Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence
XMP 2015-2016 DM N°7 (5/2)
PROBLÈME 1
Soit E l'ensemble des fonctions numériques de classe
de carré intégrable sur
I
, et
1
E
la partie de E cons-
tituée des fonctions dont la dérivée seconde est elle-même de carré intégrable sur I.
1.
Prouver que E est un espace vectoriel, et que
1
E
en est un sous-espace.
On désigne désormais par g une fonction quelconque de
1
E. Les intégrales
2
0
+∞
∫
et
2
0
+∞
′′
∫
existent donc.
2.
a.
Prouver que la fonction
gg
est intégrable sur [,0[
.
b.
On suppose que la fonction
2
g′
n'est pas intégrable sur
I
. Prouver alors que la fonction
gg
tend vers
en
. En déduire la limite de
2
g
en
.
c.
Déduire de ce qui précède que
g
est de carré intégrable sur
I
.
3.
Déduire des résultats de la question
2.
que la fonction
gg
est intégrable, puis que
g
a une limite en
, que l'on
déterminera. Prouver qu'il en va de même pour
g
.
4.
En considérant la fonction
:
h x x
֏, prouver que
1
E est strictement inclus dans E.
5. Pour A réel positif, calculer l'expression
( )
2
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d
A
K A g t g t g t g t g t g t t
′ ′′ ′ ′′
= − + − + +
∫
, puis la limite
de )(AK quand A tend vers
.
En déduire l'inégalité :
∫∫∫
+∞+∞+∞
′′
+≤
′
0
2
0
2
0
2
d)(d)(d)( ttgttgttg .
Dans les questions 6., 7. et 8. suivantes, on désigne par f une fonction intégrable sur
.
6. Vérifier que l'on définit sur
une fonction (appelée transformée de Fourier de f) en posant, pour tout réel x :
∫
+∞
∞−
=ttfxf
tx
de)()(
ˆ
i
.
Prouver que la fonction
f
ˆ
est bornée sur
, et en donner un majorant.
7. Prouver que la fonction
f
ˆ
est continue sur
, et donner ses limites en
et
.
8. On suppose dans cette question que f est de classe
, et que la fonction f
est elle-même intégrable sur I.
a. Prouver que f tend vers 0 en
et
, et que sa transformée de Fourier est de carré intégrable sur I.
b. Prouver l'inégalité :
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
′
≤ffxxf .4d)(
ˆ
2
.