§ A. Matrices - Irma - Université de Strasbourg

Universit´e de Strasbourg Automne 2014
Licence Math-info/ Math-´eco Alg`ebre S1
§A. Matrices
Exercice 1. —´ Ecrire explicitement la matrice A= (aij )`a nlignes et pcolonnes dans les cas suivants :
1. n= 2, p = 3 et aij =i+j.
2. n= 4, p = 3 et aij = min(i, j).
3. n= 2, p = 3 et aij =j(−1)i.
4. n= 5, p = 5 et aij =δij o`u δest le symbole de Kronecker d´efini par δij =1si i=j
0sinon .
5. n= 4, p = 4 et aij = (1 −δij )i j.
6. n= 3, p = 3 et aij = cos(iπ
3) sin( jπ 3).
Exercice 2. — Consid´erons les quatre matrices
M=101
139, N =
1 3
−1 7
2 4 
Q=1 0
2 0 P=
−2−1 4
735
895
Parmi les calculs suivants, d´eterminer ceux qui sont licites et ceux qui ne le sont pas et effectuer les calculs
lorsqu’ils sont possibles.
(a) NP ,
(b) P N,
(c) MN +Q2,
(d) MN +P,
(e) tMQ +NQ,
(f) (QM)N+tQ
Exercice 3. — Parmis les matrices suivantes lesquelles sont toujours ´egales `a (A+B)2?
(B+A)2, A2+ 2AB +B2, A(A+B) + B(A+B),(A+B)(B+A), A2+AB +BA +B2
Exercice 4. — Soit A∈ M2(R), d´ecrire les colonnes de EA et les lignes de AE lorsque E=1 7
0 1 .
Exercice 5. — Le produit de deux matrices triangulaires sup´erieures est triangulaire sup´erieure (i.e : les
coefficients sous la diagonale sont tous nuls). Calculer le produit suivant :
101
029
003
1 3 −1
0−1 7
0 0 5 
puis d´eduire la proposition de la r`egle de calcul du produit matricielle.
Exercice 6. — Calculer explicitement An(n∈N) pour A=1 1
1 1 puis pour A=
001
010
100
.
1

2
Exercice 7. — Pour tout nombre r´eel θ, on pose
R(θ) = cos(θ)−sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
1. Montrer que quels que soient θ1, θ2∈R:R(θ1+θ2) = R(θ1)R(θ2).
2. En d´eduire que quels que soient θ∈Ret n∈N:R(θ)n=R(nθ).
3. Soient aet bdes nombres r´eels. On suppose b6= 0 et l’on consid`ere la matrice
A=a−b
b a 
Montrer qu’il existe un unique nombre λ > 0et un unique nombre θ∈]0,2π[tels que A=λR(θ).
4. Calculer −1−√3
√3−1n
pour tout entier n∈N.
Exercice 8. — Soient a, b ∈C. Montrer que l’on a pour tout entier n≥0:a b
0an
=annan−1b
0an
Exercice 9. — Soit
A=
123
012
001
(a) Calculer (A−I)npour tout n∈N.
(b) Calculer Anpour tout n∈N.
(c) Soient (un),(vn)et (wn)trois suites r´eelles d´efinies par la donn´ees de u0, v0, w0et
un=un−1+ 2vn−1+ 3wn−1
vn=vn−1+ 2wn−1
wn=wn−1
Calculer (un),(vn)et (wn)en fonction de n,u0,v0et w0.
Exercice 10 (CC 1 Octobre 2012). — Pour tout entier nnon nul, on consid`ere Mnla matrice de Mn(R)
dont les coefficients mi,j sont
mi,j = 0 si j < i −1ou si j > i + 1
mi,j = 1 si j=i−1
mi,j = 3 si j=i
mi,j = 2 si j=i+ 1
Ainsi
Mn=
3 2
132
1 3 2
...
1 3 2
1 3
.
On note dn= det(Mn).
(a) Calculer d1, d2, d3, d4.
(b) Montrer que ∀n≥3dn= 3dn−1−2dn−2.
(c) Montrer que ∀n∈N∗dn= 2n+1 −1.
Indication : on pourra raisonner par r´ecurrence

3
§B. Syst`emes lin´eaires
Exercice 11. — R´esoudre, quand c’est possible, les syst`emes lin´eaires suivants :
(a)
2x+ 5y+ 4z=−22
3x+y=−2
3x−z= 3
(b)
2x+ 6y+ 7z= 3
2x+ 3z= 5
−2x+ 9y+ 3z= 8
(c)(5x+ 7y−3z+t= 2
2x+ 3y+z−2t= 2
(d)
−2x−z=−5
y+ 3z= 11
−3x−y−5z=−20
(e)
x+y=−4
3x+ 3y+z=−12
5x+ 4y+ 5z=−19
(f)
−x+ 2y+z= 1
−x−3y= 4
−3x+ 2z= 7
Exercice 12 (Examen Septembre 2007). — Soit mun param`etre r´eel. Discuter et r´esoudre dans R3le
syst`eme suivant :
x−y+z= 1
3x+my + 2z= 3
mx + 3y+z= 2
Exercice 13. — R´esoudre le syst`eme suivant en fonction des valeurs du param`etre m∈R:
x−my +m2z=m
mx −m2y+mz = 1
mx +y−m3z=−1
Exercice 14. — R´esoudre le syst`eme suivant en fonction des param`etres a, b, c, d ∈R:
x+y=a
y+z=b
z+t=c
t+x=d
Exercice 15. — Le syst`eme suivant admet-il des solutions sur R:
2x+y+z= 3
x−y+ 3z= 8
x+ 2y−z=−3
x+y+ 2z=−1
Exercice 16. — R´esoudre le syst`eme suivant en fonction des valeurs du param`etre α∈C:
x+αy +α2z= 0
¯αx +y+αz = 0
¯α2x+ ¯αy +z= 0
Exercice 17. — R´esoudre le syst`eme suivant en fonction des valeurs des param`etres r´eels m, a, b, c.
x−y+ 2z=a
mx + (1 −m)y+ 2(m−1)z=b
2x+my −(3m+ 1)z=c

4
Exercice 18 (CC 1 Octobre 2010). — Soit mun param`etre r´eel. Discuter et r´esoudre dans R3le syst`eme
suivant :
x+y+mz =m
x+my −z= 1
x+y−z= 1
Exercice 19 (CC 3 D´ecembre 2010). — Soit mun param`etre r´eel. Discuter et r´esoudre dans R3le syst`eme
suivant :
2x+y−z= 1
x+my +z= 0
3x+y−mz = 1
Exercice 20 (CC 1 Octobre 2011). — Soit λun param`etre r´eel. R´esoudre dans R3le syst`eme suivant :
x+ 3y+ 2z= 4
(λ−5)x+ 3y+ 7z= 7
2x+λy + 4z= 8
(1)
Exercice 21 (CC 1 Octobre 2012). — R´esoudre le syst`eme suivant dans R3en fonction du param`etre r´eel
m:
x+my +m2z= 3
mx +m2y+mz =−3
x+mz = 2
Exercice 22 (CC 1 Octobre 2013). — R´esoudre le syst`eme suivant dans R3en fonction du param`etre r´eel
a:
x+ay +z= 1
ax +y+ (a−1)z=a
x+y+z=a+ 1
Exercice 23 (CC 3 D´ecembre 2013). — Soit mun param`etre r´eel. D´eterminer, en fonction de la valeur de
m, les solutions dans R3du syst`eme suivant :
x+ 2y−9z= 1
−y+mz =−2
−x+my +z= 7
Exercice 24 (CC 1 Mars 2014). — R´esoudre le syst`eme suivant dans R3en fonction du param`etre r´eel m:
x+y−z= 1
(m−1)x+m(m−1)y+ 2z= 1
x+my + 2z= 1
§C. Pivot de Gauss
Exercice 25. — Les matrices suivantes sont-elles bien ´echelonn´ees ?
A=
1 1
0 1
0 1 
, B =
1 4 0
0 1 8
0 0 −1
, C =
1000
0013
0000
, D =000
101, E =2 0 0 1 

5
F=
1 2 −1
1 0 0
0 0 0 
, G =
001
000
000
, H =123
045, I =In
Exercice 26. — Soit
A=
1 2 −2 3
2 5 −4 6
−1−3 2 −2
2 4 −3 6
(a) Calculer le produit M A pour chacune des matrices Msuivantes :
(a)M=
1000
0103
0010
0001
,(b)M=
0010
0100
1000
0001
,(c)M=
1000
0300
0010
0001
(b) Montrer que chaque matrice MA peut aussi ˆetre obtenue par une op´eration ´el´ementaire sur les lignes
de A. D´eterminer laquelle.
(c) On suppose maintenant que A∈ M4(K)est quelconque. Etablir que chaque matrice MA peut ˆetre
obtenue par une op´eration ´el´ementaire sur les lignes de A et d´eterminer laquelle.
Exercice 27. — 1. ´ Ecrire les matrices associ´ees aux syst`emes suivant
(a)
4x+y= 0
3x+y= 0
y= 0
(b)
−z+ 2t= 0
3y+ 7z+ 5t= 0
y+z−t= 0
(c)
x+ 4y= 9
−y+ 7z= 19
3x+ 2y+t= 11
5x+ 6y+ 8t= 49
(d)
x+y+ 3z+ 7t+ 6r= 0
2x+ 5y+ 12z+ 11t+ 18r= 1
3x+ 6y+ 15z+ 18t+ 25r= 0
2. Mettre sous forme bien ´echelonn´ees les matrices pr´ec´edentes.
3. R´esoudre les syst`emes. (Nb : R´esoudre le syst`eme (b) pour (x, y, z, t)∈R4)
§D. Inversion de Matrices
Exercice 28. — Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses en utilisant la
m´ethode des op´erations ´el´ementaires sur les lignes :
A=
010
100
001
, B =
1 0 0 3
0 1 8 0
0 0 −1 2
0 0 0 1
, C =
0 2 −3
5 0 −1
0 0 −7
, D =1 3
−1 4 
Exercice 29. — Montrer que les matrices suivantes ne sont pas inversibles :
A=
732
5 2 −2
−3 1 6 
, B =
123
456
789
Exercice 30 (Examen Novembre 2004). — Une matrice carr´ee est dite idempotente si A2=A.
(a) Donner 3 exemples de matrices carr´ees d’ordre 2, `a coefficients r´eels ou complexes.
(b) Soient A et B deux matrices carr´ees d’ordre ntelles que AB =Aet BA =B. Montrer que Aet Bsont
idempotentes.