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Chapitre 4Calcul matriciel
1Notions fondamentales • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Proposition (Espaces vectoriels de matrices)
L’ensemble Mn,p(K)muni des op´ erations +et ·pr´ ec´ edentes est un espace vectoriel sur K.
dimKMn,p(K) = n×p
Proposition (Structure d’espace vectoriel de L(E,F))
– L’ensemble L(E,F)muni des op´ erations +et ·d´ efinies pr´ ec´ edemment est un espace vectoriel
sur K.
– Si dim E=pet dim F=net que l’on fixe des bases Bet B0de Eet Frespectivement, alors
l’application :
MB,B0:L(E,F)−→ Mn,p(K)
f7−→ MB,B0(f)
est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, l’espace L(E,F)est de dimension finie et
dim L(E,F) = dim Mn,p(K) = n×p.
∀i∈v1, nw,∀j∈v1, qw,ci j =ai1b1j+· · · +aip bp j =
p
X
k=1
aik bk j
Proposition (Propri´ et´ es du produit matriciel)
Le produit matriciel est associatif (on peut d´ eplacer les parenth` eses)et distributif par rapport ` a
l’addition (on peut d´ evelopper). Il commute avec la multiplication par un scalaire (on peut d´ eplacer
un scalaire dans un produit de matrices).
Proposition L’application t:Mn,p(K)−→ Mp,n(K)
A7−→ tA
est une application lin´ eaire.
2Matrices carr´ ees •••••••••••••••••••••••••••••
Proposition (Propri´ et´ es de Mn(K))
L’ensemble Mn(K)des matrices carr´ ees ` a coefficients dans Kest stable par addtition et produit
matriciel.
La matrice In=
1 0
...
0 1
(diagonale de 1)est neutre pour le produit matriciel dans Mn(K).
On l’appelle matrice identit´ e d’ordre n.
Cours de math´ ematiques, Sp´ e PC – [Rapha¨ el Dieu - 12/2016]page 1

Proposition (Identit´ es remarquables)
Si Aet Bdans Mn(K)commutent, c’est-` a-dire AB =BA, alors on a :
– Formule du binˆ ome : ∀p>0, (A+B)p=
p
X
k=0p
kAkBp−k
– L’identit´ e remarquable : Ap−Bp= (A−B)(Ap−1+Ap−2B+· · · +Bp−1)
D´ efinition et proposition (Matrice inversible)
Une matrice A∈ Mn(K)est inversible s’il existe B∈ Mn(K)telle que AB =In. On a alors aussi
BA =Inet on note B=A−1.
Caract´ erisation des matrices inversibles
Une matrice A∈ Mn(K)est inversible si et seulement si l’une des conditions suivantes est v´ erifi´ ee.
(i)Son noyau est nul (ses colonnes sont lin´ eairement ind´ ependantes),
(ii)Son rang est ´ egal ` an(ses colonnes engendrent Kn),
(iii)Son d´ eterminant est non nul (ses colonnes forment une base de Kn).
D´ efinition (Sous-espace stable par un endomorphisme)
On dit qu’un sous-espace Fde Eest stable par fsi pour tout x∈F, on a f(x)∈F. Dans ce cas, la
restriction de f` aFest un endomorphisme de Fappel´ e endomorphisme induit par fsur F.
Proposition (Caract´ erisation matricielle de la stabilit´ e)
Un sous-espace Fde Eest stable par fsi et seulement si la matrice Ade fdans une base adapt´ ee
`
aFest triangulaire par blocs, c’est-` a-dire de la forme :
A=A0B
0C, avec A0∈ Mp(K),p=dim F
A0est la matrice de l’endomorphisme induit par fsur F.
Proposition
Soit E=F1⊕F2⊕ · · · ⊕ Fpune d´ ecomposition de Een somme directe, alors fstabilise chacun
des sous-espaces Fisi et seulement si sa matrice dans une base adapt´ ee ` a la somme directe est
diagonale par blocs, c’est ` a dire de la forme :
A=
A1
A20
0...
Ap
o` uAiest une matrice carr´ ee de taille dim Fi.
page 2 Chapitre 4 – Calcul matriciel

3Les d´ eterminants •••••••••••••••••••••••••••••
Proposition et d´ efinition (D´ eterminant d’une matrice carr´ ee)
Il existe une unique application det : Mn(K)→K,A7→ det(A)telle que det(In) = 1, det est lin´ eaire
par rapport ` a chaque colonne de sa variable Aet antisym´ etrique par rapport aux colonnes de A.
det(A)est appel´ e d´ eterminant de la matrice A.
Th´ eor` eme (Caract´ erisation de l’inversibilit´ e)
Soit A∈ Mn(K), alors Aest inversible si et seulement si det(A)6=0.
Proposition (D´ eterminant d’un produit ou d’un inverse)
Soient A,B∈ Mn(K), alors det(AB) = (det A)(det B). Si Aest inversible, alors det(A−1) = 1
det(A)·
Proposition (D´ eveloppement selon une ligne ou une colonne)
Avec les notations pr´ ec´ edentes, on a
∀i∈v1, nw, det(A) =
n
X
j=1
ai j γi j (d´ eveloppement selon la ligne i)
∀j∈v1, nw, det(A) =
n
X
i=1
ai j γi j (d´ eveloppement selon la colonne j)
D´ efinition (D´ eterminant d’une famille de vecteurs)
On appelle d´ eterminant de la famille (u1, . . . , un)dans la base Ble d´ eterminant de sa matrice
dans B,
detB(u1, . . . , un) = detMB(u1, . . . , un)
Th´ eor` eme (caract´ erisation des bases)
La famille (u1, . . . , un)est une base de Esi et seulement si detB(u1, . . . , un)6=0.
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