Fonctions trigonométriques

PTSI – ICAM Lille 2016/2017
I1 – Fiche 4 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Septembre 2016
RAPPELS DE COURS
Formules :
 valeurs remarquables :
 angles associés :
 formules d’addition :
cos a b cosacosb sinasinb  
cos a b cosacosb sinasinb  
sin a b sinacosb cosa sinb  
sin a b sinacosb cosa sinb  
 formules de duplication :
2 2 2 2
2 2 1 1 2cos a cos a sin a cos a sin a     
22sin a sinacosa
 formules de linéarisation :
212
2
cos a
cos a 
212
2
cos a
sin a 
Etudes des fonctions trigonométriques :
 étude de la fonction cosinus :
 La fonction cosinus est paire et 2-périodique. On l’étudie donc sur
0;
.
 La fonction cosinus est dérivable sur et
cos' sin
.
 La fonction cosinus est décroissante sur
0;
et a pour tableau de variation sur une période :
 La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et invariante par translation
de vecteur
2 , ki k
.
x
- 0 
cos
1
-1 -1

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 étude de la fonction sinus :
 La fonction sinus est impaire et 2-périodique. On l’étudie donc sur
0;
.
 La fonction sinus est dérivable sur et
sin' cos
.
 La fonction sinus est croissante sur
02 ;
et décroissante sur
2;
et
a pour tableau de variation sur une période :
 La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère et invariante par translation de
vecteur
2 , ki k
.
La courbe de la fonction sinus est l’image de celle de la fonction cosinus par la translation de vecteur
2i
.
 étude de la fonction tangente :
 La fonction tangente est définie sur
2
D \ k ,k
. (
sinx
tanx cos x
,
02 x D cos x x k ,k
)
 La fonction tangente est impaire et -périodique. On l’étudie donc sur
02 ;
.
 La fonction tangente est dérivable sur
02 ;
et
2
2
1
1tan' tan cos
.
 La fonction tangente est croissante sur
02 ;
.
2
2
x/
x/
lim tan x
(
21 x/
lim sinx
et
2
2
0
x/
x/
lim cos x 
d’où le résultat par quotient)
 La fonction tangente admet le tableau de variation suivant sur une période :
 La courbe représentative de la fonction tangente est symétrique par rapport à l’origine
du repère et invariante par translation de vecteur
, ki k
.
x
- -/2 0 /2 
sin
0 1
0
-1 1
x
-/2 0 /2
tan
+
0
-

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METHODE
Résolution d’une inéquation trigonométrique :
exemple : Résoudre
3 2 0sin x  
sur
02;
.
 On isole cos ou sin.
exemple :
3
3 2 0 2 3 2 sinx sinx sinx      
 On repère l’angle remarquable sur le cercle trigonométrique et on représente l’ensemble
des solutions sur ce cercle.
exemple :
32
ou sur 0 2
2 3 3
sin x x x ;
 On conclut en considérant l’intervalle de résolution imposé.
L’ensemble des solutions peut être une réunion d’intervalles.
exemple :
2
02
33
S ; ;
EXERCICE 1
Résoudre les équations et inéquations suivantes sur I :
1.
1 2 0cos x
et
02I;
2.
2sin x sinx
et
I;  
3.
32sin x cos x
et
I
4.
2cos x sinx
et
I;  
5.
2 2 1 0
6
cos x 
et
I;  
6.
1 2 2 0sin x
et
02I;
3. On pourra diviser l’égalité par 2 et reconnaître une formule d’addition.
4. On pourra utiliser une formule de duplication et poser une inconnue auxiliaire.
EXERCICE 2
Soit f la fonction définie sur par
2
2cos xfx sin x 
et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal
O,i, j
.
1. a. Montrer que f est -périodique. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
b. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
c. Justifier le choix de l’intervalle
0 2 ;
comme intervalle d’étude de la fonction f.
2. a. Calculer la dérivée de la fonction f et montrer que pour tout réel x,
2f ' x sin x
.
b. Etudier le sens de variation de la fonction f sur
0 2 ;
et dresser son tableau de variation sur une période.
3. Tracer la courbeC sur une période.