1°S Angles, trigonométrie et repérage Fiche méthode 1 Pratique du

1°S Angles, trigonométrie et repérage Fiche méthode 1
Pratique du cercle trigonométrique.
L’objectif est de se familiariser avec le cercle trigonométrique. Ceci permettra, plus tard, dans un autre
chapitre, d’étudier des fonctions circulaires (avec sinus, cosinus, tangente), de résoudre des équations
trigonométriques (fiche méthode suivante)…
Problème 1. Trouver la mesure principale d’un angle.
Le but est de placer sur le cercle trigonométrique le point A associé au réel
α
=
12
π89
après avoir
déterminer la mesure principale de
α
.
1) La piste à suivre est simple, il faut reprendre la définition de la mesure principale, aucune astuce
n’étant visible.
2) On note x la mesure principale de
α
.
Justifier que nous sommes conduits à résoudre l’inéquation d’inconnue k (k étant un entier relatif) :
–
π
<
12
π89
+ 2 k
π
π
.
3) Démontrer que cette inéquation mène à :
24
101
24
77 k
avec k entier relatif.
4) Trouver la valeur de k, puis la mesure principale de
α
.
Placer le point A sur le cercle trigonométrique.
Problème 2. Mesure principale, suite.
En appliquant si nécessaire, la méthode vue au problème 1, déterminer la mesure principale des angles
OB,OI
,
OC,OI
et
OC,OB
sachant que les points B et C ont pour abscisses curvilignes respectives
8
π49
et
3
π19
. Placer ces points sur le cercle trigonométrique.

Problème 3. Deux cordes parallèles.
Le but est de démontrer que les points A
3
π2
, B
6
π5
, C
9
π
et D
18
π11
du cercle
trigonométrique sont les sommets d’un trapèze.
1) Point de départ.
 Placer les points sur le cercle C pour se faire une idée des bases du trapèze.
Quelles semblent être les bases du trapèze ?
 Il s’agit ensuite de s’assurer que deux cordes sont parallèles. Or, deux cordes d’un cercle sont parallèles
si et seulement si, elles sont même axe de symétrie.
Rappeler alors le théorème du cours qui nous sera utile.
2) On appelle P l’un point des points d’intersection de C et de la médiatrice de [AB], et on note
α
son
abscisse curviligne. Démontrer que
α
vérifie l’équation
2
π3
= 2
α
[2
π
].
3) Calculer
9
π
+
18
π11
. En déduire que la réflexion d’axe (OP) échange aussi C et D. Conclure.
Problème 4. Deux cordes orthogonales.
1) Placer sur le cercle trigonométrique les points : A
5
π2
, B
5
π
, C
10
π3
.
2) Montrer que les médiatrices de [AB] et ’ de [J’C] sont orthogonales où J’ est associé à
2
π
.
Note : Introduire des points de C , P (
α
) et Q (
β
) avec P et Q ’…
3) En déduire que (AB) et (J’C) sont orthogonales.

1°S Angles, trigonométrie et repérage Correction de la fiche méthode 1
Pratique du cercle trigonométrique.
Problème 1. Trouver la mesure principale d’un angle.
Le but est de placer sur le cercle trigonométrique le point A associé au réel
α
=
12
π89
après avoir
déterminer la mesure principale de
α
.
1) La piste à suivre est simple, il faut reprendre la définition de la mesure principale, aucune astuce
n’étant visible.
2) On note x la mesure principale de
α
.
D’une part, comme la mesure principale d’un angle est comprise entre –
π
et
π
, comme d’autre part les
mesures équivalentes différent de 2 k
π
rad avec k Z, on doit résoudre l’inéquation d’inconnue k Z :
–
π
<
12
π89
+ 2 k
π
π
.
3) –
π
<
12
π89
+ 2 k
π
π
12
π89
ππ2
12
π89
πk
12
π89
12
π12
π2
12
π89
12
π12 k
12
π101
π2
12
π77 k
12
101
2
12
77 k
24
101
24
77 k
.
4) Trouvons la valeur de k, puis la mesure principale de
α
.
24
101
24
77 k
24
3
24
98
24
21
24
98 k
24
3
4
24
21
4k
.
On en déduit que k = 4 puis que la mesure principale de
α
est donc :
π42
12
π89
=
12
π7
12
π96
12
π89
π8
12
π89
. Et on place le point A sur le cercle trigonométrique.
Problème 2. Mesure principale, suite.
En appliquant la méthode vue précédemment, déterminons la mesure principale des angles
OB,OI
,
OC,OI
et
OC,OB
avec les points B et C d’abscisses curvilignes respectives
8
π49
et
3
π19
.
Pour le point B, on résout l’inéquation
ππ2
8
π49
πk
d’inconnue k Z.
ππ2
8
π49
πk
8
π49
ππ2
8
π49
πk
8
π49
8
π8
π2
8
π49
8
π8k
8
π57
π2
8
π41 k
16
57
16
41 k
16
9
16
48
16
7
16
48 k
16
9
3
16
7
3k
.
Donc k = 3 est l’unique solution entière. Donc la mesure principale de
OB,OI
est :
8
π
8
π48
8
π49
π6
8
π49
π32
8
π49
.

Pour le point C, on résout l’inéquation
ππ2
3
π19
πk
d’inconnue k Z.
ππ2
3
π19
πk
3
π19
ππ2
3
π19
πk
3
π19
3
π3
π2
3
π19
3
π3k
3
π16
π2
3
π22 k
3
8
3
11 k
3
1
3
9
3
2
3
9k
3
1
3
3
2
3k
.
Donc k = – 3 et la mesure principale de
OC,OI
est :
3
π
3
π18
3
π19
π6
3
π19
π32
3
π19
.
On en déduit, par la relation de Chasles :
π2
24
11π
π2
24
8π
24
3π
π2
3
π
8
π
π2OC,OIOI,OBOC,OB
.
Problème 4.
 Le point P (
α
) ainsi défini appartient à la médiatrice de [AB].
D’après le théorème du cours, comme
5
π2
est l’abscisse curviligne de A et
5
π
est celle de B, et comme
la réflexion d’axe (OP) échange A et B, on doit avoir :
5
π2
+
5
π
= 2
α
[2
π
] soit
5
π
= 2
α
[2
π
].
 Le point Q (
β
) ainsi défini appartient à la médiatrice de [J’C]. D’après le théorème du cours, comme
10
π3
est l’abscisse curviligne de C et
2
π
est celle de J’, et comme la réflexion d’axe (OQ) échange C et
J ’, on doit avoir :
2
π
+
10
π3
= 2
β
[2
π
] soit
5
π4
= 2
β
[2
π
].
o
I
J
A
B
C

 Or, on remarque que
5
π4
+
π
=
5
π
[2
π
], donc 2
β
+
π
= 2
α
[2
π
].
Ceci montre que 2
OQ,OP
= 2
β
– 2
α
=
π
[2
π
],
donc il existe k entier relatif tel que 2
OQ,OP
=
π
+ 2 k
π
,
donc il existe k entier relatif tel que
OQ,OP
=
2
π
+ k
π
,
et donc
OQ,OP
=
2
π
ou
2
π
[2
π
].
Ceci prouve que les médiatrices et ’ sont perpendiculaires. Ainsi, les cordes (AB) et (J’C) sont
orthogonales.