Résolution d’une inéquation trigonométrique :
exemple : Résoudre  3  2 sin x  0 sur 0; 2 .
 On isole cos ou sin.
3
2
 On repère l’angle remarquable sur le cercle trigonométrique et on représente l’ensemble
exemple :  3  2 sin x  0  2 sin x  3  sin x 
des solutions sur ce cercle.
3

2
 x  ou x 
sur  0; 2
2
3
3
 On conclut en considérant l’intervalle de résolution imposé.
exemple : sin x 
L’ensemble des solutions peut être une réunion d’intervalles.
    2

exemple : S  0;    ; 2
 3  3

EXERCICE 1
Résoudre les équations et inéquations suivantes sur I :
1.
1  2 cos x  0 et I  0; 2
3.
2.
sin 2x  sin x et I  ; 
4.
3 sin x  cos x  2 et I 
cos 2x  sin x et I  ; 
5.
6.


2 cos  2 x    1  0 et I  ; 
6

1  2 sin 2 x  0 et I  0; 2
3. On pourra diviser l’égalité par 2 et reconnaître une formule d’addition.
4. On pourra utiliser une formule de duplication et poser une inconnue auxiliaire.
EXERCICE 2
Soit f la fonction définie sur


par f  x   cos 2 x  sin2 x et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal O ,i, j .
1. a. Montrer que f est -périodique. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
b. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
 
c. Justifier le choix de l’intervalle 0 ;  comme intervalle d’étude de la fonction f.
 2
2. a. Calculer la dérivée de la fonction f et montrer que pour tout réel x, f '  x    sin 2 x .
 
b. Etudier le sens de variation de la fonction f sur 0 ;  et dresser son tableau de variation sur une période.
 2
3. Tracer la courbeC sur une période.
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