TPE FILIERE MP COMPOSITION DE

SESSION 1997
T P E
FILIERE MP
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. 2 ème épreuve
Question préliminaire
Quand ntend vers +∞,
an=ln (n+1)α
nα+ln un+1 un=αln 1+1 n+ln 1−α n+O(1 n2) = α n−α n+O(1 n2) = O(1 n2).
Par suite, la série de terme général an=bn+1−bnest absolument convergente et donc convergente. On en déduit que
la suite (bn)converge et donc que la suite (nαun) = (ebn)converge vers un réel strictement positif K. On a montré que
∃K > 0/ un∼
n→+∞
K
nα.
Première partie
1) a) Soit xréel fixé non dans Z−. La suite 1
n+xn∈N
est définie, décroisante et positive à partir d’un certain rang
(pour n > −x) et tend vers 0. Donc la série proposée converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. Ainsi, la
série de fonctions de terme général fn:x7→(−1)n
n+xconverge simplement sur E.
Soit [a, b]un segment inclus dans E( et donc soit inclus dans ]0, +∞[, soit dans un intervalle de la forme ] − (p+1),−p[
où pest un entier naturel).
Pour nentier naturel donné strictement supérieur à −aet xréel élément [a, b], posons Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
(−1)k
k+x.xétant
fixé, la suite numérique 1
k+xk≥n+1
est décroissante (car n+1 > −a) et d’après une majoration classique du reste
d’ordre nd’une série alternée, on a
∀n > −a, ∀x∈[a, b],|Rn(x)|≤
(−1)n+1
n+1+x
=1
n+1+x≤1 n+1+a.
On en déduit encore que
∀n > −a, sup{|Rn(x)|, x ∈[a, b]}≤1
n+1+a.
Comme 1
n+1+atend vers 0quand ntend vers +∞, il en est de même de la suite (sup{|Rn(x)|, x ∈[a, b]})n>−a. Ainsi,
la suite des restes (Rn)converge uniformément vers la fonction nulle sur tout segment inclus dans Eou encore la série de
teme général fnconverge uniformément vers sa somme sur tout segment inclus dans E.
Comme chaque fonction fnest continue sur tout segment inclus dans E,gest continue sur tout segment inclus dans Een
tant que limite uniforme sur un tel segment d’une suite de fonctions continues sur ce segment et finalement
gest continue sur E.
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b) Soit x∈E. Tout d’abord la suite 1
n−1 n+xn≥1
est définie.
Soit maintenant [a, b]un segment inclus dans E. Pour n > −aet x∈[a, b],
1
n−1 n+x
=|x|
n|n+x|=|x| n(n+x)≤Max(|a|,|b|) n(n+a).
Comme la série de terme général Max(|a|,|b|)
n(n+a)converge, on en déduit que la série de fonctions de terme général
x7→1
n−1 n+xest normalement convergente sur tout segment inclus dans E et par suite uniformément et simplement
convergente sur tout segment inclus dans E.
Puisque chaque fonction x7→1
n−1 n+xest continue sur E, la fonction x7→
+∞
X
n=11
n−1 n+xest continue sur tout
segment de Eet donc sur Een tant que limite uniforme sur tout segment inclus dans Ed’une suite de fonctions continues
sur E. Enfin, comme la fonction x7→−1
xest continue sur E,
fest continue sur E.
2) Soit x∈E. Tout d’abord x
2et x+1 2sont dans E(car si x 2=k∈Z−ou x+1 2=k∈Z−alors x=2k ∈Z−ou
x=2k −1∈Z−). De plus,
1
2fx+1 2−fx 2=1 2 −2 x+1+
+∞
X
n=11
n−2 2n +1+x+2 x−
+∞
X
n=11
n−2 2n +x!
=1
x−1 x+1+
+∞
X
n=11
2n +x−1 2n +1+x=
+∞
X
n=01
2n +x−1 2n +1+x
=
+∞
X
n=0(−1)2n
2n +x+(−1)2n+1 2n +1+x=
+∞
X
n=0
(−1)n
n+x=g(x),
(puisque la série de somme gconverge , on peut associer deux à deux les termes de cette série).
∀x∈E, g(x) = 1
2fx+1 2−fx 2.
Soit x∈E.
f(x+1) − f(x) = − 1
x+1+
+∞
X
n=11
n−1 n+x+1+1 x−
+∞
X
n=11
n−1 n+x+1
=1
x−1 x+1+
+∞
X
n=11
n+x−1 n+x+1=
+∞
X
n=01
n+x−1 n+x+1
=lim
N→+∞
N
X
n=01
n+x−1 n+x+1=lim
N→+∞1
x−1 N+x+1
=1
x.
∀x∈E, f(x+1) = 1
x+f(x).
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Soit x∈Efixé.
f(x) = −γ−1
x+
+∞
X
n=11
n−1 n+x
=
n→+∞
− n
X
k=1
1
k−ln n!−1 x+
n−1
X
k=11
k−1 k+x+o(1)
=ln n−1
x−
n−1
X
k=1
1
k+x+o(1) = ln n−
n−1
X
k=0
1
k+x+o(1)
=lim
n→+∞ ln(n) −
n−1
X
k=0
1
k+x!.
∀x∈E, f(x) = lim
n→+∞ ln(n) −
n−1
X
k=0
1
k+x!.
3) Soient [a, b]un segment inclus dans Eet run naturel non nul.
•Tout d’abord, chaque fonction fn:x7→1
n−1 n+xest de classe C∞sur [a, b].
•Ensuite, la série de fonctions de terme général fnconverge simplement sur [a, b]vers la fonction x7→f(x) + γ+1
x.
•Vérifions alors que chacune des séries de fonctions de terme général f(r)
nest uniformément convergente sur [a, b].
Pour x∈[a, b]et n > −a,
|f(r)
n(x)|=
−(−1)rr!
(n+x)r+1
=r!
(n+x)r+1≤r! (n+a)r+1.
et donc
sup{|f(r)
n(x)|, x ∈[a, b]}≤r!
(n+a)r+1.
Puisque r+1≥2, la série numérique de terme général r!
(n+a)r+1est convergente. Par suite, la série de fonctions de
terme général f(r)
nest normalement et donc uniformément convergente sur [a, b].
D’après une généralisation du théorème de dérivation terme à terme, la fonction x7→f(x) + γ+1
xest de classe C∞sur
[a, b]et il en est de même de f.fétant de classe C∞sur tout segment contenu dans E,fest de classe C∞sur Eet ses
dérivées successives s’obtiennent par dérivation terme à terme.
fest de classe C∞sur Eet ∀x∈E, ∀r∈N∗, f(r)(x) = (−1)r+1r!
+∞
X
n=0
1
(n+x)r+1.
Maintenant, chaque série de fonctions de terme général x7→(−1)r+1r!
(n+x)r+1,n∈N, converge normalement et donc unifor-
mément sur [1, +∞[car les majorations précédentes ne font intervenir que la borne infèrieure ade [a, b]. De plus, pour
chaque entier naturel ret chaque entier naturel n, la fonction x7→(−1)r+1r!
(n+x)r+1a une limite réelle ℓn,r =0quand xtend
vers +∞.
Le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que chaque fonction f(r),r∈N∗a une limite réelle quand xtend
vers +∞et que
lim
x→+∞
f(r)(x) = (−1)r+1r!
+∞
X
n=0
lim
x→+∞
ℓn,r =0.
∀r∈N∗,lim
x→+∞
f(r)(x) = 0.
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4) Soit x∈]0, +∞[.
n
X
k=01
x+k−ln 1+1 k+x=
n
X
k=0
1
x+k−
n
X
k=0
(ln(k+1+x) − ln(k+x)) =
n
X
k=0
1
x+k−ln(n+1+x) + ln x
=
n→+∞
(ln n−f(x)) − ln(n+1+x) + ln x+o(1) (d’après 2))
=h(x) − ln 1+x+1
n+o(1) = h(x) + o(1).
Ainsi, pour tout réel strictement positif x, la série numérique de terme général 1
n+x−ln 1+1 n+x,n∈N, converge
vers h(x).
∀x∈]0, +∞[, h(x) =
+∞
X
n=01
n+x−ln 1+1 n+x.
Pour x > 0 et n∈N, posons vn(x) = 1
n+x−ln 1+1 n+x.
vn(x) = 1
n+x− (ln(n+x+1) − ln(n+x)) = 1 n+x−Zx+n+1
x+n
1
tdt =Zn+x+1
n+x1
n+x−1 tdt
=(t− (n+x+1)) 1
n+x−1 tn+x+1
n+x
−Zn+x+1
n+x
t− (n+x+1)
t2dt =Zn+x+1
n+x
(n+x+1) − t
t2dt.
Donc, pour x > 0 et n∈N∗,
0≤vn(x)≤Zn+x+1
n+x
1
t2dt ≤1 (n+x)2≤1 n2,
et donc
∀n∈N∗,sup{|vn(x), x ∈]0, +∞[}≤1
n2.
Comme la série numérique de terme général 1
n2converge, la série de fonctions de terme général vn,n∈N∗converge
normalement et donc uniformément sur ]0, +∞[. D’après le théorème d’interversion des limites,
lim
x→+∞
h(x) = lim
x→+∞1
x−ln(1+1 x+1)+
+∞
X
n=1
lim
x→+∞1
x+n−ln(1+1 x+n)=
+∞
X
n=0
0=0
lim
x→+∞
h(x) = 0.
5) a) Il s’agit, d’après la question 3), de vérifier que pour x∈]1, +∞[,
h(x) = ln x−f(x) =
+∞
X
k=2
1
k!f(k−1)(x) =
+∞
X
k=2
1
k!(−1)k(k−1)!
+∞
X
n=0
1
(n+x)k=
+∞
X
k=2 +∞
X
n=0
(−1)k
k(n+x)k!.
Pour cela, vérifions tout d’abord la sommabilité de la suite double wn,k =(−1)k
k(n+x)k,k≥2,n≥0(pour x > 1 fixé).
Soient n∈Net x∈]1, +∞[fixés.
+∞
X
k=2
|wn,k|=
+∞
X
k=2
1
k(n+x)k=
+∞
X
k=1
1
k(n+x)k−1 n+x
= − ln 1−1
n+x−1 n+x(car −1 < 1 n+x< 1).
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Ensuite,
+∞
X
k=2
|wn,k|= − ln 1−1
n+x−1 n+x=
n→+∞
1
n−1 n+O1 n2=O1 n2.
On en déduit que la série de terme général
+∞
X
k=2
|wn,k||wn,k|,n∈Nconverge et donc pour tout réel x > 1 la suite double
(wn,k)k≥2,n≥0est sommable.
D’après le théorème de Fubini,
+∞
X
k=2 +∞
X
n=0
(−1)k
k(n+x)k!=
+∞
X
n=0 +∞
X
k=2
(−1)k
k(n+x)k!=
+∞
X
n=0 1
n+x−
+∞
X
k=1
(−1)k−1
k(n+x)k!
=
+∞
X
n=01
n+x−ln 1+1 n+x=h(x).
Finalement,
∀x > 1, ln x=
+∞
X
n=1
f(n−1)(x)
n!.
b) Soient n≥2et x∈]1, +∞[,
f(n−1)(x)
n!
=
(−1)n
n
+∞
X
k=0
1
(k+x)n
=1
n
+∞
X
k=0
1
(k+x)n.
Maintenant, pour x > 1 fixé, la suite 1
n
+∞
X
k=0
1
(k+x)n!n≥2
décroît (puisque x > 1,∀k∈N,1
k+x∈]0, 1[et chaque
suite n7→1
(k+x)nest décroissante) et tend vers 0quand ntend vers +∞(puisque la série de terme général f(n−1)(x) n!,
n≥2converge).
D’après une majoration classique du reste d’ordre nd’une série alternée, pour n≥2et x > 1, on a
+∞
X
k=n+1
f(k−1)(x)
k!≤
f(n)(x)
(n+1)! 
=1
n+1
+∞
X
k=0
1
(k+x)n+1
≤1
n+1
+∞
X
k=0
1
(k+1)n+1≤1 n
+∞
X
k=0
1
(k+1)2=π2 6n .
Ainsi,
∀n∈N∗,sup 
f(n−1)(x)
n!
, x ∈]1, +∞[≤π2
6n ,
et donc sup 
f(n−1)(x)
n!
, x ∈]1, +∞[tend vers 0quand ntend vers +∞. Finalement
la série de fonctions de terme général f(n−1)
n!converge uniformément sur ]1, +∞[.
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