Matrice de Gram

Matrice de Gram
Mohamed Ait Lhoussain
5 décembre 2011
Soit Eun espace préhilbertien réel.
Soit B= (uj)1≤j≤pune famille de vecteurs de ELa matrice G= (gij )avec gij =hui|uji
pour tout i, j ∈ {1, ..., p}est une matrice carrée de taille pappelée matrice de Gram de
la famille B.
PROPOSITION 1
Le rang de Gest égal au rang de la famille B
Preuve:
Soit F=V ect{u1, ..., up}et n= dim Fet soit alors (e1, ..., en)une base ortho-
normale de F. Soit Ala matrice de Mn,p(R)dont les termes aij sont définis par
uj=
n
X
i=1
aij ei. Il est clair que rg(A) = ncar le rang de la famille de ses colonnes
est n. On peut facilement voir que G=tAA en effet : gkl =huk|uli=
n
X
i=1
aikail
qui est la terme (tAA)kl. Le lemme suivant établit le reste de la preuve :
LEMME 1
Pour toute matrice A∈ Mnp(R)on a : rg(tAA) = rg(A)
Preuve:
On a rg(tAA)≤rgAcar pour tout X∈ Mn1(R), on a si AX =Oalors
tAAX =Odonc ker A⊂ker(tAA)et par le théorème du rang, on a le résultat.
Réciproquement si tAAX =Oalors tXtAAX = 0 donc ||AX|| = 0 et alors
AX =O. Ainsi les rang de Aet de tAA sont égaux.
-Remarquons tout de suite que si la famille (u1, ..., up)est liée alors la rang de la matrice
de Gram est strictement inferieur à sa taille et par suite elle n’est pas inversible et alors
det G= 0.<
> Si par contre la famille (u1, ..., up)est li
e alors F=V ect{u1, ..., up}est de dimension pet par suite la matrice Aest une matrice
carée inversible, et comme G=tAA on a alors det G= (det A)2>0. -Résumé : Si la
famille (u1, ..., un)est liée alors det G= 0 et si cette famille est li
e alors det G > 0.
1

THEOREME 1
Soit (E, h|i)un espace préhilbertien réel et soit Fun sous(espace vectoriel de E engendré
par pvecteurs lin"aiarement indépendants u1, ..., upavec pun entier naturel non nul.
Alors, pour tout x∈Eon a :
d(x, F ) = s|G(u1, ..., up, x)|
|G(u1, ..., up)|
où |G(u1, ..., up)|désigne le détérminant de la matrice de Gram des vecteurs u1, ..., up
(appelé determinant de Gram).
Preuve:
Soit πla projection othogonale de Esur Fet n=x−π(x). On sait déjà que
d(x, F ) = ||n|| -On a :
|G(u1, ..., up, x)|=
hu1|u1i · · · hu1|xi
.
.
..
.
..
.
.
hx|u1i · · · hx|xi
-Remarquons que pour tout vecteur y∈Fon a :
hy|xi=hy|x0i
où x0=π(x)et que :
||x||2=||x0||2+||n||2
, de sorte que le determinant ci-dessus vaut :
|G(u1, ..., up, x)|=
hu1|u1i · · · hu1|x0i
.
.
..
.
..
.
.
hx|u1i · · · hx0|x0i
+
hu1|u1i · · · 0
.
.
..
.
..
.
.
hx|u1i · · · ||n||2
Alors
|G(u1, ..., up, x)|=|G(u1, ..., up, x0)|+||n||2|G(u1, ..., up)|
et comme x0∈Fon a : |G(u1, ..., up, x0)|= 0 Ainsi on a la formule désirée
2