Espaces fibrés vectoriels et invariance homotopique

9.8. Invariance homotopique 319
9.8 Invariance homotopique
[sec:pullback-fibre-homotopie]
☞416 Définition. Une application continue π:E→Best un Rk-fibré vectoriel
localement trivial, si pour tout x∈B,π−1(x)(la fibre au dessus de x) est
un R-espace vectoriel et s’il existe des ouverts Ui(i∈I) recouvrant B, et des
homéomorphismes ψi:π−1(Ui)→Ui×Rk, tels que :
•le diagramme :
π−1(Ui)ψi
π
Ui×Rk
p1
B
soit commutatif (pour tout i),
•pour tout iet chaque x∈Ui,p2◦ψi:π−1(x)→Rkest un isomorphisme
R-linéaire.
L’expression « fibré vectoriel » signifiera désormais fibré vectoriel localement tri-
vial, chaque fibre étant un R-espace vectoriel de dimension finie.
Les Uide la définition ci-dessus sont appelés des « ouverts trivialisants ». Un
fibré π:E→Best dit « trivial » si Blui-même est un ouvert trivialisant.
L’homéomorphisme ψi:π−1(Ui)→Ui×Rkest appelé une « trivialisation » du
fibré πau dessus de Ui.
On utilisera d’autres fibrés (non vectoriels). La définition est essentiellement la
même, sauf que Rkest remplacé par une paire topologique (F, F �) (F�est parfois
vide), et évidemment on ne demande plus que les ϕisoient linéaires sur chaque
fibre.
Soit f:B→B�une application continue. Soit π�:E�→B�un fibré. Le pullback
de π�le long de fest π:E→B, où :
E={(x, y)∈B×E�|f(x) = π�(y)},
et où π(x, y) = x. La topologie de Eest celle induite par la topologie produit
sur B×E�. Le couple (f, ˜ f), où ˜ f:E→E�est défini par ˜ f(x, y)=y, est un
morphisme de fibrés, qui est un isomorphisme sur chaque fibre.
E
π
˜
fE�
π�
Bf
B�

320 9. Espaces fibrés
☞417 Lemme. Si un morphisme de fibrés vectoriels :[lem:fibre-pullback-iso-fibre]
E
π
fE�
π�
Bf
B�
est tel que finduise un isomorphisme d’espaces vectoriels π−1(x)→π�−1(f(x))
pour tout x∈B, alors le carré ci-dessus est cartésien.
Démonstration. Complétons le diagramme de l’énoncé de la façon suivante :
E
ψ
π
fE�
π�
E��
π��
B
1
fB�
Bf
où π�� est un pullback de πle long de f. Comme π�◦f=f◦π=f◦1◦π,
il existe une unique application continue ψ:E→E�� rendant le diagramme
commutatif. Il y a juste à montrer que ψest un isomorphisme de Top, c’est-à-
dire un homéomorphisme.
Comme ψest continue et clairement bijective, il suffit de montrer que ψest
une application ouverte. Comme c’est un problème local, on peut maintenant
supposer que les fibrés πet π�� sont triviaux. Dès lors, ψs’écrit :
B×RnψB×Rn
(x, y)✤(x, ϕ(x, y))
où ϕ:B×Rn→Rnest continue, et où pour tout x∈B,θ(x) = (y→ ϕ(x, y))
est un élément de GL(Rn). D’après le lemme 510 (page 398), θ:B→GL(Rn)
est continue, et il en est donc de même de sa composition x→ θ(x)−1avec
l’inversion des automorphismes linéaires qui est elle aussi continue. Comme Rnest
localement compact, le même lemme montre que la décurryfiée λ:B×Rn→Rn
de x→ θ−1(x) est continue. Il suffit alors de poser ψ�(x, y) = (x, λ(x, y)) pour
avoir un inverse continu pour ψ.❏
Un fibré qui est trivial au dessus d’un ouvert Upeut être trivialisé de différentes
manières. En effet, donnons-nous une application continue θ:U→GL(Rk). On
peut alors considérer la composition :
π−1(U)ψ −→ U×RkΛ −→ U×Rk,

9.8. Invariance homotopique 321
où ψtrivialise le fibré au dessus de U,etoùΛ(x, y)=(x, θ(x)(y)). C’est claire-
ment une autre trivialisation du fibré au dessus de U. Réciproquement, si ψet
ψ�sont deux trivialisations d’un fibré au dessus de U, l’application θ:
x→ (y→ p2ψψ�−1(x, y))
(qui est continue) envoie Udans GL(Rk). Il est clair que deux trivialisation au
dessus de U« diffèrent » par une unique application continue θ:U→GL(Rk),
qu’on appelera leur « différence ». La différence θentre la trivialisation ψet la
trivialisation ψ�est caractérisée par l’équation :
ψ(x, y)=(x, θ(x)(p2ψ�(x, y))).
☞418 Lemme. Soit π:E→B×I(où I= [a, b]⊂R,a < b) un fibré vectoriel,
qui est trivial au dessus de B1=B×[a, c]et au dessus de B2=B×[c, b](avec
a<c<b). Alors il est trivial au dessus de B×I.
Démonstration. Le résultat est immédiat quand les trivialisations au dessus
de B1et de B2sont égales au dessus de B1∩B2. Il suffit donc de se ramener à ce
cas. Soit θ:B1∩B2→GL(Rk) la différence entre la trivialisation provenant de
B1et celle provenant de B2. On peut prolonger θàB2en posant (pour t∈[c, b]) :
θ(x, t)=θ(x, c).
Ceci permet de changer de trivialisation au dessus de B2, et de satisfaire la
condition demandée. ❏
☞419 Lemme. Soit π:E→B×Iun fibré vectoriel. Alors, pour chaque
x∈B, il existe un voisinage Ude xdans B, tel que le fibré soit trivial au dessus
de U×I.
Démonstration. Pour chaque t∈I, choisissons un pavé ouvert Ut×Itde B×I
au dessus duquel le fibré est trivial, et contenant (x, t). Par compacité de I, il
existe un entier n, tel que chaque intervalle [ k
n,k+1 n](0≤k < n) soit contenu
dans un Itk(lemme de Lebesgue). Posons :
U=
n−1
�
k=0
Utk.
n−1 applications du lemme précédent donnent le résultat. ❏
☞420 Lemme. Soit π:E→B×Iun fibré vectoriel, où Best compact. Soit
p:B×I→B×Il’application définie par p(x, t) = (x, 1). Alors les fibrés πet
p∗(π)sont isomorphes.

322 9. Espaces fibrés
Démonstration. Le lemme précédent permet de recouvrir Bpar des ouverts
Uitels que le fibré soit trivial au dessus de Ui×I. Par compacité de B, on
peut supposer la famille des Uifinie, et se donner, pour chaque i, une fonction
continue λi:B→[0,1], dont le support supp(λi) (i.e. l’adhérence de λ−1((0,1]))
soit contenu dans Ui, et telles que pour tout xde B, on ait :( 8)
sup
i∈I
λi(x) = 1
Pour chaque i, considérons l’application αi:B×I→B×I, définie par :
αi(x, t)=(x, sup(t, λi(x)))
Alors αiest homotope à l’application identique et est même égale à l’application
identique en dehors de Ui×I. De plus, α∗
i(π) est isomorphe à π. En effet, soit
ϕ:π−1(Ui×I)→Ui×I×Rnune trivialisation de πau dessus de Ui×I(où n
est la dimension du fibré π). On définit ψ:E→Epar :
ψ(y)=(ϕ−1◦(αi×1) ◦ϕ)(y) si π(y)∈Ui×I
ψ(y)=ysi π(y)∈ supp(λi)×I
L’application ψest bien définie et continue, car Ui×Iet le complémentaire
de supp(λi)×Isont deux ouverts couvrant B×I, et parce que si π(y) ap-
partient à leur intersection, on a (ϕ−1◦(αi×1) ◦ϕ)(y) = y, puisqu’alors
αi(π(y), t) = (π(y), t). Par ailleurs, on vérifie à vue sur la définition de ψque
π(ψ(y))=αi(π(y)), autrement-dit, qu’on a le carré commutatif :
E
π
ψE
π
B×Iαi
B×I
Comme ψinduit un isomorphisme sur chaque fibre, ce carré est cartésien (lemme
417 (page 320)), ce qui montre que πest isomorphe à α∗
i(π).
Pour terminer, on peut composer les αi(dans un ordre quelconque). Notons α
cette composition. Alors α∗(π) est isomorphe à π, mais par ailleurs, il est clair
que α=p, puisque αi(x, 1) = (x, 1), et puisque pour tout x∈B, il existe itel
que λi(x) = 1. ❏
☞421 Corollaire. Soit π:E�→B�un fibré vectoriel. Soient f, g :B→B�
[coro:pullback-fibre-homotopie]
deux applications continues homotopes, où Best supposé compact. Alors les
fibrés f∗(π)et g∗(π)sont isomorphes.
8. Une telle famille s’appelle une « enveloppe de l’unité ». Elle est facilement construite à
partir d’une partition de l’unité µipar la formule λi(x) = µi(x)
supjµj(x).

9.8. Invariance homotopique 323
Démonstration. pétant comme dans le lemme précédent, notons h:B×I→B�
une homotopie de fàg, et notons i0, i1:B→B×Iles applications définies par
i0(x) = (x, 0) et i1(x) = (x, 1). On a f∗(π)=i∗
0(h∗(π)) i∗ 0p∗h∗(π)=i∗ 1h∗(π) =
g∗(π). ❏