Exercice 1. Calculer les différentielles en tout point des applications

ENS de Lyon TD 10 6-8/11/2012
Topologie et Calcul Différentiel
Exercice 1. Calculer les différentielles en tout point des applications suivantes, en pré-
cisant leurs noyaux et images. Déterminer l’ensemble des points critiques pour les fonctions
à valeurs réelles.
1. Rn\ {0} → R
x7→ ||x||2
2. Rn\ {0} → Rn
x7→ x
||x||2
3. Gln(R)→Gln(R)
M7→ tMM et Mn(R)→Symn(R) M7→ tMM
4. Mn(R)→Mn(R)
M7→ P MP −1où P∈Gln(R)
5. Mn(R)→R
M7→ det(M)et Gln(R)→R M7→ det(M)
Exercice 2. Formules de Taylor, exemples et contre-exemples
1. Ecrire le développement limité à l’ordre six en (0,0) de f(x, y) = x7+x5y−x4+y3.
2. Ecrire le développement limité à l’ordre n−1de det en 
1 0 · · · 0
0 0 0
.
.
.....
.
.
0· · · 0 0
.
3. Ecrire le développement limité à l’ordre 2 de det en In−20
0 0!.
4. L’égalité des accroissements finis est-elle vraie pour des fonctions à valeurs dans C?
Redémontrer la formule de Taylor-Lagrange pour une fonction de Rdans R. En
déduire un énoncé correct d’une formule de Taylor-Lagrange pour des fonctions de
plusieurs variables.
Exercice 3. Soit Cl’ensemble des (x, y)∈R2tels que
x3+y3−3xy = 0.
1. Cette équation définit-elle ycomme fonction implicite de x? Lorsque c’est le cas,
calculer la dérivée de la fonction implicite et écrire l’équation de la tangente à C.
2. Dessiner Cet préciser l’asymptote. On pourra pour cela calculer l’intersection de C
avec la droite y=tx et en déduire une paramétrisation de C.
1

Exercice 4.
1. Soit f:Rn→Rnune application de classe C2dont la matrice jacobienne est
antisymétrique en tout point. Montrer que fest affine.
2. On rappelle que Op,q(R) = {M∈Mn(R)|tMIp,qM=Ip,q }où Ip,q = Idp0
0−Idq!
Soit f:Rn→Rnune application de classe C2dont la matrice jacobienne est dans
Op,q(R)en tout point. Montrer que fest affine (on pourra commencer par le cas
q= 0 et par rappeler que les vecteurs colonnes de M∈Op,0(R)forment une famille
orthonormée).
Exercice 5.
Soit Eet Fdeux R-espaces vectoriels de dimensions finies, soit Uet Vdeux ouverts
de Eet f:U→Fet ϕ:V→Udes applications C2.
1. Soit x∈V, calculer D2
x(f◦ϕ)en utilisant la formule de Taylor-Young.
2. Écrire l’expression de la différentielle du composé Dx(f◦ϕ)comme composé de trois
applications élémentaires. Différentier chacune de ces applications, puis retrouver le
résultat précédent.
L’exercice 7 permettra de dégager des conséquences géométriques importantes de ce calcul.
Exercice 6. Lemme de Morse linéaire
1. Montrer que A∼Bssi ∃P∈Gln(R)A=tP BP est une relation d’équivalence sur
Symn(R).
2. On note Ip,q =
Idp0 0
0−Idq0
0 0 0
. Montrer que si (p, q)6= (p0, q0)alors Ip,q 6∼ Ip0,q0.
3. Réciproquement, montrer que pour toute matrice Asymétrique il existe (p, q)tel
que A∼Ip,q.
On appelle rang de Al’entier p+qet signature de Ale couple (p, q).
Exercice 7. Lemme de Morse
1. Question préliminaire d’algèbre bilinéaire : Soit Eun R-espace vectoriel, dont on
note E= (ei)i∈[1,n]une base. On rappelle que ϕE:BS(E×E, R)→Sym(n, R), qui
àbassocie la matrice (b(ei, ej))i,j est un isomorphisme d’espaces vectoriels, tel que si
x, y ont pour vecteurs-coordonnées X, Y dans la base E, alors b(x, y) = XTϕE(b)Y.
Rappeler le lien entre ϕEet ϕE0où E0est une autre base de E. On définit ainsi une
relation d’équivalence sur Symn(R).
2. Existe-t-il un changement de coordonnées local en 0 qui envoie localement le graphe
de f(u, v) = u2+v2sur celui de g(u, v) = uv ?
La suite de l’exercice étudie la réciproque : on considère f:Rn→Rde classe C2
telle que f(0) = 0,D0f= 0 et D2
0fest de rang net de signature (p, q)(cf exercice
6). On se propose de démontrer le lemme de Morse : il existe un changement de
coordonnées local en 0qui rend fquadratique.
2

3. Montrer qu’il existe h: Ω →Symn(R)avec Ωvoisinage de 0telle que :
f(x) = f(0) + txh(x)x
4. Soit A∈Symn(R)de rang net de signature (p, q), montrer qu’il existe un ouvert
Ude Symn(R)contenant Aet une application g:U→Symn(R)telle que
tg(M)Mg(M) = Ip,q
5. En déduire le lemme de Morse.
Exercice 8. Déterminer le rang de la différentielle en chaque point et, autant que faire
se peut, les lignes de niveau des applications suivantes :
C∗→C∗
z7→ z2
C→C
z7→ z2
R→R2
t7→ 
(0, e−1
t)si t > 0
(0,0) si t= 0
(e1
t,0) si t < 0
R3→R
(x, y, z)→x2+y2−z2
C→C∗
z7→ ez
R→R2
t7→ r(t)
cos(t)
sin(t)
si r2+ (r0)26= 0.
Exercice 9. Application du théorème du rang
1. Soit A:Rm−→ Rnune application linéaire. À quelle condition Aest-elle ouverte ?
2. Soit f:Rm−→ Rnune application de classe C1qui est injective. Montrer que
m≤net que Df est de rang msur un ouvert dense.
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