Planche no18. Suites
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile
I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exercice no1 (**IT)
Soient (un)n∈Nune suite réelle et (vn)n∈Nla suite définie par :
∀n∈N, vn=u0+u1+... +un
n+1.
1) Montrer que si la suite (un)n∈Nconverge vers un réel ℓ, la suite (vn)n∈Nconverge et a pour limite ℓ. Réciproque ?
2) Montrer que si la suite (un)n∈Nest bornée, la suite (vn)n∈Nest bornée. Réciproque ?
3) Montrer que si la suite (un)n∈Nest croissante alors la suite (vn)n∈Nl’est aussi.
Exercice no2 (***)
Soit (un)n∈Nune suite réelle. Montrer que si la suite (un)n∈Nconverge au sens de Césaro et est monotone, alors la suite
(un)n∈Nconverge.
Exercice no3 (**IT)
Pour nentier naturel non nul, on pose Hn=
n
X
k=1
1
k(série harmonique).
1) Montrer que : ∀n∈N∗,ln(n+1)< Hn< 1 +ln(n)et en déduire lim
n→+∞
Hn.
2) Pour nentier naturel non nul, on pose un=Hn−ln(n)et vn=Hn−ln(n+1). Montrer que les suites (un)et (vn)
convergent vers un réel γ∈1
2, 1(γest appelée la constante d’Euler). Donner une valeur approchée de γà10−2près.
Exercice no4 (**)
Soit (un)n∈Nune suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel n, on a
n
X
k=0
1
ukuk+1
=n+1
u0un+1
.
Exercice no5 (***)
Calculer lim
n→+∞
n
X
k=1
1
12+22+... +k2(on sera amené à déterminer trois réels a,bet ctels que pour tout entier naturel non
nul k,6
k(k+1)(2k +1)et on utilisera l’exercice no3 : il existe une suite (εn)tendant vers 0telle que
n
X
k=1
1
k=ln n+γ+εn).
Exercice no6 (**I) (moyenne arithmético-géométrique)
Soient aet bdeux réels tels que 0 < a < b. On pose u0=aet v0=bpuis, pour tout entier naturel n,
un+1=√unvnet vn+1=un+vn
2.
Montrer que les suites (un)et (vn)convergent vers une limite commune que l’on ne cherchera pas à calculer (cette limite
s’appelle la moyenne arithmético-géométrique des nombres aet b).
Exercice no7 (***)
Soient aet bdeux réels tels que 0 < a < b. On pose u0=aet v0=bpuis, pour tout entier naturel n,
un+1=un+vn
2et vn+1=√un+1vn.
Montrer que les suites (un)et (vn)sont adjacentes et que leur limite commune est égale à
bsin Arccos a
b
Arccos a
b.
http ://www.maths-france.fr 1 c
Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.