corrigé

EPITA 2000
Transformée deFourier
remarques surlesujet:
²laquestion2donnetouteslesréponses.Ilestdoncpossibledelesadmettrepourpasseràlasuite en particulierpour
traiterl’exempledelaquestion3.
²parcontrelaquestion4nedonnepasderéponse etestindispensablepourledeuxième exemple.Laquestion5dépend
aussidelaquestion1(lesujetledit) maison peut toujoursexprimerF(0)doncaussiFenfonction deImêmesansavoir
faitlaquestion1.
²Lesujetneditpasquelacalculatrice estinterdite.Ilestprobablequevotre calculatrice connaisselavaleurdeI.Essayer
aussi lesdeuxexemples(MAPLEsaitlefaire).Sivouspouvez avoirlerésultat…nalavantde commencerlescalculsvous
pouvez lesvéri…er.en particuliervéri…erlesdeuxéquationsdi¤érentiellesavantderédigerla…n dequestions.
1a)Gestuneintégraledépendantd’un paramètre.Commeonintègresurun segment, il estinutilededominer.
Lafonction(x;u)¡>exp¡(x2(1+u2))
1+u2estC1surR£[0;1]commequotientdefonctionC1àdénominateurjamais
nul. DoncGestC1surRet
G0(x)=Z1
0
(¡2x)e¡x2(1+u2)du
h(x)=Rx
0e¡u2duestuneprimitivedelafonctioncontinueu¡>e¡u2.hestdoncC1surReth0(x)=e¡x2.
CommeH=h2,HestC1surRetH0=2hh0donc
H0(x)=2e¡x2Zx
0
e¡u2du
Le changementdevariableu=txC1pourt2[0;1]donneH0(x)=2e¡x2R1
0e¡x2t2xdt=¡G0(x).
Onadonc:8x2R,H0(x)+G0(x)=0.Enintégrantonen déduitqueH+Gestconstante.OrH(0)=0et
G(0)=R1
0
du
1+u2=[Arctan(u)]1 0=¼ 4Donc
H+G=¼
4
1b)Gestunefonction positive commeintégraled’unefonction positive, lesbornesétantdanslebonsens.
Depluscommee¡x2u2·1onaG(x)·R1
0e¡x2du 1+u2=¼ 4e¡x2.Doncparencadrement:lim+1(G)=0:
Etdonc commeG+H=¼=4onalim+1(H)=¼=4:
OnadoncR!+1
0e¡u2du=p¼ 2.Commelafonctionu¡>e¡u2estcontinuepositivesurR+l’existence dela
limite estéquivalenteàl’intégrabilitésurR+.
R+1
0e¡u2du=p¼ 2
2a)Pourtoutxréelon posefx(t)=e¡2i¼xtf(t).LafonctionfxestalorscontinuesurRetjfxj=jfjfonction
intégrablesurRparhypothèse.fxestdoncunefonctioncontinuemajorée parunefonctionintégrablesurR,
doncintégrablesurR.
Festdé…niesurR
2b)Onapourtoutréelx:jF(x)j=¯¯RRfx(t)dt¯¯·RRjfxj=RRjfjquantitéquiestbien dé…nie(festintégrable
surR)etindépendantedex.
Festbornée surR
2c)
SoitÁ(x;t)=e¡2i¼xtf(t).ÁestunefonctioncontinuesurR£Rdominée parlafonctionjfjcontinue,
intégrablesurRetindépendantedex.DoncF=RRÁ(x;t)dtetcontinuesurR.
FestcontinuesurR
2d)Avec lesnotation de cettequestionlamajorationdu2bdevientkTfk1·kfk1
T(f)estbien dé…niepourtoutefonctioncontinueintégrablesurRetonabienT(f)2Cb(R)d’après2bet2c.
Testlinéaireparlinéaritédu produitpare¡2i¼xtetlinéaritédel’intégrale.
En…n
kTg1¡Tg2k1=kT(g1¡g2)k1·kg1¡g2k1
Testlinéaire1¡lipschitziennedeL1(R)dansCb(R)
3)Onvéri…eavant toute chosequelafonctionf:t¡>1
1+t2estcontinueintégrablesurR:

²continuesansproblème commeinversed’unefonctioncontinueàdénominateurnon nul.
²intégrablesur[0;1]carcontinuesurlesegment.
²intégrablesur[1;+1[caréquivalente en+1à1
t2
LafonctionFestdonc continuesurRmajorée parR+1
¡1
dt
1+t2=¼
3a)Surtoutsegment[a;b]inclusdansRon peutposerpourx6=0u(t)=¡1
2i¼xe¡2i¼txetv(t)=1 1+t2.Les
fonctionsuetvsontC1sur[a;b].etdonc:
Zb
a
e¡2i¼xt
1+t2dt=¡1 2i¼x·e¡2i¼xb 1+b2¡e¡2i¼xa 1+a2¸+1 2i¼xZb
a
¡2te¡2i¼tx
(1+t2)2dt
Pourtoutxréel lafonctiont¡>¡2te¡2i¼tx
(1+t2)2estcontinuesurRmajorée enmoduleparÁ(t)=2jtj (1+t2)2.La
fonctionÁestcontinuesurRintégrablesurRcaréquivalenteà1
jtj3en§1:On peutdoncpasseràlalimite
dansl’intégration parpartie.Or
¯¯¯¯
e¡2i¼xb
1+b2¯¯¯¯·1 1+b2!b!+10,et¯¯¯¯
e¡2i¼xa
1+a2¯¯¯¯·1 1+a2!a!¡10
d’où:
8x6=0,F(x)=1
i¼xRR¡te¡2i¼tx
(1+t2)2dt
comme1
i=¡ionalarelationvouluepourx6=0enmultipliantpar¼x.
Pourx=0lemembredegauche estcontinue carFestcontinue.Lemembrededroite estaussicontinue car
Ã(x;t)=te¡2i¼tx
(1+t2)2estcontinuesurR2dominée parÁ(t)=2jtj (1+t2)2continueintégrablesurR.L’égalité estdonc
vraie enx=0parcontinuité.
8x2R;¼xF(x)=iRR
te¡2i¼tx
(1+t2)2dt
Lemembrededroite estlatransformée deFourierdelafonctioncontinueintégrablet¡>it
(1+t2)2.D’après
1d)il estdoncmajoré enmoduleparRRjtj
(1+t2)2dt=2R!+1
0
t
(1+t2)2dt=2h1 2(1+t2)i!+1
0=1
8x6=0,jF(x)j·1
¼jxj
Anoterl’erreurdetexte:xdoitêtrenon nulpourquel’expressionsoitdé…nie.
Onadonclim§1(F)=0
3b)Soitµ(x;t)=te¡2i¼tx
(1+t2)2.µvéri…eleshypothèsesdu théorèmededérivationsouslesigneR:
²µ2C1¡R2;C¢.commeproduitetquotientàdénominateurnon nuldetellesfonctions.
²Avec lesnotationsdu 3a)µestdominée parlafonctionÁcontinueintégrablesurRetindépendantedex.
²@µ
@x(x;t)=¡2i¼t2e¡2i¼xt
(1+t2)2estdominée par2¼t2
(1+t2)2,doncpar2¼ (1+t2)continue, intégrablesurRetindépendantedex.
Lafonction£(x)=RRµ(x;t)dtestdoncC1surRdedérivée RR
@µ
@x(x;t)dt=¡2i¼RR
t2e¡2i¼xt
(1+t2)2dt:
CommeF(x)=i£(x)
¼xlafonctionFestC1surR¤commequotientàdénominateurnon nuldefonctionsC1.
En dérivantlarelation(1)etensimpli…antpar¼onadonc:
F(x)+xF0(x)=2ZR
t2e¡2i¼xt
(1+t2)2dt
Ort2=(1+t2)¡1donc:
F(x)+xF0(x)=2ÃF(x)¡ZR
e¡2i¼xt
(1+t2)2dt!
D’où parchangementdemembre:
F(x)¡xF0(x)=2RR
e¡2i¼xt
(1+t2)2dt
3c)On posemaintenant°(x;t)=e¡2i¼xt
(1+t2)2et¡(x)=RR°(x;t)dt:
²Lafonction°estC1surR2
2

²j°(x;t)j·1
(1+t2)2indépendantdex,continueintégrablesurRcaréquivalentà1 t4en§1
²¯¯¯@°
@x(x;t)¯¯¯·2¼jtj
(1+t2)2indépendantdex,continueintégrablesurRcaréquivalentà1 jtj3en§1
¡estdoncC1surRetdoncF0(x)=F(x)¡2¡(x)
xestC1surR¤.
En dérivantlarelation(2)on déduit:
xF"(x)=4i¼ZR
te¡2i¼tx
(1+t2)2dt
Onretrouvel’expressiondu3a):xF"(x)=4¼2xF(x):Soitensimpli…antparx:
F"=4¼2F
3d)OnaF(0)=RR
dt
1+t2=¼
²SurR+¤onad’aprèsl’équation di¤érentielleF(x)=Ae¡2¼x+Be2¼x.Commelim+1(F)=0onaB=0puis,comme
lesdeuxmembres sontcontinuesen0etqueF(0)=¼onaA=¼:
x¸0,F(x)=¼e¡¼x
²SurR¡¤onad’aprèsl’équation di¤érentielleF(x)=Ae¡2¼x+Be2¼x.Commelim¡1(F)=0onaA=0puispar
continuité commeF(0)=¼onaB=¼:
x¸0,F(x)=¼e¼x
4a)Enreprenantlesnotationsdelaquestion2c)onadéjàqueÁ(x;t)=e¡2i¼xtf(t)estunefonctioncontinue
surR2dominée parlafonctionfcontinue, intégrablesurRetindépendantedex.DeplusÁestbienC1sur
R2et@Á
@x=(¡2i¼)e¡2i¼xt(tf(t)) estdominée par2¼jtf(t)jfonctioncontinue, indépendantedexetintégrable
surRparhypothèse.FestdoncC1surReton peutdériversouslesigneR.
sitf(t)estintégrablesurR,F2C1(R;C)etF0=¡2i¼T(t¡>tf(t))
Defaçon plusgénéralesi lafonctiont¡>tkf(t)estintégrablesurR,alorspourtoutp<klafonction
t¡>tpf(t)estintégrablesurR¡carjtpf(t)j¿+1¯¯tkf(t)¯¯¢.Doncladérivée @pÁ
@xp=(¡2i¼)pe¡2i¼xt(tpf(t))
estdominée parjtpf(t)jcontinue,intégrablesurRindépendantedex.donc
F2Ck(R;C)et(T(f))(k)=(¡2i¼)kT(t¡>tkf(t))
Remarquel’exempledelaquestion3)montre quelerésultatpeut-êtrefauxsionretirel’hypothèsed’intégrabilité.
DanscetexempleFn’estpasdérivable en0.Maistf(t)n’estpasintégrablesurR.
4b)Sif0estintégrablesurRf(t)=f(0)+Rt
0f0admetunelimite…nie en+1eten¡1.Sicettelimite est
non nullealorsfestéquivalenteàsalimite etn’estdoncpasintégrablesurR.
(fetf0intégrables surR))(lim§1(f)=0)
Ona alorsT(f0)=RRe¡2i¼xtf0(t)dtquel’onvaintégrerparpartie en posantu(t)=f(t)etv(t)=e¡2i¼xt.
LesfonctionsuetvsontbienC1surR.u0v=e¡2i¼xtf0(t)estintégrablesurR,uv0=(¡2i¼x)e¡2i¼xtf(t)est
intégrablesurRcarproportionnelàlatransformée deFourierdelafonctionintégrablef.En…n juvj=jfja
unelimitenullequand ttend vers§1.Enintégrantsurun segmenteten passantàlalimite commeau3a)
ona:T(f0)=2i¼xT(f)
Par récurrence ona alors:
¡8p·k;f(k)intégrablesurR¢)³T(f(k))=(2i¼x)kT(f)´
5)Lafonctionf(t)=e¡¼t2estcontinuesurR,f,tf(t)etf0=¡2¼te¡¼t2sontnégligeablesen§1devante¡jtj
intégrablesurR.On peutdoncappliquerlesrésultatsdu 4a)etdu 4b):
5a)Onalarelationf0(t)=¡2¼tf(t)doncparlinéaritédelatransformée deFourier:T(f0)=¡2¼T(t¡>tf(t)):
Maisd’aprèslaquestion précédenteT(f0)=2i¼xT(f).DoncixT(f)=T(t¡>tf(t)) .Ona aussimontrer
que(T(f))0=¡2i¼T(t¡>tf(t)) donc:¡2¼xT(f)=(T(f))0
5b)Commele coe¢cientde(T(f))0est toujoursnon nulon peutintégrerl’équationsurR.
9K2R;8x2R,T(f)(x)=Ke¡¼x2
3

OrF(0)=RRe¡¼t2dt=RRe¡(p¼t)2dt=1
p¼RRe¡v2dvparchangementdevariablea¢nev=p¼t.Parparité
delafonctiononadonc:F(0)=2RR+e¡v2dv=1.
F(x)=e¡¼x2
Danslesdeuxexemplesonpartd’unefonctionfréellepourtrouverunefonctionFréelle.Cen’estpastoujours
le cas.C’estune conséquence dufaitquelesdeuxfonctionsfprisesenexemplesontpaires.
6)Toutelaquestionapourbutd’étudierlalimite en+1.Onsupposeradoncx>0sanschercheràtraiter
le casparticulierx=0.
6a)Ona:ZA
¡A
e¡2i¼xtÁ(t)dt=
p¡1
X
k=0Zak+1
ak
e¡2i¼xtÁkdt=
p¡1
X
k=0·e¡2i¼xt
¡2i¼x¸ak+1
ak
Ák
chaquetermedelasommetend vers0quand xtend vers+1.Donclimx!+1³RA
¡Ae¡2i¼xtÁ(t)dt´=0.
6bfauxLeraisonnementquisuitestfauxcarAn’estpasindépendantdex
CommelafonctionestintégrableonsaitquelimA!+1³RA
¡Ae¡2i¼xtf(t)dt´=RRe¡2i¼xtf(t)dt=F(t).Donc
enécrivantlalimiteavec desquanti…cateurs:
8x>0;8">0;9Ax;";A¸Ax;")¯¯¯¯¯F(x)¡ZA
¡A
e¡2i¼xtf(t)dt¯¯¯¯¯·"
6bjuste: il fautmajorerpardesquantitésindépendantesdex:
¯¯¯¯¯F(x)¡ZA
¡A
e¡2i¼xtf(t)dt¯¯¯¯¯=¯¯¯¯¯Z+1
A
e¡2i¼xtf(t)dt+Z¡A
¡1
e¡2i¼xtf(t)dt¯¯¯¯¯·Z+1
Ajf(t)jdt+Z¡A ¡1jf(t)jdt
=ZRjf(t)jdt¡ZA
¡Ajf(t)jdt
L’intégrabilitédejfjsurRpermetalorsde conclurelim³RRjf(t)jdt¡RA
¡Ajf(t)jdt´=0donc:
8">0;9A";A¸")³8x>0;¯¯¯F(x)¡RA
¡Ae¡2i¼xtf(t)dt¯¯¯·"´
6c)Ona admisdansle coursquetoutefonctioncontinuesurun segmentyestlimiteuniformedefonctionsen
escalier.Donc9(Án)n2Nunesuitedefonctionsenescaliertellequelim³sup[¡A;A](jf¡Ánj)´=0.Donc
8®>0;9N;n¸N)sup
[¡A;A]
(jf¡Ánj)·®
En prenant®="
2ApuisÁ=ÁNonaunesolution du problème.
6d)ResteàmajorerjF(x)jpourx>0en partantdef(x)=f(x)¡Á(x)+Á(x)et
jF(x)j·¯¯¯¯¯F(x)¡ZA
¡A
e¡2i¼xtf(t)dt¯¯¯¯¯+¯¯¯¯¯ZA
¡A
(f(t)¡Á(t)) e¡2i¼xtdt¯¯¯¯¯+¯¯¯¯¯ZA
¡A
Á(t)e¡2i¼xtdt¯¯¯¯¯
Onse…xeun ">0.Laquestion6b)nousdonneun Aquinedépend quede"et telque
¯¯¯¯¯F(x)¡ZA
¡A
e¡2i¼xtf(t)dt¯¯¯¯¯·":
Laquestion6c)nousdonneunefonctionÁenescaliersur[¡A;A]etquidépend deAetde"(doncseulement
de")et tellequesup[¡A;A](jf¡Ánj)·"
2A.Ona alors
¯¯¯¯¯ZA
¡A
(f(t)¡Á(t)) e¡2i¼xtdt¯¯¯¯¯·ZA
¡A¯¯(f(t)¡Á(t)) e¡2i¼xt¯¯dt·ZA ¡Ajf(t)¡Á(t)jdt="
Laquestion6a)nousdonnealorsun Xquidépend deAetdeÁ(doncuniquementde") telque
8x¸X,¯¯¯¯¯ZA
¡A
Á(t)e¡2i¼xtdt¯¯¯¯¯·"
Sionréunitlestrois:
8">0;9X;(x¸X)jF(x)j·3")
lim+1(F)=0
Onaexactementdelamêmefaçonlim¡1(F)=0
4