§ A. Matrices - Irma - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg
Licence Math-info/ Math-éco
Automne 2014
Algèbre S1
§ A. Matrices
Exercice 1. — Écrire explicitement la matrice A = (aij ) à n lignes et p colonnes dans les cas suivants :
1. n = 2, p = 3 et aij = i + j.
2. n = 4, p = 3 et aij = min(i, j).
3. n = 2, p = 3 et aij = j (−1)i .
4. n = 5, p = 5 et aij = δij où δ est le symbole de Kronecker défini par δij =
1
0
si i = j
.
sinon
5. n = 4, p = 4 et aij = (1 − δij ) i j.
jπ
6. n = 3, p = 3 et aij = cos( iπ
3 ) sin( 3 ).
Exercice 2. — Considérons les quatre matrices


1
3
1 0 1
M=
, N =  −1 7 
1 3 9
2
4
Q=
1
2
0
0

−2
P = 7
8
−1
3
9

4
5 
5
Parmi les calculs suivants, déterminer ceux qui sont licites et ceux qui ne le sont pas et effectuer les calculs
lorsqu’ils sont possibles.
(a) N P ,
(b) P N ,
(c) M N + Q2 ,
(d) M N + P ,
(e)
t
M Q + N Q,
(f) (QM )N + t Q
Exercice 3. — Parmis les matrices suivantes lesquelles sont toujours égales à (A + B)2 ?
(B + A)2 ,
A2 + 2AB + B 2 ,
A(A + B) + B(A + B),
(A + B)(B + A),
A2 + AB + BA + B 2
Exercice 4. — Soit A ∈ M2 (R), décrire les colonnes de EA et les lignes de AE lorsque E =
1
0
7
1
.
Exercice 5. — Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (i.e : les
coefficients sous la diagonale sont tous nuls). Calculer le produit suivant :

 

1 0 1
1 3
−1
 0 2 9   0 −1 7 
0 0 3
0 0
5
puis déduire la proposition de la règle de calcul du produit matricielle.
Exercice 6. — Calculer explicitement An (n ∈ N) pour A =
1
1
1
1
1

0
puis pour A =  0
1
0
1
0

1
0 .
0
2
Exercice 7. — Pour tout nombre réel θ, on pose
cos(θ) − sin(θ)
R(θ) =
sin(θ) cos(θ)
1. Montrer que quels que soient θ1 , θ2 ∈ R : R(θ1 + θ2 ) = R(θ1 )R(θ2 ).
2. En déduire que quels que soient θ ∈ R et n ∈ N : R(θ)n = R(nθ).
3. Soient a et b des nombres réels. On suppose b 6= 0 et l’on considère la matrice
a −b
A=
b a
Montrer qu’il existe un unique nombre λ > 0 et un unique nombre θ ∈ ]0, 2π[ tels que A = λR(θ).
√ n
−1 − 3
√
pour tout entier n ∈ N.
4. Calculer
3 −1
Exercice 8. — Soient a, b ∈ C. Montrer que l’on a pour tout entier n ≥ 0 :
a
0
b
a
n
=
an
0
nan−1 b
an
Exercice 9. — Soit

1
A= 0
0
2
1
0

3
2 
1
(a) Calculer (A − I)n pour tout n ∈ N.
(b) Calculer An pour tout n ∈ N.
(c) Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites

 un
vn

wn
réelles définies par la données de u0 , v0 , w0 et
= un−1 + 2vn−1 + 3wn−1
=
vn−1 + 2wn−1
=
wn−1
Calculer (un ), (vn ) et (wn ) en fonction de n, u0 , v0 et w0 .
Exercice 10 (CC 1 Octobre 2012). — Pour tout entier n non nul, on considère Mn la matrice de Mn (R)
dont les coefficients mi,j sont
mi,j = 0 si j < i − 1 ou si j > i + 1
mi,j = 1 si j = i − 1
mi,j = 3 si j = i
mi,j = 2 si j = i + 1
Ainsi

3
 1



Mn = 



2
3 2
1 3
On note dn = det(Mn ).
(a) Calculer d1 , d2 , d3 , d4 .
(b) Montrer que
∀n ≥ 3
dn = 3dn−1 − 2dn−2 .
∗
(c) Montrer que ∀n ∈ N dn = 2n+1 − 1.
Indication : on pourra raisonner par récurrence

2
..
.
1




.


3 2 
1 3
3
§ B. Systèmes linéaires
Exercice 11. — Résoudre, quand c’est possible, les systèmes




2x + 5y + 4z = −22
2x + 6y + 7z
(a) 3x + y
(b) 2x + 3z
= −2




3x − z
=3
−2x + 9y + 3z


−2x − z
(d) y + 3z


−3x − y − 5z
= −5
= 11
= −20


x + y
(e) 3x + 3y + z


5x + 4y + 5z
linéaires suivants :
=3
=5
=8
= −4
= −12
= −19
(
5x + 7y − 3z + t = 2
(c)
2x + 3y + z − 2t = 2


−x + 2y + z
(f ) −x − 3y


−3x + 2z
=1
=4
=7
Exercice 12 (Examen Septembre 2007). — Soit m un
système suivant :


x − y + z
3x + my + 2z


mx + 3y + z
paramètre réel. Discuter et résoudre dans R3 le
Exercice 13. — Résoudre le système suivant en fonction des

2

x − my + m z
mx − m2 y + mz


mx + y − m3 z
valeurs du paramètre m ∈ R :
=1
=3
=2
=m
=1
= −1
Exercice 14. — Résoudre le système suivant en fonction des paramètres a, b, c, d ∈ R :

x+y =a



y + z = b

z+t =c



t+x =d
Exercice 15. — Le système suivant admet-il des solutions sur R :


2x + y + z = 3

x − y + 3z = 8
x + 2y − z = −3



x + y + 2z = −1
Exercice 16. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs du paramètre α ∈ C :

2

x + αy + α z = 0
ᾱx + y + αz = 0

 2
ᾱ x + ᾱy + z = 0
Exercice 17. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs des paramètres réels m, a, b, c.


=a
x − y + 2z
mx + (1 − m)y + 2(m − 1)z = b


2x + my − (3m + 1)z
=c
4
Exercice 18 (CC 1 Octobre 2010). — Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre dans R3 le système
suivant :

x + y + mz = m

x + my − z = 1


x+y−z
=1
Exercice 19 (CC 3 Décembre 2010). — Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre dans R3 le système
suivant :


=1
2x + y − z
x + my + z
=0


3x + y − mz = 1
Exercice 20 (CC 1 Octobre 2011). — Soit λ un paramètre


 x + 3y + 2z
(λ − 5)x + 3y + 7z


2x + λy + 4z
réel. Résoudre dans R3 le système suivant :
=4
=7
=8
(1)
Exercice 21 (CC 1 Octobre 2012). — Résoudre le système suivant dans R3 en fonction du paramètre réel
m:

2

=3
x + my + m z
2
mx + m y + mz = −3


x + mz
=2
Exercice 22 (CC 1 Octobre 2013). — Résoudre le système suivant dans R3 en fonction du paramètre réel
a:


=1
x + ay + z
ax + y + (a − 1)z = a


x+y+z
=a+1
Exercice 23 (CC 3 Décembre 2013). — Soit m un paramètre réel. Déterminer, en fonction de la valeur de
m, les solutions dans R3 du système suivant :


=1
x + 2y − 9z
−y + mz
= −2


−x + my + z = 7
Exercice 24 (CC 1 Mars 2014). — Résoudre le système suivant


x + y − z
(m − 1)x + m(m − 1)y + 2z


x + my + 2z
dans R3 en fonction du paramètre réel m :
=1
=1
=1
§ C. Pivot de Gauss
Exercice 25. — Les matrices



1 1
1
A =  0 1 , B =  0
0 1
0
suivantes sont-elles bien


4 0
1
1 8 , C =  0
0 −1
0
échelonnées ?

0 0 0
0 1 3 ,
0 0 0
D=
0
1
0
0
0
1
,
E=
2
0
0
1
5

1
F = 1
0
2
0
0

−1
0 ,
0

0
G= 0
0
0
0
0

1
0 ,
0
H=
1
0
2
4
3
5
,
I = In
Exercice 26. — Soit

1
 2
A=
 −1
2
(a) Calculer le produit

1
 0
(a) M = 
 0
0
2
5
−3
4
−2
−4
2
−3

3
6 

−2 
6
M A pour chacune des matrices M suivantes :




1
0 0 1 0
0 0 0
 0
 0 1 0 0 
1 0 3 


 , (b) M = 
 1 0 0 0  , (c) M =  0
0 1 0 
0
0 0 0 1
0 0 1
0
3
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
(b) Montrer que chaque matrice M A peut aussi être obtenue par une opération élémentaire sur les lignes
de A. Déterminer laquelle.
(c) On suppose maintenant que A ∈ M4 (K) est quelconque. Etablir que chaque matrice M A peut être
obtenue par une opération élémentaire sur les lignes de A et déterminer laquelle.
Exercice 27. — 1. Écrire les matrices associées aux systèmes suivant


4x + y
(a) 3x + y


y
=0
=0
=0


=0
−z + 2t
(b) 3y + 7z + 5t = 0


y+z−t
=0

x + 4y



−y + 7z
(c)

3x + 2y + t



5x + 6y + 8t
=9
= 19
= 11
= 49


x + y + 3z + 7t + 6r = 0
(d) 2x + 5y + 12z + 11t + 18r = 1


3x + 6y + 15z + 18t + 25r = 0
2. Mettre sous forme bien échelonnées les matrices précédentes.
3. Résoudre les systèmes. (Nb : Résoudre le système (b) pour (x, y, z, t) ∈ R4 )
§ D. Inversion de Matrices
Exercice 28. — Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et
méthode des opérations élémentaires sur les lignes :





1 0 0 3
0 2
0 1 0
 0 1 8 0 
, C =  5 0
A =  1 0 0 , B = 
 0 0 −1 2 
0 0
0 0 1
0 0 0 1
calculer leurs inverses en utilisant la

−3
−1  ,
−7
D=
1
−1
3
4
Exercice 29. — Montrer que les matrices suivantes ne sont pas inversibles :




7 3 2
1 2 3
A =  5 2 −2  , B =  4 5 6 
−3 1 6
7 8 9
Exercice 30 (Examen Novembre 2004). — Une matrice carrée est dite idempotente si A2 = A.
(a) Donner 3 exemples de matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels ou complexes.
(b) Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n telles que AB = A et BA = B. Montrer que A et B sont
idempotentes.
6
(c) On pose



2 −3 −5
−1 3
5  et B =  1 −3
A =  −1 4
1 −3 −4
−1 3
(c1) Montrer que A et B sont idempotentes, mais que AB 6= A.
(c2) Montrer que les matrices A et B ne sont pas inversibles.

5
−5 
5
Exercice 31. — Soit A ∈ Mn (K), on suppose qu’il existe un entier p ∈ N∗ tel que Ap = 0 (une telle matrice
est dite nilpotente). Montrer que la matrice In − A est inversible.
§ E. Déterminants
Exercice 32. — Calculer les déterminants suivants :
1
∆1 = 2
3 −1 1
∆2 = 0
0
2
1
4
−2
3
1
2
∆3 = 1
2
−3
0
1
Exercice 33. — 1. Démontrer que les déterminants suivants sont nuls :
4
a 2a 2a 1 −3 D = −7 −3 9 ∆(a, b) = 0 0 3b (où
3
b 2b 0 2 −6 2. Calculer
2 7 8 2 7 8 4 3 2 + −1 1 2 −1 1 2 4 3 2 1
−1
−1
a, b ∈ C)
Exercice 34. — Soient a, b, c ∈ R. On considère la matrice


1 1 1
A= a b c 
a2 b2 c2
1. Montrer que det(A) = (b − a)(c − a)(c − b).
2. Pour tout n ∈ N, on pose Sn = an + bn + cn . Montrer que
3 S1 S2 S1 S2 S3 = (b − a)2 (c − a)2 (c − b)2
S2 S3 S4 On pourra calculer les coefficients de la matrice At A
Exercice 35. — Soient a, b, c ∈ R. Calculer le déterminant
1 cos(a) cos(2a)
1 cos(b) cos(2b)
1 cos(c) cos(2c)
Exercice 36. — Pour quelle valeur de a ∈ R le système suivant admet-il une solution unique ?


=1
x + 2y + z
2x + (a + 3)y + 3z
=2


x + (3 − a)y + (a − 2)z = 3
Déterminer dans ce cas cette solution à l’aide des formules de Cramer.
7
Exercice 37 (CC1 Octobre 2010). — On considère

3
A = 2
3
la matrice

9 −9
0 0
3 −3
(a) Calculer A2 , A3 , A4 , que remarque t’on ?
(b) Calculer (I3 − A)(I3 + A + A2 ). On rappelle que I3 est la matrice identité de M3 (R)
(c) Montrer que I3 − A est inversible.
(d) Calculer son inverse.
(e) On fixe λ ∈ R. Calculer det(A − λI3 ). Pour quelles valeurs de λ, la matrice (A − λI3 ) est-elle inversible ?
(f) (Question subsidiaire) : On suppose que la matrice (A − λI3 ) est inversible. Calculer son inverse.
Exercice 38 (CC3 Décembre 2010). — Soient

1 1
P = 1 1
1 1
P, Q ∈ M3 (R) telles que

1
1
1 Q = (I3 + P )
4
1
(a) Calculer P 2 , P Q, QP en fonction de P .
(b) Calculer (4I3 − P )Q et Q(4I3 − P ). Que peut-on conclure concernant Q ?
(c) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe des réels (an ) et (bn ) tels que : Qn = an I3 + bn P . Les
suites (an ) et (bn ) vérifiant :
an+1 = 14 an
bn+1 = 14 an + bn
avec a0 = 1 et b0 = 0. On pensera à un raisonnement par récurrence.
(d) En déduire une expression de an en fonction de n.
(e) Montrer que ∀n ∈ N∗ :
n−1
X
(bk+1 − bk ) = bn
k=0
(f) En déduire que ∀n ∈ N : bn =
1
3
1−
1
4n
(g) Donner alors l’expression de Qn en fonction de n et sous forme matricielle.
Exercice 39 (CC 1 Octobre 2011). — On considère la matrice


13 −8 −12
A =  12 −7 −12 
6 −4 −5
1) Calculer det A.
2) Calculer A2 .
3) En déduire A−1 .
8
Exercice 40 (CC 1 Octobre 2013). — Soit A une matrice de Mn (R). On note I la matrice identité de
Mn (R). On suppose que (I + A) est inversible et on pose B = (I − A)(I + A)−1 .
(a) Montrer que (I + A)(I − A) = (I − A)(I + A).
(b) En déduire que B = (I + A)−1 (I − A).
(c) Calculer (I + B)(I + A). En déduire que (I + B) est inversible et exprimer A en fonction de B.
Exercice 41 (CC 1 Mars 2014). — Soit A une matrice de Mn (R) vérifiant A2 = 0.
(a) Montrer que A n’est pas inversible.
(b) On note I la matrice identité de Mn (R). Montrer que I + A est inversible et calculer son inverse
Exercice 42 (CC3 Juin 2014). — Pour tout entier n non nul, on considère Mn la matrice de Mn (C) dont
les coefficients mi,j sont
mi,j = 0 si j < i − 1 ou si j > i (sauf m1,n )
mi,j = 1 si j = i − 1
mi,j = −X si j = i
m1,n = 1
Ainsi

−X
 1



Mn = 



1
−X
1
−X
..
.




.



..
.
1
−X
1

−X
On note Dn = det(Mn ).
(a) Calculer D1 , D2 , D3 , D4 .
(b) Montrer que
∀n ∈ N
Dn = (−1)n (X n − 1).
(c) En déduire toutes les valeurs z ∈ C telles que Mn (z) n’est pas inversible.
§ F. Divisibilité
Exercice 43. — Montrer que pour tout n ∈ N, l’entier 7n − 1 est divisible par 6.
Exercice 44. — Soient a, b ∈ N∗ . On note q le quotient de la division euclidienne de a par b et r son reste.
Supposons que r > q. Quel est le quotient de la division euclidienne de a par b + 1 ?
Exercice 45. — Soient a, b ∈ N∗ tels que a > b. Comparer les quotients et les restes des divisions euclidiennes
de a par a − b et de b par a − b.
Exercice 46. — Soient m, n ∈ N∗ tels que m > n et soit r le reste de la division euclidienne de m par n. Quel
est le reste de la division euclidienne de 2m − 1 par 2n − 1 ?
9
§ G. pgcd et ppcm
N.B. — Dans la suite, le pgcd de deux entiers a, b (non tous deux nuls) est noté pgcd (a, b) ou a ∧ b. De même,
le ppcm de deux entiers a, b est noté ppcm (a, b) ou a ∨ b.
Exercice 47. —√Montrer que
p ∈ Z, q ∈ N∗ et 2 = p/q.
√
2 est un nombre irrationel, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’entiers p, q tels que
Exercice 48. — Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux. Montrer que pgcd (a − b, a + b) vaut 1 ou 2.
Exercice 49. — Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux. Montrer que pgcd (a + b, b) = 1 puis que pgcd (a + b, ab) =
1.
Exercice 50. — Soient a, b des entiers non tous les deux nuls. Montrer qu’alors 15a + 4b et 11a + 3b ne sont
pas tous les deux nuls et montrer que leur pgcd vaut pgcd (a, b).
Exercice 51. — Soient a, b, c ∈ N∗ .
1o) Montrer que si pgcd (a, b) = pgcd (a, c) = 1, alors pgcd (a, bc) = 1.
2o) En déduire que si a et b sont premiers entre eux, alors pour tout (p, n) ∈ N2 , les entiers ap et bn sont aussi
premiers entre eux.
Exercice 52. — Soit n ∈ N et soit p ∈ N tel que p > 2.
1o) Montrer que pgcd (pn − 1, p) = 1. En déduire la valeur de
pgcd (p2n − 1, pn+1 − p).
2o) Montrer que pgcd pn ,
Pn−1
k=0
pk = 1 et en déduire la valeur de pgcd (pn+1 − pn , pn − 1).
n
Exercice 53. — Pour tout n ∈ N, on pose Fn = 22 + 1.
1o) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ , on a Fn − 2 =
Qn−1
p=0
Fp .
2o) En déduire que pour tout n ∈ N et tout k ∈ N∗ , les entiers Fn et Fn+k sont premiers entre eux.
Remarque. — Les nombres Fn sont appelés nombres de Fermat (mathématicien et juriste français, 1601–1665).
§ H. Équations diophantiennes
Exercice 54. — Résoudre dans Z l’équation xy = 2x + 3y.
Exercice 55. — 1o) Calculer 637 ∧ 595.
2o) L’équation diophantienne 637x + 595y = 91 admet-elle des solutions ? Si oui, les déterminer toutes.
3o) L’équation diophantienne 637x + 595y = 143 admet-elle des solutions ? Si oui, les déterminer toutes.
Exercice 56. — Résoudre les équations diophantiennes suivantes :
(a) 9x + 15y = 82,
(b) 205x + 93y = 1,
(c) 693x + 1911y = 42,
(d) 56x + 72y = 36.
Exercice 57. — Un groupe de 48 personnes veut acheter des pâtisseries à raison d’une par personne. Les
pâtisseries sont conditionnées en lots de 10 et en lots de 6.
1o) Quelle équation diophantienne correspond à cette situation ? La résoudre.
2o) Le lots de 10 pâtisseries coûte 20 euros et le lot de 6 en coûte 15. Quelle est la solution la plus économique
pour le groupe ?
10
Exercice 58. — Trouver tous les couples d’entiers (x, y) tels que xy = 2700 et x ∧ y = 6.
Exercice 59 (CC3 Décembre 2010). — Résoudre l’équation diophantienne d’inconnues x, y ∈ Z suivante :
340x + 138y = 6
Exercice 60 (CC2 Novembre 2011). — Résoudre dans Z2 l’équation diophantienne
42x + 35y = 8
Exercice 61 (CC2 Novembre 2013). — Déterminer l’ensemble des couples d’entiers (x, y) solutions de
l’équation Diophantienne
15x + 6y = 21
Exercice 62 (CC2 Avril 2014). — Un de vos camarades collectionne les figurines d’heroic fantasy. Il commence à les ranger dans des caisses à 64 places. Il lui reste 16 figurines. Il change d’avis et les range dans des
caisses à 15 places. Il reste 5 figurines. Combien peut-il avoir de figurines ? (donner toutes les solutions possibles).
§ I. Nombres premiers
Exercice 63. — Soit n ∈ N∗ . Montrer par contraposition que si 2n − 1 est un nombre premier, alors n est un
nombre premier. La réciproque est-elle vraie ?
Remarque. — Les nombres de la forme 2n − 1 avec n premier sont appelés nombres de Mersenne (moine,
mathématicien et philosophe français, 1588–1648) ; on les note Mn . Le plus grand nombre premier connu à ce
jour est M32582657 ; il comporte 9808358 chiffres.
Exercice 64. — 1o) Soit p un nombre premier et soit α ∈ N∗ . Déterminer le nombre de diviseurs positifs de pα .
2o) Soient p et q des nombres premiers distincts. Quels sont les diviseurs positifs de p2 q ? Donner également
la liste des diviseurs de p3 q 2 .
Exercice 65. — Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers.
Exercice 66. — 1o) Décomposer 8160 en produit de facteurs premiers.
2o) Trouver tous les entiers a, b ∈ N∗ tels que a > b, a ∧ b = 5 et a ∨ b = 8160.
Exercice 67. — Démontrer à partir du résultat de l’exercice 17 qu’il y a une infinité de nombres premiers.
§ J. Congruences
Exercice 68. — Soient a, b, c, d, m, n des entiers tels que m > 2 et n > 2. Démontrer les propriétés suivantes :
1o) a ≡ b [m] =⇒ b ≡ a [m].
2o) (a ≡ b [m]) et (b ≡ c [m]) =⇒ a ≡ c [m].
3o) (a ≡ b [m]) et (c ≡ d [m]) =⇒ a + c ≡ b + d [m].
4o) (a ≡ b [m]) et (c ≡ d [m]) =⇒ ac ≡ bd [m].
5o) (ac ≡ bc [m]) et (m ∧ c = 1) =⇒ a ≡ b [m].
6o) (ac ≡ bc [mc]) et (c 6= 0) =⇒ a ≡ b [m].
7o) (a ≡ b [n]) et (m | n) =⇒ a ≡ b [m].
8o) (a ≡ b [m]) et (a ≡ b [n]) et (m ∧ n = 1) =⇒ a ≡ b [mn].
11
Exercice 69. — Démontrer les critères de divisibilité suivants :
1o) Un entier est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est pair.
2o) Un entier est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est 0 ou 5.
3o) Un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
4o) Un entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible
par 4.
5o) Un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
6o) Un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11 (par
exemple, la somme alternée des chiffres de 1728 est 1 − 7 + 2 − 8 = −12).
Exercice 70. — À l’aide d’un tableau de congruences, montrer que pour tout a ∈ Z, l’entier a2 + 3 n’est pas
divisible par 5.
Exercice 71. — Montrer que pour tout n ∈ N, on a 106n + 103n ≡ 2 [111].
Exercice 72. — Soit a ∈ Z. Montrer que a2 est congru à 0, 1 ou 4 modulo 8. En déduire que pour tout n ∈ N,
l’équation a2 + b2 + c2 = 8n − 1 n’admet aucune solution (a, b, c) ∈ Z3 .
Exercice 73. — 1o) Quel est le reste de la division euclidienne de 218 par 7 ?
2o) Quel est le reste de la division euclidienne de 249 par 7 ?
3o) Quel est le reste de la division euclidienne de 6221 par 7 ?
4o) Quel est le reste de la division euclidienne de 247349 par 7 ?
5o) Quel est le reste de la division euclidienne de 22223333 + 33332222 par 5 ?
Exercice 74. — Résoudre les équations suivantes :
1o) 3x ≡ 5 [7],
2o) 2x ≡ 5 [6],
3o) 2x ≡ 4 [6].
Exercice 75. — Résoudre les systèmes suivants :
(
x ≡ 3 [7],
o
1)
x ≡ 5 [19];
(
x ≡ 2 [18],
2o)
x ≡ 8 [45];
(
x ≡ 2 [18],
3o)
x ≡ 11 [45].
Exercice 76. — Déterminer les éléments inversibles de Z/6Z et dresser la table de multiplication de Z/6Z.
Même question pour Z/12Z.
Exercice 77. — Résoudre dans Z/12Z les équations suivantes :
1o) 7(x + 4) = 0,
2o) 3(x + 4) = 0.
12
1o) Rappeller l’énoncé du théorème de Bézout et du théorème
Exercice 78 (CC2 Novembre 2010). —
chinois.
2o) Calculer le pgcd de 627 et 440. Donner une identité de Bézout pour ces deux nombres.
(
x ≡ 13 [627],
o
3 ) On considère dans Z le système de congruences :
x ≡ 46 [440];
4o) Résoudre sur Z l’équation diophantienne 627x − 440y = 33.
5o) Résoudre sur Z le système précédent.
Exercice 79 (CC3 Décembre 2010). — Soient x et y deux entiers vérifiant
x+y
2
=
x2 − xy + y 2
7
(1)
1o) Montrer que x + y et x − y sont pairs.
2o) Soient u et v deux entiers tels que 2u = x + y et 2v = x − y. Montrer que l’on a
2(7 − u) = 3v 2
3o) En déduire les solutions de l’équation (1).
Exercice 80 (CC2 Novembre 2011). — Le 5 mars 2013 est un mardi. Quel jour sera-t-on le 5 mars 2014 ?
NB : Les réponses qui ne comporteront pas de formalisation mathématique seront notées 0.
Exercice 81 (CC2 Novembre 2011). — L’objectif est de résoudre dans Z l’équation
(E)
39x2 + 19x + 22 ≡ 0
[55]
1) Trouver des entiers u et v tels que 39u + 55v = 1
2) En déduire que 39 est inversible dans Z/55Z et calculer son inverse.
3) Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation
(E 0 )
x2 + 16x + 33 ≡ 0
[55]
4) En déduire que si x est solution de (E 0 ), alors
(
x2 + x + 3
x2 + 5x
≡ 0 [5]
≡ 0 [11]
(2)
5) Résoudre dans Z/5Z l’équation x2 + x + 3 = 0
Résoudre dans Z/11Z l’équation x2 + 5x = 0
6) En appliquant le théorème chinois, déterminer les solutions de (E) dans Z/55Z
NB : Les questions 5) et 6) sont sur 6 points à elles deux et sont indépendantes du reste du problème
Exercice 82 (CC3 Décembre 2011). — Sur un bateau, 17 pirates souhaitent se partager leur butin de x
pièces d’or en parts égales. Ils font donc 17 tas. Il reste 3 pièces qu’ils prévoient de donner à leur cuisinier chinois,
lorsqu’éclate une bagarre qui fait 6 morts. Aucune pièce n’est perdue mais il faut refaire le partage. Ce nouveau
partage en parts égales laisse 4 pièces au cuisinier chinois. A ce moment, le cuisinier envisage d’empoisonner
tout l’équipage pour garder le butin pour lui seul. Quelle est la plus petite valeur possible de x, que peut alors
espérer obtenir le cuisinier ?
Exercice 83 (CC2 Novembre 2012). — Montrer que pour tout n ∈ N, 11 divise 26n+5 + 32n .
13
Exercice 84 (CC2 Novembre 2012). — L’objet de l’exercice est de résoudre l’équation x2 + 1 ≡ 0
[65]
1) Montrer que x est solution si et seulement si
(x ≡ 5
[13]
x≡8
ou
[13])
et
(x ≡ 2
[5]
ou
x≡3
[5])
2) Si m et n sont des entiers tels que 5m + 13n = 0, montrer que 13 divise m et 5 divise n.
3) Trouver u et v tels que 13u + 5v = 1.
4) Résoudre
(
5) Sachant que x ≡ 8
x ≡5
x ≡2
(
x
x
[13]
[5]
[13] si et seulement si −x ≡ 5
≡5
≡2
[13]
[5]
[13], trouver toutes les solutions entre 0 et 64 de
x2 + 1 ≡ 0
[65]
Exercice 85 (CC2 Novembre 2013). — On fixe un entier positif n.
a) Montrer que lorsque n est impair, 8 divise 7n + 1.
b) Lorsque n est pair, déterminer le reste de la division par 7n + 1 par 8.
Exercice 86 (CC2 Novembre 2013). — Déterminer l’ensemble des entiers x solutions de l’équation
(
x ≡ 5 [13]
x ≡ 4 [19]
Exercice 87 (CC2 Avril 2014). — 1) Calculer 3k modulo 10 pour k allant de 0 à 4.
2) Calculer en fonction de l’entier positif n le reste de la division Euclidienne de 3n par 10.
3) Montrer que pour tout entier positif n, 19n − 32n est divisible par 10.
Exercice 88 (CC3 Juin 2014). — Soit n un nombre entier premier strictement supérieur à 3.
1) Montrer qu’alors n ≡ 1[6] ou n ≡ −1[6].
2) Citer trois nombres n qui vérifient n ≡ 1[6] ou n ≡ −1[6] qui ne sont pas premiers.
§ K. Calculs sur les polynômes
Dans toute cette feuille, la lettre K désigne Q, R ou C.
Exercice 89. — Trouver un polynôme P à coefficients dans Q tel que
P (1) = 2,
P (2) = 1,
P (4) = 7.
Exercice 90. — Soit P (X) = a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 + an X n ∈ Q[X].
(a) On suppose que ai ∈ Z pour tout 0 ≤ i ≤ n. Montrer que si le rationnel p/q (avec p ∈ Z, q ∈ N∗ et
pgcd(p, q) = 1) est racine de P , alors p divise a0 et q divise an .
(b) Que peut-on en déduire si le polynôme P est unitaire ?
(c) Montrer que le polynôme P (X) = 6X 3 − 2X 2 + 3X + 4 n’a pas de racine rationnelle.
14
§ L. Division euclidienne
Exercice 91. — Soient P (X) = X 5 + X 4 + αX 3 + βX 2 + 5X − 2 et Q(X) = X 3 − 2X + 1 deux éléments de
K[X], avec α, β ∈ K. Déterminer α et β pour que Q divise P .
Exercice 92. — Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par Q :
(a) P (X) = X 7 + 2X 3 − X 2 + 1 et Q(X) = X 2 + X + 2
(b) P (X) = 2X 8 et Q(X) = X 3 − 2X 2 + 1
(c) P (X) = (1 + i)X 4 − 5X 2 + (2i − 1)X + 7 et Q(X) = X 2 − iX + (i − 1)
§ M. Irréductibilité
Exercice 93. — On considère les polynômes de R[X] suivants : P (X) = X 4 + 2X 3 + 3X 2 + 2X et Q(X) =
X2 + X + 2
(a) Le polynôme P a deux racines évidentes : lesquelles ? Décomposer P en produit de polynômes irréductibles de R[X].
(b) Déterminer le pgcd unitaire de P et Q dans R[X].
(c) Soit S ∈ R[X].
(a) À quelle condition peut-on écrire, dans R[X], le polynôme S sous la forme S = U P + V Q (?).
(b) Prenons S = X 3 + X − 2. Déterminer les couples (U, V ) de polynômes satisfaisant (?).
Exercice 94. — Soit P (X) = 16X 5 − 20X 3 + 5X − 1.
(a) Effectuer la division euclidienne de P par son polynôme dérivé P 0 .
(b) Factoriser P dans R[X].
Exercice 95 (Examen Septembre 07). — Soit le polynôme P (X) = X 3 + X 2 − 2X − 8.
(a) Montrer que P admet une racine et une seule, α, que l’on déterminera.
(b) Factoriser le polynôme P dans R[X] et C[X].
Exercice 96. — On considère le polynôme réel P (X) = X 6 + X 5 + X 4 − aX 2 − X − b, où a, b ∈ R.
(a) À quelle condition sur a et b le polynôme X 3 − 1 divise-t-il P ?
(b) On suppose que X 3 − 1 divise P .
(a) Décomposer P en produit de polynômes irréductibles dans R[X].
(b) Même question dans C[X].
Exercice 97. — Montrer que le polynôme P (X) = X 3 + X − 1 est irréductible dans Q[X].
Exercice 98 (Examen Septembre 08). —
C[X] ?
(a) Quels sont les polynômes irréductibles dans R[X] ? dans
(b) Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans R[X] les polynômes suivants :
X 3 + 1,
X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1.
(c) Même question dans C[X].
Exercice 99 (CC3 Décembre 2010). — Dans C[X], on considère les polynômes
P (X) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1, Q(X) = X 3 − 3X 2 + X − 3.
(a) Faire la division euclidienne de P par Q.
15
(b) Le polynôme Q admet une racine réelle évidente : laquelle ? Décomposer Q en produit de polynômes
irréductibles dans C[X].
(c) En déduire une décomposition de P en produit de polynômes irréductibles dans C[X].
(d) Donner le pgcd de P et Q.
Exercice 100 (CC3 Décembre 2011). — Soit n un entier au moins égal à 2. Soit P = (X + 1)n − (X − 1)n ∈
C[X].
(a) Montrer que 1 n’est pas racine de P .
(b) Montrer que P admet au moins une racine dans C.
(c) Quelles sont les racines complexes du polynôme Q = X n − 1 ?
α+1
.
(d) Soit α ∈ C une racine de P . Calculer Q α−1
(e) En déduire toutes les racines de P .
Exercice 101 (CC3 Décembre 2011). — Soit P = X 3 − 6X 2 + 11X − 6 ∈ R[X].
(a) Décomposer P en facteurs irréductibles de R[X]. Quelles sont les racines réelles de P ?
(b) On considère les matrices


6
−11  ,
6
0 0
C= 1 0
0 1

1
I3 =  0
0
0
1
0

0
0 .
1
Soit λ ∈ R. Montrer que det(C − λI3 ) = −P (λ). Pour quelle(s) valeur(s) de λ la matrice C − λI3 est-elle
inversible ?
(c) On pose

1
V = 1
1

1
4 .
9
1
2
3
Montrer que V est inversible et calculer son inverse.
(d) Calculer V CV −1 . Que constate-t-on ?
Exercice 102 (CC3 Décembre 2011). — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans Q.
(a) On effectue la division euclidienne de A par B dans Q[X] :
A = BQ + R.
Montrer que la division euclidienne de A par B dans C[X] est également A = BQ + R.
(b) On suppose que A et B sont premiers entre eux dans Q[X]. Déduire de 1) que A et B sont aussi premiers
entre eux dans C[X].
(c) Soit P un polynôme irréductible de Q[X]. Montrer que P et son polynôme dérivé P 0 sont premiers entre
eux dans Q[X].
(d) Déduire de b) et c) que P n’a pas de racine double dans C.
Exercice 103 (CC3 Décembre 2012). — Soit un la suite récurrente d’ordre 3 définie par un+3 = un+2 +
un+1 + un pour tout n appartenant à N et par (u2 , u1 , u0 ) = (4, 1, 2).
Première partie Les trois parties sont indépendantes.
(a) Montrer que pour tout n de N :

 
un+3
1
 un+2  =  1
un+1
0
1
0
1


−1
un+2
0   un+1 
0
un
16
(b) Montrer que pour b réel det(A − bI3 ) = −P (b) avec P = X 3 − X 2 − X + 1 avec




1 1 −1
1 0 0
A= 1 0 0 
I3 =  0 1 0 
0 1 0
0 0 1
(c) Décomposer P en facteurs irréductibles de R[X]. Quelles sont ses racines ?
(d) Pour quelles valeurs de b la matrice (A − bI3 ) est-elle inversible ?
Deuxième partie
Soit n un entier naturel, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de R[X] tels que : X n = Q(X)P (X) +
R(X) avec deg(R) < 3 (division euclidienne). Nous écrivons R(X) = aX 2 + bX + c, avec a, b, c des nombres
réels.
(a) Trouver trois racines, pas nécessairement distinctes, de X n − R(X).
(b) Soit n = 2k et k ∈ Z. Montrer que les coefficients a, b, c satisfont le système d’équations :

 a+b+c =1
2a + b = n

a − b + c = 1.
(c) Déterminer le polynôme R(X) pour n = 2k.
Troisième partie
(a) Pour toute n = 2k, montrer que

k+1
An =  k
k
0
1
0

−k
−k 
−k + 1
(b) Montrer que pour tout n de N :




un+3
u2
 un+2  = An+1  u1 
un+1
u0
(c) Trouver u2012 .
Exercice 104 (CC3 Décembre 2012). — Soit P ∈ C[X] un polynôme tel que XP (X − 1) = (X − 2)P (X),
deg(P ) ≤ n et n ≥ 2.
(a) Montrer que 0 et 1 sont racines de P .
(b) On suppose que P admet une racine a ∈ C non entière.
(a) Montrer que a − 1 et a + 1 sont aussi racines.
(b) Montrer que P admet une infinité de racines.
(c) En déduire que P = 0.
(c) On suppose maintenant que P est non nul, donc il ne peut donc pas avoir de racine non entière.
(a) Montrer comme à la question (2) que 0 et 1 sont les seules racines de P .
(b) En déduire que P est de la forme αxk (x − 1)l avec α ∈ C, k, l ∈ N∗ , k + l ≤ n.
Exercice 105 (CC3 Décembre 2012). — Soit P ∈ Z[X] tel que P (0) et P (1) sont impairs. Montrer que P
n’a pas de zéro dans Z.
Indication : considérer x ∈ Z. Calculer P (x) modulo 2.
Exercice 106 (CC3 Décembre 2013). — Soit P le polynôme
P = X 4 − 2X 3 + 3X 2 − 2X + 1
17
(a) Calculer D = pgcd(P, P 0 ).
(b) Trouver deux polynômes U et V tels que D = U P + V P 0 .
(c) Déterminer les racines doubles de P dans C.
(d) Ecrire P comme produit de polynômes irréductibles dans R[X].
(e) De même dans C[X].
Exercice 107 (CC3 Décembre 2013). — Soit n ∈ N? ,
P = (X + 1)n − X n − 1
Le but de l’exercice est de déterminer n ∈ N? tel que P ait une racine multiple dans C.
(a) Soit a ∈ C. Montrer que si a est une racine multiple de P , alors
(a + 1)n − an − 1 = 0
et
n(a + 1)n−1 − nan−1 = 0
(b) Montrer que (a + 1)n−1 = an−1 = 1.
(c) Montrer que |a| = 1 et |a + 1| = 1.
(d) En déduire que a = − 12 + i
√
3
2
ou a = − 21 − i
Dans la suite, on pose a1 = − 12 + i
√
3
2
√
3
2 .
et a2 = − 21 − i
√
3
2 .
(e) Mettre les solutions a1 et a2 sous forme polaire reiϑ . En déduire que n − 1 est un multiple de 3.
(f) Supposons que n = 1 + 3k, avec k ∈ N? . Montrer que si a1 est une racine multiple de P , alors k est pair.
On admettra que si a2 est une racine multiple de P , alors k est pair.
(g) Réciproquement, montrer que si n ≡ 1[6], alors a1 et a2 sont des racines multiples de P . Conclure.
Exercice 108 (CC3 Juin 2014). — On considère le polynôme P = X 4 − X 3 − X + 1.
1) Montrer que 1 est une racine multiple de P .
2) En déduire la décomposition de P en facteurs premiers dans R[X] et C[X].
Exercice 109 (CC3 Juin 2014). — On considère le polynôme de C[X]
Pn =
n
X
Xk
k=0
k!
Pn a-t-il une racine multiple ?
§ N. Nombres complexes
Exercice 110. —
1. Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :
√
z1 = 1 + i 3; z2 = 5 − 12i; z3 = 9 + 40i; z4 = −12 − 16i.
2. Résoudre dans C les équations suivantes (on pourra utiliser la forme polaire)
√
2π
z 2 = 3 − 4i; z 2 = −2 3 + 2i; z 2 = 4e 3 ; z 6 = −1; z 3 = 1 + i.
Exercice 111. — Résoudre dans C les équations suivantes
1.
2.
3.
4.
iz 2 + (1 − 5i)z + 6i − 2 = 0 ;
(2 + 3i)z 2 + (i − 8)z + (1 − 5i) = 0 ;
2z 2 + (5 + i)z + 2 + 2i = 0 ;
(2 + i)z 2 + (2i − 6)z + 4 + 7i = 0.
18
Exercice 112. —
1.
2.
3.
4.
Résoudre sous forme polaire z 4 = i.
Résoudre sous forme algébrique z 2 = i.
En utilisant ce qui précède, résoudre sous forme algébrique z 4 = i.
En déduire les valeurs de cos (π/8) et sin (π/8).
Exercice 113. —
√
1. Calculer les racines carrées de 1 + i 3 et de 5 − 12i.
2. Calculer les racines quatrièmes de −1 et les racines cinquièmes de
√1+i .
3−i
Exercice 114 (CC d’analyse 2009-2010). —
On veut résoudre dans C l’équation suivante :
z 3 − (4i − 2)z 2 − 2(2 + 3i)z − 4(2 − i) = 0.
(3)
1. Déterminer les racines carrées complexes de −8i.
2. Montrer que l’équation (3) admet une solution réelle que l’on déterminera.
3. Résoudre (3).
Exercice 115 (Examen d’analyse 2008-2009, Session 1). —
1. Résoudre dans C l’équation :
z 7 − 1 = 0.
6
5
(4)
4
3
2
2. Établir que, si z 6= 1 est solution de (4), z vérifie z + z + z + z + z + z + 1 = 0.
3. Établir que, si z est solution de (4), son conjugué z̄ vérifie, pour k ∈ {0, . . . , 7}, z̄ k = z 7−k .
4. Déduire des questions précédentes que
4π
6π
1
2π
+ cos
+ cos
=− .
cos
7
7
7
2
Exercice 116. —
(z)
où P est un polynôme.
1. Soit z 6= 1. Ecrire 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 = Pz−1
2π
i
−2
−1
2
2. Pour z = e 5 , calculer z + z + 1 + z + z .
1
−1
3. Soit x = cos 2π
). Calculer x + x2 . En déduire x.
5 = 2 (z + z
Exercice 117. — Soit x ∈]0, 2π[. Simplifier les expressions, pour un entier n non nul :
A = 1 + eix + · · · + einx ; C = 1 + cos x + · · · + cos nx; S = sin x + · · · + sin nx.
Exercice 118 (CC1 d’analyse Mars 2010). —
On considère le nombre complexe
1−i
a= √
3−i
a) Calculer le module et l’argument de a
b) Résoudre dans C l’équation
z3 = a
Exercice 119 (CC1 d’analyse Février 2011). —
On considère les nombres complexes z = e
2iπ
5
, α = z + z 4 et β = z 2 + z 3
19
1) Montrer que α + β + 1 = 0
2) Montrer que α et β sont réels.
3) En déduire un lien entre α et cos( 2π
5 )
4) Montrer que α et β sont solutions de l’équation
X2 + X − 1 = 0
5) Résoudre l’équation X 2 + X − 1 = 0
6) En déduire la valeur de cos( 2π
5 )
Exercice 120 (CC1 d’analyse Octobre 2011). —
1) Calculer les racines carrées complexes de :
−8 + 6i.
2) Résoudre dans C l’équation
z 2 − (1 − i)z + 2(1 − i) = 0.
Exercice 121 (CC1 d’analyse Octobre 2011). —
1) Rappeler les solutions de l’équation
z 7 = 1.
On les notera α0 , α1 , . . . , α6 .
2) Soit k ∈ {0, 1, . . . , 6}. Montrer que
2 cos
kπ
7
eikπ/7 = 1 + αk
(Indication : on pourra utiliser la formule d’Euler)
3) Soit k ∈ {0, 1 . . . , 6}. Calculer
(1 + αk )7 .
4) En déduire que les 7 points du plan complexe d’affixe
(1 + α0 )7 , (1 + α1 )7 , . . . , (1 + α6 )7
sont alignés.
Exercice 122 (CC3 d’analyse Décembre 2011). —
Résoudre dans C l’équation
Exprimer les solutions sous forme algébrique.
z 3 = −1