Applications linéaires

Application lin´eaire
Si Eet Fsont des espaces vectoriels sur un corps K, une application
u:E→Fest lin´eaire si, quels que soient les ´el´ements xet yde Eet
les scalaires λet µ, on a :
u(λx +µy) = λ u(x) + µ u(y).
On d´efinit le noyau, Ker(u), et l’image, Im(u), de l’application
lin´eaire par :
Ker(u) =−1
u(0) = {x∈E|u(x) = 0},
Im(u) = u(E) = {y∈F| ∃ x∈E:u(x) = y}.
Ce sont des sous-espaces vectoriels, respectivement, de Eet de F.
L’application lin´eaire est injective si Ker(u) = {0},surjective si
Im(u) = F; elle est bijective si ces deux conditions sont remplies. La
dimension de Im(u) est le rang de u, not´e rg(u).
La base canonique de Knest la famille (ei), 1 ≤i≤n, les
coordonn´ees de ei´etant nulles sauf la i-`eme, ´egale `a 1 ; δij ´etant le
symbole de Kronecker, qui vaut 1 si i=jet 0 si i6=j, on a :
ei= (δij)1≤j≤n.
Une application lin´eaire bijective uest un isomorphisme ;u−1,
l’application r´eciproque, est ´egalement lin´eaire : c’est un isomorphisme.
Tout espace vectoriel Ede dimension nsur le corps Kest isomorphe
`a Kn, qui est donc le mod`ele d’espace vectoriel de dimension n.
Une application lin´eaire de Edans lui-mˆeme est un endomor-
phisme. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme.
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Notons que dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(E).
Plus g´en´eralement, si Aet Bsont des sous-espaces vectoriels de E,
on a dim(A+B) = dim(A) + dim(B)−dim(A∩B).
Une forme lin´eaire sur est une application lin´eaire de l’espace
vectoriel Esur le corps de base K. Leur ensemble not´e E∗est le dual
de E.
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