ENS de Lyon Topologie et Calcul Différentiel TD 10 6-8/11/2012 Exercice 1. Calculer les différentielles en tout point des applications suivantes, en précisant leurs noyaux et images. Déterminer l’ensemble des points critiques pour les fonctions à valeurs réelles. Rn \ {0} → R 1. x 7→ ||x||2 2. Rn \ {0} x 3. Gln (R) → M 7→ 4. Mn (R) M → Mn (R) où P ∈ Gln (R) 7→ P M P −1 5. Mn (R) M → R Gln (R) → et 7→ det(M ) M 7→ → 7→ Rn x ||x||2 Gln (R) Mn (R) → et t MM M 7→ Symn (R) t MM R det(M ) Exercice 2. Formules de Taylor, exemples et contre-exemples 1. Ecrire le développement limité à l’ordre six en (0, 0) de f (x, y) = x7 + x5 y − x4 + y 3 . 1 0 2. Ecrire le développement limité à l’ordre n − 1 de det en .. . 0 0 0 ··· ··· 0 0 . . . .. . . 0 0 ! I 0 3. Ecrire le développement limité à l’ordre 2 de det en n−2 . 0 0 4. L’égalité des accroissements finis est-elle vraie pour des fonctions à valeurs dans C ? Redémontrer la formule de Taylor-Lagrange pour une fonction de R dans R. En déduire un énoncé correct d’une formule de Taylor-Lagrange pour des fonctions de plusieurs variables. Exercice 3. Soit C l’ensemble des (x, y) ∈ R2 tels que x3 + y 3 − 3xy = 0. 1. Cette équation définit-elle y comme fonction implicite de x ? Lorsque c’est le cas, calculer la dérivée de la fonction implicite et écrire l’équation de la tangente à C. 2. Dessiner C et préciser l’asymptote. On pourra pour cela calculer l’intersection de C avec la droite y = tx et en déduire une paramétrisation de C. 1 Exercice 4. 1. Soit f : Rn → Rn une application de classe C 2 dont la matrice jacobienne est antisymétrique en tout point. Montrer que f est affine. ! Idp 0 t 2. On rappelle que Op,q (R) = {M ∈ Mn (R) | M Ip,q M = Ip,q } où Ip,q = 0 −Idq n n 2 Soit f : R → R une application de classe C dont la matrice jacobienne est dans Op,q (R) en tout point. Montrer que f est affine (on pourra commencer par le cas q = 0 et par rappeler que les vecteurs colonnes de M ∈ Op,0 (R) forment une famille orthonormée). Exercice 5. Soit E et F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies, soit U et V deux ouverts de E et f : U → F et ϕ : V → U des applications C 2 . 1. Soit x ∈ V , calculer Dx2 (f ◦ ϕ) en utilisant la formule de Taylor-Young. 2. Écrire l’expression de la différentielle du composé Dx (f ◦ϕ) comme composé de trois applications élémentaires. Différentier chacune de ces applications, puis retrouver le résultat précédent. L’exercice 7 permettra de dégager des conséquences géométriques importantes de ce calcul. Exercice 6. Lemme de Morse linéaire 1. Montrer que A ∼ B ssi ∃P ∈ Gln (R) A = t P BP est une relation d’équivalence sur Symn (R). Idp 0 0 2. On note Ip,q = 0 −Idq 0. Montrer que si (p, q) 6= (p0 , q 0 ) alors Ip,q 6∼ Ip0 ,q0 . 0 0 0 3. Réciproquement, montrer que pour toute matrice A symétrique il existe (p, q) tel que A ∼ Ip,q . On appelle rang de A l’entier p + q et signature de A le couple (p, q). Exercice 7. Lemme de Morse 1. Question préliminaire d’algèbre bilinéaire : Soit E un R-espace vectoriel, dont on note E = (ei )i∈[1,n] une base. On rappelle que ϕE : BS(E × E, R) → Sym(n, R), qui à b associe la matrice (b(ei , ej ))i,j est un isomorphisme d’espaces vectoriels, tel que si x, y ont pour vecteurs-coordonnées X, Y dans la base E, alors b(x, y) = X T ϕE (b)Y . Rappeler le lien entre ϕE et ϕE 0 où E 0 est une autre base de E. On définit ainsi une relation d’équivalence sur Symn (R). 2. Existe-t-il un changement de coordonnées local en 0 qui envoie localement le graphe de f (u, v) = u2 + v 2 sur celui de g(u, v) = uv ? La suite de l’exercice étudie la réciproque : on considère f : Rn → R de classe C 2 telle que f (0) = 0, D0 f = 0 et D02 f est de rang n et de signature (p, q) (cf exercice 6). On se propose de démontrer le lemme de Morse : il existe un changement de coordonnées local en 0 qui rend f quadratique. 2 3. Montrer qu’il existe h : Ω → Symn (R) avec Ω voisinage de 0 telle que : f (x) = f (0) + t xh(x)x 4. Soit A ∈ Symn (R) de rang n et de signature (p, q), montrer qu’il existe un ouvert U de Symn (R) contenant A et une application g : U → Symn (R) telle que t g(M )M g(M ) = Ip,q 5. En déduire le lemme de Morse. Exercice 8. Déterminer le rang de la différentielle en chaque point et, autant que faire se peut, les lignes de niveau des applications suivantes : R → R2 − 1t C∗ → C∗ C → C (0, e ) si t > 0 z 7→ z 2 z 7→ z 2 t 7→ (0, 0) si t = 0 1t (e , 0) si t < 0 R3 →R (x, y, z) → x2 + y 2 − z 2 R C → C∗ z 7→ ez t → R2 7→ r(t) cos(t) sin(t) si r2 + (r0 )2 6= 0. Exercice 9. Application du théorème du rang 1. Soit A : Rm −→ Rn une application linéaire. À quelle condition A est-elle ouverte ? 2. Soit f : Rm −→ Rn une application de classe C 1 qui est injective. Montrer que m ≤ n et que Df est de rang m sur un ouvert dense. 3