DM 7 _5 demis - MP Camille Vernet

XMP 2015-2016
DM N°7 (5/2)
PROBLÈME 1
Soit E l'ensemble des fonctions numériques de classe C 2 de carré intégrable sur I = [0,+∞[ , et E1 la partie de E constituée des fonctions dont la dérivée seconde est elle-même de carré intégrable sur I.
1.
Prouver que E est un espace vectoriel, et que E1 en est un sous-espace.
+∞
On désigne désormais par g une fonction quelconque de E1 . Les intégrales
∫ g (t )
+∞
2
dt et
0
2.
∫ g ′′(t )
2
dt existent donc.
0
a. Prouver que la fonction gg ′′ est intégrable sur [0,+∞[ .
b. On suppose que la fonction g′2 n'est pas intégrable sur I. Prouver alors que la fonction gg ′ tend vers +∞ en
+∞ . En déduire la limite de g 2 en +∞ .
c. Déduire de ce qui précède que g ′ est de carré intégrable sur I.
3. Déduire des résultats de la question 2. que la fonction gg ′ est intégrable, puis que g a une limite en +∞ , que l'on
déterminera. Prouver qu'il en va de même pour g ′ .
sin (x 2 )
, prouver que E1 est strictement inclus dans E.
x +1
4.
En considérant la fonction h : x ֏
5.
2
Pour A réel positif, calculer l'expression K (A) =  g (t )2 − g ′(t )2 + g ′′(t ) 2 − ( g (t ) + g ′(t ) + g ′′(t ) )  dt , puis la limite


A
∫
0
de K(A) quand A tend vers +∞ .
En déduire l'inégalité :
+∞
∫
g ′(t)2 dt ≤
+∞
0
∫
g(t)2 dt +
+∞
∫ g′′(t) dt .
2
0
0
Dans les questions 6., 7. et 8. suivantes, on désigne par f une fonction intégrable sur R .
6.
Vérifier que l'on définit sur R une fonction (appelée transformée de Fourier de f) en posant, pour tout réel x :
+∞
fˆ(x) =
∫ f(t)e
itx
dt .
−∞
Prouver que la fonction fˆ est bornée sur R , et en donner un majorant.
7.
Prouver que la fonction fˆ est continue sur R , et donner ses limites en +∞ et −∞ .
8.
On suppose dans cette question que f est de classe C1 , et que la fonction f ′ est elle-même intégrable sur I.
a. Prouver que f tend vers 0 en +∞ et −∞ , et que sa transformée de Fourier est de carré intégrable sur I.
b. Prouver l'inégalité :
+∞
∫
+∞
2
fˆ(x) dx ≤ 4
−∞
∫ ∫
−∞
1
+∞
f.
f′ .
−∞
Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence
PROBLÈME 2
Dans ce problème, on examine différentes extensions de la notion de fonction intégrable, ainsi que les liens qui existent entre elles.
f étant une fonction continue sur I = [0,+∞[ , à valeurs réelles, on note F sa primitive s’annulant en 0. Trois sortes de
sommabilité sont définies :
i. la sommabilité usuelle :
si f est intégrable sur I, on notera :
+∞
I( f ) =
∫
f (t )dt .
0
ii. la sommabilité au sens d’Abel :
+∞
si
∫
e− xt f (t )dt existe pour tout réel x strictement positif et si, en outre, lim
x →0 +
0
+∞
∫e
− xt
f(t)dt existe dans R , on dit
0
que f est Abel-sommable sur I (en abrégé A-S) et l’on pose :
+∞
∫e
A( f ) = lim
x →0 +
− xt
f (t )dt .
0
iii. la sommabilité au sens de Cesàro :
t
1
F (u )du existe dans R , f est dite Cesàro-sommable sur I (en abrégé C-S) et l’on pose :
t →+∞ t
si lim
∫
0
t
1
F (u )du .
t →+∞ t
C ( f ) = lim
∫
0
Partie I
(Étude d’exemples)
T
1.
Calculer l’intégrale
∫e
− xt
f(t)dt quand f est la fonction sinus, puis (?!) la fonction cosinus.
0
2. Examiner successivement, pour les fonctions f précisées ci-dessous, leur sommabilité aux sens usuel, d’Abel, puis de
Cesàro, et calculer quand ils existent les nombres I ( f ) , A( f ) et C ( f ) :
f1(t) = sint ;
f 2(t) = e−tsint ;
f3(t) = e2t cos(et )
Partie II
Soit f une fonction quelconque, continue sur I, à valeurs réelles.
3.
On suppose que f est sommable sur I. Prouver que f est Cesàro-sommable sur I, et que l’on a I ( f ) = C ( f ) (on pourra
majorer
1
t
t
∫ [ F (u) − I ( f )] du
en la décomposant en deux parties).
0
4.
On suppose que f est sommable sur I. Prouver que f est Abel-sommable sur I, et que l’on a I ( f ) = A( f ) .
5.
Examiner les réciproques des propriétés établies aux questions 3. et 4..
2
Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence
Partie III
Il s’agit ici de faire le lien entre les sommabilités aux sens d’Abel et de Cesàro.
On considère pour cela dans toute cette partie une fonction f, continue sur I, et telle que l’intégrale
+∞
g (x) =
∫e
− xt
f (t )dt existe pour tout réel x strictement positif.
0
f (t )
tend vers 0 en +∞ . Montrer que x 2 g(x) tend vers 0 en 0+ .
t
6.
On suppose que
7.
On suppose qu’au voisinage de +∞ , f(t) est équivalent à At (A constante non nulle). Montrer que x 2 g(x) tend vers
A quand x tend vers 0+ .
x
8.
En déduire que si la primitive F vérifie F(x) =
∫ f(t)dt ≈ Ax au voisinage de +∞
(A ≠ 0) , alors g vérifie g(x) ≈ A / x
0
au voisinage de 0 (on pourra utiliser une intégration par parties pour se ramener à ce qui précède).
9.
Prouver alors que si f est Cesàro-sommable sur I, elle est Abel-sommable sur I et que l’on a A( f ) = C ( f ) .
3
Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence