Matrices équivalentes

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Matrices équivalentes
Exercice 1 [ 00703 ] [Correction]
(a) Montrer qu’une matrice A∈ Mn(K) est non inversible si, et seulement si, elle est
équivalente à une matrice nilpotente.
(b) Soit f:Mn(K)→Kune application vérifiant : f(On)=0, f(In),0 et pour tout
A,B∈ Mn(K),
f(AB)=f(A)f(B)
Montrer que A∈ Mn(K) est inversible si, et seulement si, f(A),0.
Exercice 2 [ 02602 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(R) une matrice de rang r. Déterminer la dimension de l’espace
{B∈ Mn(R)|ABA =On}
Exercice 3 [ 01602 ] [Correction]
Soient A,B∈ Mn(K).
(a) Justifier qu’il existe U,V∈GLn(K) tels que
rg(UA +BV)=min(n,rg A+rg B)
(b) On suppose rg A+rg B≥n. Montrer qu’il existe U,V∈GLn(K) tels que
UA +BV ∈GLn(R)
Exercice 4 [ 03808 ] [Correction]
(a) Montrer que si C∈ Mn(R) vérifie :
∀X∈ Mn(R),det(C+X)=det X
alors elle est nulle (on pourra étudier le rang de C).
(b) Montrer que si Aet Bde Mn(R) vérifient :
∀X∈ Mn(R),det(A+X)=det(B+X)
alors A=B.
Exercice 5 [ 01290 ] [Correction]
Soit A∈ Mn,p(K) de rang r. Montrer qu’il existe des matrices Bet Crespectivement dans
Mn,r(K) et Mr,p(K) telles que A=BC.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(a) Si An’est pas inversible alors rg A<n. Or il est possible de construire une matrice
nilpotente de rang égal à rg A. Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si,
elles ont le même rang, on peut conclure que Aest équivalente à une matrice
nilpotente. La réciproque est immédiate.
(b) Si Aest inversible alors f(A)f(A−1)=f(In)=1 donc f(A),0. Si An’est pas
inversible alors Aest équivalente à une matrice nilpotente B. Pour celle-ci, on a
f(B)=0 car f(Bn)=f(B)n. Puisqu’on peut écrire A=PBQ avec Pet Qinversibles,
on peut conclure f(A)=0.
Exercice 2 : [énoncé]
La matrice est équivalente à la matrice Jr= IrOr,n−r
On−r,rOn−r!et donc il existe des matrices
P,Qinversibles vérifiant A=QJrP. Par suite ABA =On⇐⇒ JrPBQJr=On. Via
l’isomorphisme B7→ PBQ, l’espace {B∈ Mn(R)|ABA =On}est isomorphe à
{M∈ Mn(R)|JrMJr=On}.
En écrivant la matrice Mpar blocs, on vérifie que les matrices Mvérifiant JrM Jr=On
sont les matrices de la forme Or∗
∗ ∗!. On en déduit
dim {B∈ Mn(R)|ABA =On}=n2−r2.
Exercice 3 : [énoncé]
(a) Posons r=rg Aet s=rg B. Les matrices Aet Bsont respectivement équivalentes
aux matrices
Jr= IrOr,n−r
On−r,tOn−r!et J0
s= On−sOn−s,s
Os,n−sIs!
Il existe donc P,Q,R,S∈GLn(R) telles que
PAQ =Jret RBS =J0
s
et alors
PAQ +RBS =Jr+J0
s
qui est une matrice de rang min(n,r+s).
On peut aussi écrire
(R−1P)A+B(S Q−1)=R−1(Jr+J0
s)Q−1
et en posant U=R−1Pet V=S Q−1, on obtient U,V∈GLn(R) telles que
rg(UA +BV)=min(n,r+s)
(b) Si r+s≥nalors min(n,r+s)=net ce qui précède conduit à une matrice inversible.
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Posons r=rg C. On peut écrire C=QJrPavec P,Qinversibles et
Jr= Ir(0)
(0) On−r!
Posons alors X=QJ0
rPavec
J0
r= Or(0)
(0) In−r!
Puisque A+X=QInP=QP, la matrice A+Xest inversible et donc
det X=det(A+X),0.
On en déduit que la matrice J0
rest l’identité et donc r=0 puis A=On.
(b) Quand Xparcourt Mn(R) alors Y=B+Xparcourt Mn(R) et en posant C=A−B,
on obtient
∀Y∈ Mn(R),det(C+Y)=det Y
Ce qui précède permet alors de conclure.
Exercice 5 : [énoncé]
Comme rg(A)=r, il existe (P,Q)∈GLp(K)×GLn(K) tel que A=QJrP.
Posons D= Ir
On−r,r!∈ Mn,r(K) et E=IrOr,p−r∈ Mr,p(K).
On a A=BC avec B=QD ∈ Mn,r(K) et C=EP ∈ Mr,p(K)
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