Cours de mathématiques discrètes - Cours-info

Algèbre et Géométrie
Jean-François Couchot
couchot[arobase]iut-bm.univ-fcomte[point]fr
25 août 2010

Table des matières
1 Les nombres complexes 2
I Calculs avec les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.1 Notations et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Somme et produit dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Conjugaison dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.4 Module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.5 Écritures exponentielles d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Techniques : arguments d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III Racine d’un polynôme à coefficients dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Application des complexes à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V Transformations dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.1 Similitude planes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.2 Similitude planes indirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.3 Inversion géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.4 Inversion complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Calcul Matriciel 11
I Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.1 Rappels sur les rotations dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.2 Rotations dans l’espace selon un axe et un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.3 Écriture matricielle d’une rotation autours d’un axe de coordonnées ............. 13
1

Chapitre 1
Les nombres complexes
Ce cours est largement inspiré de [CCB05,LM07,Vé93,LPR96].
I Calculs avec les nombres complexes
On définit l’ensemble Cdes nombres complexes comme le corps commutatif contenant le corps des réels et tel
que
1. Ccontient R;
2. l’addition et la multiplication de Cprolongent celles dans R;
3. l’équation z2=−1 admet deux solution dans Cnotées jet −j.
I.1 Notations et premières propriétés
Pour tout zdans C, il existe un unique couple (x, y)∈R2tel que z=x+jy. Le réel xest la partie réelle de
zet on note x= Re(z) ; le réel yest la partie imaginaire de zet on note y= Im(z). Ainsi l’écriture algébrique de
zest
z= Re(z) + jIm(z).
Évidemment, un nombre complexe est un réel si sa partie imaginaire est nulle et un nombre complexe est
un imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. De plus, deux nombres complexes zet z′sont égaux s’ils ont
respectivement les même parties réelles et imaginaires. Formellement,
∀z, z′∈C. z =z′⇔(Re(z) = Re(z′)
Im(z) = Im(z′)
I.2 Somme et produit dans C
Soit zet z′deux nombres complexes. On a
z+z′= (Re(z) + jIm(z)) + (Re(z′) + jIm(z′))
= (Re(z) + Re(z′)) + j(Im(z) + Im(z′))
z×z′= (Re(z) + jIm(z)) ×(Re(z′) + jIm(z′))
= (Re(z) Re(z′)−Im(z) Im(z′)) + j(Re(z) Im(z′) + Im(z) Re(z′))
I.3 Conjugaison dans C
Définition 1.1 (Conjugué d’un complexe). Soit z∈C; le conjugué de z, noté z, est défini par
z= Re(z)−jIm(z)
Soit zet z′deux nombres complexes quelconques. On a
1. conjugué d’une somme : z+z′=z+z′;
2. conjugué d’un produit : z×z′=z×z′;
3. conjugué d’un opposé : −z=−z;
2

4. conjugué d’un inverse : soit z6= 0, 1
z=1 z;
5. conjugué d’un conjugué z=z
Exercice 1.1.
1. Démontrer les propriétés 2. et 4. à propos des conjugués précédents ;
2. Montrer que le conjugué d’un quotient de deux nombres complexes (dont le dénominateur n’est pas nul) est
égal au quotient des conjugués des deux nombres complexes.
I.4 Module et argument
Le module d’un nombre complexe z, noté |z|, est
|z|=q(Re z)2+ (Im z)2
.
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
−→
u
−→
v
|z|
M
Re(z)
Im(z)
|z′−z|
arg(z)
M′
arg(z′−z)
M′
Figure 1.1 – Représentation géométrique d’un nombre complexe
On considère la figure 1.1. Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, −→
u , −→ v), un nombre complexe zpeut
être représenté par le point Mde coordonnées (Re(z),Im(z)). Le module |z|est alors la longueur du segment
[OM]. Plus généralement, si Ma pour affixe zet M′a pour affixe z′, la distance de MàM′est |z′−z|.
Si zest différent de 0, on appelle argument de zet on note arg(z) n’importe quelle mesure θde l’angle
−→
u , −−→ OM. Ainsi :
∀z∈C.∃θ∈R. z =|z|(cos(θ) + jsin(θ)).
Lorsque θappartient à ] −π, π], on dit que
–θest l’argument principal de zet que
–|z|(cos(θ) + jsin(θ)) est l’écriture polaire de z.
En généralisant, si Ma pour affixe zet M′a pour affixe z′, et si zest distinct de z′, alors arg(z′−z) est la
mesure de l’angle −→
u , −−−→ MM′.
3

Propriété 1.2. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même modules et leurs argu-
ments sont égaux à 2πprès.
Exercice 1.2. Démontrer les propriétés suivantes :
1.∀z∈C.|z|=√zz et 2.∀z∈C∗.1
z=z |z|2
Le tableau suivant donne les propriétés des modules et arguments en fonction des opérateurs classiques sur les
complexes. On considère que zet z′sont deux nombres complexes quelconques.
Module Argument
zet z′non nuls
Somme |z+z′| ≤ |z|+|z′|
Opposé | − z|=|z|arg(−z)≡arg(z) + π(2π)
Différence |z−z′| ≤ |z|+|z′|
Conjugué |z|=|z|arg(z)≡ −arg(z)(2π)
Produit |zz′|=|z||z′|arg(zz′)≡arg(z) + arg(z)(2π)
Inverse |1
z|=1
|z|arg(1
z)≡ −arg(z)(2π)
z6= 0
Quotient |z
z′|=|z|
|z′|arg( z
z′)≡arg(z)−arg(z′)(2π)
z6= 0
Exercice 1.3. Démontrer les propriétés du module et de l’argument relativement au produit et à l’inverse. On
pourra se servir des propriétés admises pour tout nombres réels aet b:
sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
Propriété 1.3 (Formule de Moivre). Pour tout entier relatif net tout réel θon a
(cos(θ) + jsin(θ))n= cos(nθ) + jsin(nθ)
Exercice 1.4. Démontrer la formule de Moivre par récurrence.
I.5 Écritures exponentielles d’un nombre complexe
Par la suite pour tout nombre réel θon adoptera la notation cos(θ) + jsin(θ) = ejθ. Ainsi tout complexe z
peut s’écrire sous la forme
z=|z|ejarg(z)
nommée écriture exponentielle de z.
Propriété 1.4 (Relations d’Euler). Pour tout nombre réel θ
cos(θ) = ejθ +e−jθ
2et sin(θ) = ejθ −e−jθ 2j
4