[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1 Matrices équivalentes Exercice 1 [ 00703 ] [Correction] (a) Montrer qu’une matrice A ∈ Mn (K) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente. (b) Soit f : Mn (K) → K une application vérifiant : f (On ) = 0, f (In ) , 0 et pour tout A, B ∈ Mn (K), f (AB) = f (A) f (B) Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si, et seulement si, f (A) , 0. Exercice 2 [ 02602 ] [Correction] Soit A ∈ Mn (R) une matrice de rang r. Déterminer la dimension de l’espace {B ∈ Mn (R) | ABA = On } Exercice 3 [ 01602 ] [Correction] Soient A, B ∈ Mn (K). (a) Justifier qu’il existe U, V ∈ GLn (K) tels que rg(UA + BV) = min(n, rg A + rg B) (b) On suppose rg A + rg B ≥ n. Montrer qu’il existe U, V ∈ GLn (K) tels que UA + BV ∈ GLn (R) Exercice 4 [ 03808 ] [Correction] (a) Montrer que si C ∈ Mn (R) vérifie : ∀X ∈ Mn (R), det(C + X) = det X alors elle est nulle (on pourra étudier le rang de C). (b) Montrer que si A et B de Mn (R) vérifient : ∀X ∈ Mn (R), det(A + X) = det(B + X) alors A = B. Exercice 5 [ 01290 ] [Correction] Soit A ∈ Mn,p (K) de rang r. Montrer qu’il existe des matrices B et C respectivement dans Mn,r (K) et Mr,p (K) telles que A = BC. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Corrections Corrections 2 et en posant U = R−1 P et V = S Q−1 , on obtient U, V ∈ GLn (R) telles que rg(UA + BV) = min(n, r + s) Exercice 1 : [énoncé] (a) Si A n’est pas inversible alors rg A < n. Or il est possible de construire une matrice nilpotente de rang égal à rg A. Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si, elles ont le même rang, on peut conclure que A est équivalente à une matrice nilpotente. La réciproque est immédiate. (b) Si A est inversible alors f (A) f (A−1 ) = f (In ) = 1 donc f (A) , 0. Si A n’est pas inversible alors A est équivalente à une matrice nilpotente B. Pour celle-ci, on a f (B) = 0 car f (Bn ) = f (B)n . Puisqu’on peut écrire A = PBQ avec P et Q inversibles, on peut conclure f (A) = 0. (b) Si r + s ≥ n alors min(n, r + s) = n et ce qui précède conduit à une matrice inversible. Exercice 4 : [énoncé] (a) Posons r = rg C. On peut écrire C = QJr P avec P, Q inversibles et ! I (0) Jr = r (0) On−r Posons alors X = QJr0 P avec Exercice 2 : [énoncé] ! Or,n−r et donc il existe des matrices On−r,r On−r P, Q inversibles vérifiant A = QJr P. Par suite ABA = On ⇐⇒ Jr PBQJr = On . Via l’isomorphisme B 7→ PBQ, l’espace {B ∈ Mn (R) | ABA = On } est isomorphe à {M ∈ Mn (R) | Jr MJr = On }. En écrivant la matrice M par blocs, on ! vérifie que les matrices M vérifiant Jr MJr = On Or ∗ sont les matrices de la forme . On en déduit ∗ ∗ dim {B ∈ Mn (R) | ABA = On } = n2 − r2 . La matrice est équivalente à la matrice Jr = Ir Exercice 3 : [énoncé] (a) Posons r = rg A et s = rg B. Les matrices A et B sont respectivement équivalentes aux matrices ! ! Ir Or,n−r On−s On−s,s 0 Jr = et J s = On−r,t On−r O s,n−s Is Jr0 O = r (0) (0) In−r ! Puisque A + X = QIn P = QP, la matrice A + X est inversible et donc det X = det(A + X) , 0. On en déduit que la matrice Jr0 est l’identité et donc r = 0 puis A = On . (b) Quand X parcourt Mn (R) alors Y = B + X parcourt Mn (R) et en posant C = A − B, on obtient ∀Y ∈ Mn (R), det(C + Y) = det Y Ce qui précède permet alors de conclure. Exercice 5 : [énoncé] Comme rg(A) = r, il ! existe (P, Q) ∈ GLp (K) × GLn (K) tel que A = QJr P. Ir Posons D = ∈ Mn,r (K) et E = Ir Or,p−r ∈ Mr,p (K). On−r,r On a A = BC avec B = QD ∈ Mn,r (K) et C = EP ∈ Mr,p (K) Il existe donc P, Q, R, S ∈ GLn (R) telles que PAQ = Jr et RBS = J s0 et alors PAQ + RBS = Jr + J s0 qui est une matrice de rang min(n, r + s). On peut aussi écrire (R−1 P)A + B(S Q−1 ) = R−1 (Jr + J s0 )Q−1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD