TPE FILIERE MP COMPOSITION DE

SESSION 1997
TPE
FILIERE MP
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. 2 ème épreuve
Question préliminaire
Quand n tend vers +∞,
(n + 1)α
α
α α
1
un+1
1
1
1
an = ln
+ ln 1 − + O( 2 ) = − + O( 2 ) = O( 2 ).
+ ln
= α ln 1 +
α
n
un
n
n
n
n n
n
n
Par suite, la série de terme général an = bn+1 − bn est absolument convergente et donc convergente. On en déduit que
la suite (bn ) converge et donc que la suite (nα un ) = (ebn ) converge vers un réel strictement positif K. On a montré que
∃K > 0/ un
∼
n→ +∞
K
.
nα
Première partie
1
1) a) Soit x réel fixé non dans Z . La suite
est définie, décroisante et positive à partir d’un certain rang
n + x n∈N
(pour n > −x) et tend vers 0. Donc la série proposée converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. Ainsi, la
(−1)n
série de fonctions de terme général fn : x 7→
converge simplement sur E.
n+x
−
Soit [a, b] un segment inclus dans E ( et donc soit inclus dans ]0, +∞[, soit dans un intervalle de la forme ] − (p + 1), −p[
où p est un entier naturel).
+∞
X
(−1)k
. x étant
Pour n entier naturel donné strictement supérieur à −a et x réel élément [a, b], posons Rn (x) =
k+x
k=n+1
1
fixé, la suite numérique
est décroissante (car n + 1 > −a) et d’après une majoration classique du reste
k + x k≥n+1
d’ordre n d’une série alternée, on a
(−1)n+1 1
1
=
≤
.
∀n > −a, ∀x ∈ [a, b], |Rn (x)| ≤ n + 1 + x n + 1 + x
n+1+a
On en déduit encore que
∀n > −a, sup{|Rn (x)|, x ∈ [a, b]} ≤
1
.
n+1+a
1
tend vers 0 quand n tend vers +∞, il en est de même de la suite (sup{|Rn (x)|, x ∈ [a, b]})n>−a . Ainsi,
n+1+a
la suite des restes (Rn ) converge uniformément vers la fonction nulle sur tout segment inclus dans E ou encore la série de
teme général fn converge uniformément vers sa somme sur tout segment inclus dans E.
Comme
Comme chaque fonction fn est continue sur tout segment inclus dans E, g est continue sur tout segment inclus dans E en
tant que limite uniforme sur un tel segment d’une suite de fonctions continues sur ce segment et finalement
g est continue sur E.
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1
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1
1
b) Soit x ∈ E. Tout d’abord la suite
est définie.
−
n n + x n≥1
Soit maintenant [a, b] un segment inclus dans E. Pour n > −a et x ∈ [a, b],
1
|x|
|x|
Max(|a|, |b|)
− 1 =
n n + x n|n + x| = n(n + x) ≤ n(n + a) .
Comme la série de terme général
Max(|a|, |b|)
converge, on en déduit que la série de fonctions de terme général
n(n + a)
1
1
−
est normalement convergente sur tout segment inclus dans E et par suite uniformément et simplement
n
n+x
convergente sur tout segment inclus dans E.
+∞ X
1
1
1
1
est continue sur tout
−
est continue sur E, la fonction x 7→
−
Puisque chaque fonction x 7→
n
n+x
n n+x
n=1
segment de E et donc sur E en tant que limite uniforme sur tout segment inclus dans E d’une suite de fonctions continues
1
sur E. Enfin, comme la fonction x 7→ − est continue sur E,
x
x 7→
f est continue sur E.
2) Soit x ∈ E. Tout d’abord
x = 2k − 1 ∈ Z− ). De plus,
1
2
x
x+1
x
x+1
et
sont dans E (car si
= k ∈ Z− ou
= k ∈ Z− alors x = 2k ∈ Z− ou
2
2
2
2
!
+∞ +∞ X
2
2 X 1
2
2
1
−
+ −
+
−
−
x+1
n 2n + 1 + x
x
n 2n + x
n=1
n=1
X
+∞ +∞ X
1
1
1
1
1
1
=
+
−
−
= −
x x+1
2n + x 2n + 1 + x
2n + x 2n + 1 + x
n=0
n=1
X
+∞ +∞
X
(−1)2n
(−1)n
(−1)2n+1
=
=
+
= g(x),
2n + x
2n + 1 + x
n+x
x 1
x+1
f
−f
=
2
2
2
n=0
n=0
(puisque la série de somme g converge , on peut associer deux à deux les termes de cette série).
1
∀x ∈ E, g(x) =
2
x x+1
f
−f
.
2
2
Soit x ∈ E.
+∞ +∞ X
1 X 1
1
1
1
1
+ −
+
−
−
f(x + 1) − f(x) = −
x+1
n n+x+1
x
n n+x+1
n=1
n=1
X
+∞ +∞ X
1
1
1
1
1
1
= −
=
+
−
−
x x+1
n+x n+x+1
n+x n+x+1
n=0
n=1
N X
1
1
1
1
= lim
−
−
= lim
N→ +∞
N→ +∞
n+x n+x+1
x N+x+1
n=0
1
= .
x
∀x ∈ E, f(x + 1) =
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2
1
+ f(x).
x
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Soit x ∈ E fixé.
+∞ 1
1 X 1
−
f(x) = −γ − +
x
n n+x
n=1
!
n−1 n
X
1 X 1
1
1
+ o(1)
− ln n − +
−
= −
n→ +∞
k
x
k k+x
k=1
k=1
= ln n −
n−1
X 1
1
+ o(1) = ln n −
+ o(1)
k+x
k+x
k=1
k=0
!
n−1
X 1
ln(n) −
.
k+x
1
−
x
= lim
n→ +∞
n−1
X
k=0
∀x ∈ E, f(x) = lim
ln(n) −
n→ +∞
n−1
X
k=0
!
1
.
k+x
3) Soient [a, b] un segment inclus dans E et r un naturel non nul.
1
1
est de classe C∞ sur [a, b].
• Tout d’abord, chaque fonction fn : x 7→ −
n n+x
1
• Ensuite, la série de fonctions de terme général fn converge simplement sur [a, b] vers la fonction x 7→ f(x) + γ + .
x
(r)
• Vérifions alors que chacune des séries de fonctions de terme général fn est uniformément convergente sur [a, b].
Pour x ∈ [a, b] et n > −a,
r!
r!
(−1)r r! (r)
=
≤
.
|fn (x)| = −
(n + x)r+1 (n + x)r+1
(n + a)r+1
et donc
(r)
sup{|fn (x)|, x ∈ [a, b]} ≤
r!
.
(n + a)r+1
r!
est convergente. Par suite, la série de fonctions de
(n + a)r+1
est normalement et donc uniformément convergente sur [a, b].
Puisque r + 1 ≥ 2, la série numérique de terme général
(r)
terme général fn
1
est de classe C∞ sur
x
[a, b] et il en est de même de f. f étant de classe C∞ sur tout segment contenu dans E, f est de classe C∞ sur E et ses
dérivées successives s’obtiennent par dérivation terme à terme.
D’après une généralisation du théorème de dérivation terme à terme, la fonction x 7→ f(x) + γ +
f est de classe C∞ sur E et ∀x ∈ E, ∀r ∈ N∗ , f(r) (x) = (−1)r+1 r!
+∞
X
n=0
1
.
(n + x)r+1
(−1)r+1 r!
, n ∈ N, converge normalement et donc unifor(n + x)r+1
mément sur [1, +∞[ car les majorations précédentes ne font intervenir que la borne infèrieure a de [a, b]. De plus, pour
(−1)r+1 r!
a une limite réelle ℓn,r = 0 quand x tend
chaque entier naturel r et chaque entier naturel n, la fonction x 7→
(n + x)r+1
vers +∞.
Le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que chaque fonction f(r) , r ∈ N∗ a une limite réelle quand x tend
vers +∞ et que
Maintenant, chaque série de fonctions de terme général x 7→
lim f(r) (x) = (−1)r+1 r!
x→ +∞
n=0
∀r ∈ N∗ ,
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+∞
X
lim ℓn,r = 0.
x→ +∞
lim f(r) (x) = 0.
x→ +∞
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4) Soit x ∈]0, +∞[.
n X
k=0
X
n
n
n
X
X
1
1
1
1
=
(ln(k + 1 + x) − ln(k + x)) =
− ln 1 +
−
− ln(n + 1 + x) + ln x
x+k
k+x
x+k
x+k
k=0
k=0
k=0
(ln n − f(x)) − ln(n + 1 + x) + ln x + o(1) (d’après 2))
x+1
= h(x) − ln 1 +
+ o(1) = h(x) + o(1).
n
1
1
, n ∈ N, converge
− ln 1 +
Ainsi, pour tout réel strictement positif x, la série numérique de terme général
n+x
n+x
vers h(x).
=
n→ +∞
∀x ∈]0, +∞[, h(x) =
Pour x > 0 et n ∈ N, posons vn (x) =
+∞ X
n=0
1
1
.
− ln 1 +
n+x
n+x
1
1
.
− ln 1 +
n+x
n+x
Z x+n+1
Z n+x+1 1
1
1
1
1
vn (x) =
dt
− (ln(n + x + 1) − ln(n + x)) =
−
dt =
−
n+x
n+x
t
n+x t
x+n
n+x
n+x+1 Z n+x+1
Z n+x+1
1
(n + x + 1) − t
t − (n + x + 1)
1
−
dt
=
dt.
−
= (t − (n + x + 1))
2
n + x t n+x
t
t2
n+x
n+x
Donc, pour x > 0 et n ∈ N∗ ,
0 ≤ vn (x) ≤
Z n+x+1
n+x
1
1
1
dt ≤
≤ 2,
t2
(n + x)2
n
et donc
∀n ∈ N∗ , sup{|vn (x), x ∈]0, +∞[} ≤
1
.
n2
1
converge, la série de fonctions de terme général vn , n ∈ N∗ converge
n2
normalement et donc uniformément sur ]0, +∞[. D’après le théorème d’interversion des limites,
Comme la série numérique de terme général
lim h(x) = lim
x→ +∞
x→ +∞
X
X
+∞
+∞
1
1
1
1
lim
0=0
− ln(1 +
) +
− ln(1 +
) =
x→ +∞
x
x+1
x+n
x+n
n=1
n=0
lim h(x) = 0.
x→ +∞
5) a) Il s’agit, d’après la question 3), de vérifier que pour x ∈]1, +∞[,
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
1 (k−1)
1
1
k
h(x) = ln x − f(x) =
=
f
(x) =
(−1) (k − 1)!
k!
k!
(n + x)k
k=2
k=2
n=0
Pour cela, vérifions tout d’abord la sommabilité de la suite double wn,k =
k=2
+∞
X
n=0
!
(−1)k
.
k(n + x)k
(−1)k
, k ≥ 2, n ≥ 0 (pour x > 1 fixé).
k(n + x)k
Soient n ∈ N et x ∈]1, +∞[ fixés.
+∞
X
k=2
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+∞
X
+∞
X
1
1
1
=
−
k
k
k(n + x)
k(n + x)
n+x
k=2
k=1
1
1
1
= − ln 1 −
−
(car − 1 <
< 1).
n+x
n+x
n+x
|wn,k | =
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Ensuite,
+∞
X
k=2
|wn,k | = − ln 1 −
On en déduit que la série de terme général
1
n+x
+∞
X
k=2
(wn,k )k≥2,n≥0 est sommable.
−
1
n+x
=
n→ +∞
1
1
− +O
n n
1
n2
=O
1
.
n2
|wn,k ||wn,k |, n ∈ N converge et donc pour tout réel x > 1 la suite double
D’après le théorème de Fubini,
+∞
X
k=2
+∞
X
n=0
(−1)k
k(n + x)k
!
+∞
X
! +∞
!
+∞
X
X
1
(−1)k−1
(−1)k
=
=
−
k(n + x)k
n+x
k(n + x)k
n=0 k=2
n=0
k=1
+∞ X
1
1
=
= h(x).
− ln 1 +
n+x
n+x
+∞
X
n=0
Finalement,
∀x > 1, ln x =
+∞ (n−1)
X
f
(x)
.
n!
n=1
b) Soient n ≥ 2 et x ∈]1, +∞[,
(n−1) +∞
+∞
f
(−1)n X
1 X
(x)
1
1
=
.
=
n
n!
(k + x)n n
(k + x)n
k=0
Maintenant, pour x > 1 fixé, la suite
+∞
1 X
1
n
(k + x)n
k=0
k=0
!
n≥2
décroît (puisque x > 1, ∀k ∈ N,
1
∈]0, 1[ et chaque
k+x
1
f(n−1) (x)
suite n 7→
est
décroissante)
et
tend
vers
0
quand
n
tend
vers
+∞
(puisque
la
série
de
terme
général
,
(k + x)n
n!
n ≥ 2 converge).
D’après une majoration classique du reste d’ordre n d’une série alternée, pour n ≥ 2 et x > 1, on a
+∞
+∞
X
1 X
1
f(k−1) (x) f(n) (x) =
≤
k!
(n + 1)! n + 1
(k + x)n+1
k=0
k=n+1
≤
1
n+1
+∞
X
k=0
+∞
1 X
π2
1
1
≤
=
.
n+1
2
(k + 1)
n
(k + 1)
6n
k=0
Ainsi,
(n−1) f
π2
(x) ,
x
∈]1,
+∞[
≤
,
∀n ∈ N∗ , sup n!
6n
(n−1) f
(x) ,
x
∈]1,
+∞[
tend vers 0 quand n tend vers +∞. Finalement
et donc sup n!
la série de fonctions de terme général
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f(n−1)
converge uniformément sur ]1, +∞[.
n!
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6) a) Soit x > 0. D’après 2)
h(x) − h(2x) = ln x − f(x) − ln(2x) + f(2x)
= − ln 2 + lim
n→ +∞
ln(2n − 1) −
k=0
= − ln 2 + lim ln
n→ +∞
2n−1
X
2n − 1
n
+ lim
n→ +∞
n−1
X
n−1
X
1
k + 2x
!
n−1
X
k=0
− lim
ln(n) −
n→ +∞
1
−
k+x
n−1
X
k=0
2n−1
X
k=0
1
k + 2x
1
k+x
!
!
!
n−1
X
1
1
1
−
−
k+x
2k + 2x
2k + 1 + 2x
k=0
k=0
k=0
!
!
n−1
2n−1
X
X
1
1
1
k
= lim
−
(−1)
n→ +∞
2k + 2x 2k + 1 + 2x
k + 2x
= lim
n→ +∞
= lim
n→ +∞
k=0
k=0
= g(2x).
Donc
∀x > 0, h(x) − h(2x) = g(2x).
b) Soient n ∈ N∗ et x > 0.
h(x) =
n−1
X
(h(2k x) − h(2k+1 x)) + h(2n x) =
k=0
Or , d’après la fin de 4),
n−1
X
g(2k+1 x) + h(2n x)
k=0
n
X
g(2k x) + h(2n x).
k=1
lim (h(2n x)) = 0 (car x > 0). Donc la série de terme général g(2k x) converge et de plus
n→ +∞
∀x > 0, h(x) =
+∞
X
g(2n x).
n=1
+∞
X
(−1)k 1
Soient α > 0, x ∈ [α, +∞[ et n ∈ N . On a |g(2 x)| = est
.
n
et
x
étant
fixés,
la
suite
k + 2n x k + 2n x k∈N
k=0
décroissante et la somme de la série alternée précédente est majorée en valeur absolue par la valeur absolue de son premier
terme. Donc
∗
n
|g(2n x)| ≤
1
1
≤ n .
2n x
2 α
Ainsi
sup{|g(2n x)|, x ∈ [α, +∞[} ≤
1
2n α
.
1
, n ∈ N∗ converge, la série de fonctions de terme général x 7→ g(2n x), n ≥ 1,
2n α
converge normalement sur [α, +∞[ vers h et ceci pour tout réel strictement positif α.
Comme la série de terme général
Deuxième partie
1) a) Soit x ∈] − 1, +∞[\{0}.
1 − tx
La fonction u : t 7→
est continue sur ]0, 1[ et donc localement intégrable sur ]0, 1[.
1−t
−tx si x ∈] − 1, 0[
• Quand t tend vers 0, u(t) ∼
. Si x > 0, u est prolongeable par continuité en 0 et donc intégrable
1 si x > 0
sur un voisinage de 0 à droite et si −1 < x < 0, la fonction t 7→ −tx est de signe constant sur un voisinage de 0 à droite
et intégrable sur un voisinage de 0 à droite de sorte que u est intégrable sur un voisinage de 0 à droite.
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• Quand t tend vers 1,
ex ln t − 1 x ln t
∼
∼ x,
t−1
t−1
u(t) =
Ainsi, u se prolonge par continuité en 1 à gauche et est donc intégrable sur un voisinage de 1 à gauche.
Finalement,
∀x ∈] − 1, 0[∪]0 + ∞[, la fonction t 7→
1 − tx
est intégrable sur ]0, 1[.
1−t
b) Soient x ∈] − 1, +∞[\{0} et n ∈ N∗ .
Pour t ∈]0, 1[, on a
n
n
X
X
tn+1
1 − tx n+1
1 − tx
= (1 − tx )
tk + (1 − tx )
=
(tk − tk+x ) +
t
.
1−t
1−t
1−t
k=0
k=0
Au vu de l’intégrabilité des fonctions considérées, on obtient alors
J(x) =
=
n−1
X Z1
k
(t − t
k=0 0
n X
k=1
k+x
1
1
−
k k+x
) dt +
Z1
0
+
Z1
0
Z1
n−1
X 1
1 − tx n
1
1 − tx n
+
t dt =
−
t dt
1−t
k+1 k+x+1
0 1−t
k=0
t − tx+1 n−1
t
dt.
1−t
t − tx+1
est continue sur ]0, 1[ et se prolonge par continuité en 0 et en 1.
1−t
t − tx+1 sur ]0, 1[.
Cette fonction est en paticulier bornée sur ]0, 1[. Soit alors M un majorant de la fonction t 7→ 1−t Maintenant, puisque x + 1 > 0, la fonction t 7→
Pour n entier naturel non nul donné, on a
Z Z
Z1
1 t − tx+1
1
t − tx+1 n−1 M
n−1
t
dt ≤ t
.
dt
≤
Mtn−1 dt =
0 1−t
1−t
n
0
0
Comme
M
tend vers 0 quand n tend vers +∞, il en est de même de
n
J(x) =
+∞ X
1
n
n=1
−
1
n+x
Z1
0
t − tx+1 n−1
t
dt. On en déduit que
1−t
1
= f(x) + γ + .
x
Finalement,
1
∀x ∈] − 1, +∞[\{0}, J(x) = f(x) + γ + .
x
2) a) Soient n ∈ N∗ et x ∈] − 1, 1[.
k
+∞ +∞ X
X
(−1)k+1 xk 1
|x|
|x]
= 1
= ×
×
nk+1 n
n
n
n
k=1
k=1
=
|x|
De plus, quand n tend vers +∞,
=O
n(n − |x|
On en déduit que
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1
|x|
1−
n
(car
|x|
< 1)
n
|x|
.
n(n − |x|
1
n2
+∞ X
(−1)k+1 xk et la série de terme général
nk+1 , n ≥ 1, est convergente.
k=1
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la suite double
(−1)k+1 xk
nk+1
est sommable.
n≥1, k≥1
b) D’après le théorème de Fubini,
+∞
X
+∞ X
+∞
X
(−1)k+1 xk
nk+1
nk+1
n=1 k=1
k=1
n=1


! +∞
+∞
+∞ X
X
X
k
1
x
− 1 × − x × 1 
=
−
=
−
n
n
n
n 1+ x
n=1
n=1
k=1
n
+∞ +∞
X
X
1
1
x
=
−
=
n(n + x)
n n+x
(−1)k+1 ζ(k + 1)xk =
k=1
+∞
X
(−1)k+1 xk
+∞
X
1
=
n=1
n=1
= J(x) (d’après 1)b)).
∀x ∈] − 1, 1[, J(x) =
+∞
X
(−1)k+1 ζ(k + 1)xk .
k=0
3) a) Soit x ∈] − 1, 1[. Pour t ∈]0, 1[,
1 − tx
1
1
=
(1 − ex ln t ) =
1−t
1−t
1−t
n
+∞ n n
X
x ln t
1−
n!
n=0
!
+∞
X
lnn t xn
=−
.
1 − t n!
n=1
n
1
ln t x
est continue sur ]0, 1[, négligeable devant √ quand tend vers 0 par valeurs
1 − t n!
t
supérieures et prolongeable par continuité en 1 à gauche. Donc la fonction jn est intégrable sur ]0, 1[ et chaque intégrale
In , n ∈ N∗ , existe.
+∞ Z
X
|jn | < +∞. Soit n ∈ N∗ .
Vérifiions maintenant que
Soit n ∈ N∗ . La fonction jn : t 7→ −
n=1 ]0,1[
| ln t|
1
1
La fonction t 7→
est continue sur [ , 1[, se prolonge par continuité en 1 et est donc bornée sur [ , 1[. Soit M un
1−t
2
2
1
majorant de cette fonction sur [ , 1[. On alors
2
Z1
0
Z 1/2
Z1
| ln t|n
dt ≤ 2
| ln t|n dt + M
| ln t|n−1 dt
1
−
t
0
1/2
0
1/2
Z1
Z1
≤ 2 (− ln t)n dt + M (− ln t)n−1 dt.
| ln t|n
dt =
1−t
Z 1/2
| ln t|n
dt +
1−t
Z1
0
0
Maintenant, en posant u = − ln t, on obtient
Z1
(− ln t)n dt =
Z0
+∞
0
un × −e−u du =
Z +∞
un e−u du = Γ (n + 1) = n!.
0
Par suite,
Z1
0
|jn | ≤ (2n! + M(n − 1)!)
n
|x|n
≤ (M + 2)|x|n .
n!
Puisque |x| < 1, la série de terme général (M + 2)|x| converge et donc
+∞ Z
X
|jn | < +∞.
n=1 ]0,1[
En résumé,
• chaque fonction jn est continue et intégrable sur ]0, 1[,
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8
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• la série de fonction de terme général jn converge simplement sur ]0, 1[ vers la fonction t 7→
continue sur ]0, 1[,
+∞ Z
X
•
|jn | < +∞.
1 − tx
qui est
1−t
n=1 ]0,1[
D’après un théorème d’intégration terme à terme,
!
Z1
+∞
+∞
X
X
lnn t xn
dt = −
J(x) =
−
1 − t n!
0
n=1
n=1
Z1
∀x ∈] − 1, 1[, J(x) = −
0
lnn t
dt
1−t
!
+∞
X In
xn
=−
xn .
n!
n!
n=1
+∞
X
In n
x .
n!
n=1
b) D’après la question 2)b) et par unicité des coefficients d’une série entière, on a
∀n ∈ N∗ , −
In
= (−1)n+1 ζ(n + 1),
n!
et donc
∀n ∈ N∗ , In = (−1)n n!ζ(n + 1).
4) a) En posant t = 1 − u, on obtient pour x > −1
J(x) =
Z1
0
1 − tx
dt =
1−t
Z0
1
1 − (1 − u)x
− du =
1 − (1 − u)
Z1
∀x > −1, J(x) =
0
Z1
0
1 − (1 − u)x
du.
u
1 − (1 − u)x
du.
u
b) Pour u ∈]0, 1[ et x > −1, on a
1 − (1 − u)x
1
=
u
u
+∞ X
x
(−u)n
1−
n
n=0
!
=
+∞
X
(−1)n−1
n=1
x n−1
u
.
n
Z1
1 x x n−1
u
| du = Etudions alors la nature de la série numérique de terme général
|(−1)n−1
.
n n n
0
1 x Pour n ∈ N∗ et x ∈] − 1, +∞[\{0}, posons un = (l’égalité est immédiate pour x = 0).
n n n! |x(x − 1) . . . (x − (n − 1))(x − n)|
n
n(n − x)
un+1
=
=
pour n suffisament grand.
un
n + 1 (n + 1)!
|x(x − 1) . . . (x − (n − 1))|
(n + 1)2
Mais alors, quand n tend vers +∞
x
x+2
x
1
1
1 −2 2
un+1 = 1−
+ O( 2 ).
(1 + ) = 1 −
1 − + O( 2 ) = 1 −
un
n
n
n
n
n
n
n
D’après la question préliminaire, il existe une constante réelle strictement positive K (dépendant de x) telle que
un
∼
n→ +∞
K
.
nx+2
Puisque x + 2 > 1, la série de terme général un converge. On peut donc intégrer terme à terme et on obtient
∀x > −1, J(x) =
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+∞
X
(−1)n−1 x
.
n
n
n=1
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c) Soit x ∈] − 1, 1[. σ(n, n) = 1 et plus généralement, pour 1 ≤ k ≤ n, σ(n, k) = (−1)n−k |σ(n, k)|. Donc, pour n ∈ N∗
donné
+∞
+∞
+∞ X
(−1)n−1
1 X
(−1)n X
(−1)n −|x|
k
n−k
k
k
(−1)
σ(n, k)|x| =
σ(n, k)(−|x|) =
.
n × n! σ(n, k)x = n × n!
n × n!
n
n
k=1
k=1
k=1
Puis, comme −|x| > −1,
X
+∞ X
+∞ X
+∞ (−1)n −|x|
(−1)n−1
k
= −J(−|x|) < +∞,
σ(n,
k)x
=
n × n!
n
n
n=1
n=1 k=1
et la suite double de l’énoncé est sommable pour x ∈] − 1; 1[.
d) Le théorème de Fubini fournit alors pour x dans ] − 1, 1[
X
+∞
+∞
+∞
X
(−1)n−1 X
(−1)n−1 x
=
σ(n, k)xk
n
n × n!
n
n=1
k=1
n=1
!
+∞
+∞
n−1
X X (−1)
=
σ(n, k) xk
n × n!
J(x) =
k=1
n=1
Par unicité des coefficients d’une série entière et d’après 3) b)
∀k ∈ N∗ , (−1)k+1 ζ(k + 1) =
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+∞
X
(−1)n−1
σ(n, k).
n × n!
n=1
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