Feuille de TD 2015/2016 - Irma

Universit´e de Strasbourg Automne 2015
Licence Math-info/ Math-´eco Alg`ebre S1
§A. Divisibilit´e
Exercice 1. — Montrer que pour tout n∈N, l’entier 7n−1est divisible par 6.
Exercice 2. — Soient a, b ∈N∗. On note qle quotient de la division euclidienne de apar bet rson reste.
Supposons que r>q. Quel est le quotient de la division euclidienne de apar b+ 1 ?
Exercice 3. — Soient a, b ∈N∗tels que a>b. Comparer les quotients et les restes des divisions euclidiennes
de apar a−bet de bpar a−b.
Exercice 4. — Soient m, n ∈N∗tels que m > n et soit rle reste de la division euclidienne de mpar n. Quel
est le reste de la division euclidienne de 2m−1par 2n−1?
§B. pgcd et ppcm
N.B. — Dans la suite, le pgcd de deux entiers a, b (non tous deux nuls) est not´e pgcd (a, b)ou a∧b. De mˆeme,
le ppcm de deux entiers a, b est not´e ppcm (a, b)ou a∨b.
Exercice 5. — Montrer que √2est un nombre irrationel, c’est-`a-dire qu’il n’existe pas d’entiers p, q tels que
p∈Z,q∈N∗et √2 = p/q.
Exercice 6. — Soient a, b ∈N∗premiers entre eux. Montrer que pgcd (a−b, a +b)vaut 1ou 2.
Exercice 7. — Soient a, b ∈N∗premiers entre eux. Montrer que pgcd (a+b, b)=1puis que pgcd (a+b, ab) =
1.
Exercice 8. — Soient a, b des entiers non tous les deux nuls. Montrer qu’alors 15a+ 4bet 11a+ 3bne sont pas
tous les deux nuls et montrer que leur pgcd vaut pgcd (a, b).
Exercice 9. — Soient a, b, c ∈N∗.
1o) Montrer que si pgcd (a, b) = pgcd (a, c)=1, alors pgcd (a, bc)=1.
2o) En d´eduire que si aet bsont premiers entre eux, alors pour tout (p, n)∈N2, les entiers apet bnsont aussi
premiers entre eux.
Exercice 10. — Soit n∈Net soit p∈Ntel que p>2.
1o) Montrer que pgcd (pn−1, p)=1. En d´eduire la valeur de
pgcd (p2n−1, pn+1 −p).
2o) Montrer que pgcd pn,Pn−1
k=0 pk= 1 et en d´eduire la valeur de pgcd (pn+1 −pn, pn−1).
Exercice 11. — Pour tout n∈N, on pose Fn= 22n+ 1.
1o) Montrer par r´ecurrence que pour tout n∈N∗, on a Fn−2 = Qn−1
p=0 Fp.
2o) En d´eduire que pour tout n∈Net tout k∈N∗, les entiers Fnet Fn+ksont premiers entre eux.
Remarque. — Les nombres Fnsont appel´es nombres de Fermat (math´ematicien et juriste fran¸cais, 1601–1665).
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§C. ´ Equations diophantiennes
Exercice 12. — R´esoudre dans Zl’´equation xy = 2x+ 3y.
Exercice 13. — 1o) Calculer 637 ∧595.
2o) L’´equation diophantienne 637x+ 595y= 91 admet-elle des solutions ? Si oui, les d´eterminer toutes.
3o) L’´equation diophantienne 637x+ 595y= 143 admet-elle des solutions ? Si oui, les d´eterminer toutes.
Exercice 14. — R´esoudre les ´equations diophantiennes suivantes :
(a) 9x+ 15y= 82,(b) 205x+ 93y= 1,(c) 693x+ 1911y= 42,(d) 56x+ 72y= 36.
Exercice 15. — Un groupe de 48 personnes veut acheter des pˆatisseries `a raison d’une par personne. Les
pˆatisseries sont conditionn´ees en lots de 10 et en lots de 6.
1o) Quelle ´equation diophantienne correspond `a cette situation ? La r´esoudre.
2o) Le lots de 10 pˆatisseries coˆute 20 euros et le lot de 6en coˆute 15. Quelle est la solution la plus ´economique
pour le groupe ?
Exercice 16. — Trouver tous les couples d’entiers (x, y)tels que xy = 2700 et x∧y= 6.
Exercice 17 (CC3 D´ecembre 2010). — R´esoudre l’´equation diophantienne d’inconnues x, y ∈Zsuivante :
340x+ 138y= 6
Exercice 18 (CC2 Novembre 2011). — R´esoudre dans Z2l’´equation diophantienne
42x+ 35y= 8
Exercice 19 (CC2 Novembre 2013). — D´eterminer l’ensemble des couples d’entiers (x, y)solutions de
l’´equation Diophantienne
15x+ 6y= 21
Exercice 20 (CC2 Avril 2014). — Un de vos camarades collectionne les figurines d’heroic fantasy. Il com-
mence `a les ranger dans des caisses `a 64 places. Il lui reste 16 figurines. Il change d’avis et les range dans des
caisses `a 15 places. Il reste 5 figurines. Combien peut-il avoir de figurines ? (donner toutes les solutions possibles).
Exercice 21 (CC2 Novembre 2014). — On consid`ere l’´equation Diophantienne suivante
152x+ 29y= 3
(a) Montrer que cette ´equation admet une solution.
(b) Calculer une solution particuli`ere de cette ´equation.
(c) En d´eduire toutes les solutions de cette ´equation en d´etaillant bien le raisonnement.
§D. Nombres premiers
Exercice 22. — Soit n∈N∗. Montrer par contraposition que si 2n−1est un nombre premier, alors nest un
nombre premier. La r´eciproque est-elle vraie ?
Remarque. — Les nombres de la forme 2n−1avec npremier sont appel´es nombres de Mersenne (moine,
math´ematicien et philosophe fran¸cais, 1588–1648) ; on les note Mn. Le plus grand nombre premier connu `a ce
jour est M32582657 ; il comporte 9808358 chiffres.

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Exercice 23. — 1o) Soit pun nombre premier et soit α∈N∗. D´eterminer le nombre de diviseurs positifs de pα.
2o) Soient pet qdes nombres premiers distincts. Quels sont les diviseurs positifs de p2q? Donner ´egalement
la liste des diviseurs de p3q2.
Exercice 24. — Trouver 1000 entiers cons´ecutifs non premiers.
Exercice 25. — 1o) D´ecomposer 8160 en produit de facteurs premiers.
2o) Trouver tous les entiers a, b ∈N∗tels que a>b,a∧b= 5 et a∨b= 8160.
Exercice 26. — D´emontrer `a partir du r´esultat de l’exercice 11 qu’il y a une infinit´e de nombres premiers.
§E. Congruences
Exercice 27. — Soient a, b, c, d, m, n des entiers tels que m>2et n>2. D´emontrer les propri´et´es suivantes :
1o)a≡b[m] =⇒b≡a[m].
2o)(a≡b[m]) et (b≡c[m])=⇒a≡c[m].
3o)(a≡b[m]) et (c≡d[m])=⇒a+c≡b+d[m].
4o)(a≡b[m]) et (c≡d[m])=⇒ac ≡bd [m].
5o)(ac ≡bc [m]) et (m∧c= 1)=⇒a≡b[m].
6o)(ac ≡bc [mc]) et (c6= 0)=⇒a≡b[m].
7o)(a≡b[n]) et (m|n)=⇒a≡b[m].
8o)(a≡b[m]) et (a≡b[n]) et (m∧n= 1)=⇒a≡b[mn].
Exercice 28. — D´emontrer les crit`eres de divisibilit´e suivants :
1o) Un entier est divisible par 2si et seulement si son dernier chiffre est pair.
2o) Un entier est divisible par 5si et seulement si son dernier chiffre est 0ou 5.
3o) Un entier est divisible par 3si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
4o) Un entier est divisible par 4si et seulement si le nombre form´e par ses deux derniers chiffres est divisible
par 4.
5o) Un entier est divisible par 9si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
6o) Un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme altern´ee de ses chiffres est divisible par 11 (par
exemple, la somme altern´ee des chiffres de 1728 est 1−7+2−8 = −12).
Exercice 29. —` A l’aide d’un tableau de congruences, montrer que pour tout a∈Z, l’entier a2+ 3 n’est pas
divisible par 5.
Exercice 30. — Montrer que pour tout n∈N, on a 106n+ 103n≡2 [111].
Exercice 31. — Soit a∈Z. Montrer que a2est congru `a 0,1ou 4modulo 8. En d´eduire que pour tout n∈N,
l’´equation a2+b2+c2= 8n−1n’admet aucune solution (a, b, c)∈Z3.
Exercice 32. — 1o) Quel est le reste de la division euclidienne de 218 par 7?
2o) Quel est le reste de la division euclidienne de 249 par 7?
3o) Quel est le reste de la division euclidienne de 6221 par 7?
4o) Quel est le reste de la division euclidienne de 247349 par 7?
5o) Quel est le reste de la division euclidienne de 22223333 + 33332222 par 5?

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Exercice 33. — R´esoudre les ´equations suivantes :
1o)3x≡5 [7],
2o)2x≡5 [6],
3o)2x≡4 [6].
Exercice 34. — R´esoudre les syst`emes suivants :
1o)(x≡3 [7],
x≡5 [19];
2o)(x≡2 [18],
x≡8 [45];
3o)(x≡2 [18],
x≡11 [45].
Exercice 35. — D´eterminer les ´el´ements inversibles de Z/6Zet dresser la table de multiplication de Z/6Z.
Mˆeme question pour Z/12Z.
Exercice 36. — R´esoudre dans Z/12Zles ´equations suivantes :
1o)7(x+ 4) = 0,
2o)3(x+ 4) = 0.
Exercice 37 (CC2 Novembre 2010). — 1o) Rappeller l’´enonc´e du th´eor`eme de B´ezout et du th´eor`eme
chinois.
2o) Calculer le pgcd de 627 et 440. Donner une identit´e de B´ezout pour ces deux nombres.
3o) On consid`ere dans Zle syst`eme de congruences : (x≡13 [627],
x≡46 [440];
4o) R´esoudre sur Zl’´equation diophantienne 627x−440y= 33.
5o) R´esoudre sur Zle syst`eme pr´ec´edent.
Exercice 38 (CC3 D´ecembre 2010). — Soient xet ydeux entiers v´erifiant
(1) x+y
x2−xy +y2=2 7
1o) Montrer que x+yet x−ysont pairs.
2o) Soient uet vdeux entiers tels que 2u=x+yet 2v=x−y. Montrer que l’on a
2(7 −u)=3v2
3o) En d´eduire les solutions de l’´equation (1).
Exercice 39 (CC2 Novembre 2011). — Le 5 mars 2013 est un mardi. Quel jour sera-t-on le 5 mars 2014 ?
NB : Les r´eponses qui ne comporteront pas de formalisation math´ematique seront not´ees 0.
Exercice 40 (CC2 Novembre 2011). — L’objectif est de r´esoudre dans Zl’´equation
(E) 39x2+ 19x+ 22 ≡0 [55]
1) Trouver des entiers uet vtels que 39u+ 55v= 1
2) En d´eduire que 39 est inversible dans Z/55Zet calculer son inverse.
3) Montrer que l’´equation (E)est ´equivalente `a l’´equation
(E0)x2+ 16x+ 33 ≡0 [55]

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4) En d´eduire que si xest solution de (E0), alors
(x2+x+ 3 ≡0 [5]
x2+ 5x≡0 [11] (1)
5) R´esoudre dans Z/5Zl’´equation x2+x+ 3 = 0
R´esoudre dans Z/11Zl’´equation x2+ 5x= 0
6) En appliquant le th´eor`eme chinois, d´eterminer les solutions de (E)dans Z/55Z
NB : Les questions 5) et 6) sont sur 6 points `a elles deux et sont ind´ependantes du reste du probl`eme
Exercice 41 (CC3 D´ecembre 2011). — Sur un bateau, 17 pirates souhaitent se partager leur butin de x
pi`eces d’or en parts ´egales. Ils font donc 17 tas. Il reste 3 pi`eces qu’ils pr´evoient de donner `a leur cuisinier chinois,
lorsqu’´eclate une bagarre qui fait 6 morts. Aucune pi`ece n’est perdue mais il faut refaire le partage. Ce nouveau
partage en parts ´egales laisse 4 pi`eces au cuisinier chinois. A ce moment, le cuisinier envisage d’empoisonner
tout l’´equipage pour garder le butin pour lui seul. Quelle est la plus petite valeur possible de x, que peut alors
esp´erer obtenir le cuisinier ?
Exercice 42 (CC2 Novembre 2012). — Montrer que pour tout n∈N, 11 divise 26n+5 + 32n.
Exercice 43 (CC2 Novembre 2012). — L’objet de l’exercice est de r´esoudre l’´equation x2+ 1 ≡0 [65]
1) Montrer que xest solution si et seulement si
(x≡5 [13] ou x≡8 [13]) et (x≡2 [5] ou x≡3 [5])
2) Si met nsont des entiers tels que 5m+ 13n= 0, montrer que 13 divise met 5divise n.
3) Trouver uet vtels que 13u+ 5v= 1.
4) R´esoudre
(x≡5 [13]
x≡2 [5] (x≡5 [13] x≡2 [5]
5) Sachant que x≡8 [13] si et seulement si −x≡5 [13], trouver toutes les solutions entre 0 et 64 de
x2+ 1 ≡0 [65]
Exercice 44 (CC2 Novembre 2013). — On fixe un entier positif n.
a) Montrer que lorsque nest impair, 8 divise 7n+ 1.
b) Lorsque nest pair, d´eterminer le reste de la division par 7n+ 1 par 8.
Exercice 45 (CC2 Novembre 2013). — D´eterminer l’ensemble des entiers xsolutions de l’´equation
(x≡5 [13]
x≡4 [19]
Exercice 46 (CC2 Avril 2014). — 1) Calculer 3kmodulo 10 pour kallant de 0`a 4.
2) Calculer en fonction de l’entier positif nle reste de la division Euclidienne de 3npar 10.
3) Montrer que pour tout entier positif n,19n−32nest divisible par 10.
Exercice 47 (CC3 Juin 2014). — Soit nun nombre entier premier strictement sup´erieur `a 3.
1) Montrer qu’alors n≡1[6] ou n≡ −1[6].
2) Citer trois nombres nqui v´erifient n≡1[6] ou n≡ −1[6] qui ne sont pas premiers.