DS6 le 15 janvier 2016 : Calculatrices autorisées. EXERCICE 1 On

DS6 le 15 janvier 2016 : Calculatrices autorisées.
EXERCICE 1
On note I=]0;+1[:On définit pour tout entier naturel nnon nul et pour x2I; fn(x) = enx 2e2nx
1. Justifier que pour tout entier naturel nnon nul les fonctions fnsont intégrables sur Iet calculer Z+1
0
fn(x)dx:
Que vaut alors la somme P+1
n=1(Z+1
0
fn(x))dx?
(a) Démontrer que la série de fonctions (Pfn)n>1converge simplement sur I:
On note Sla fonction somme . Déterminer une expression de S(x)à l’aide des fonctions usuelles.
(b) Démontrer que la fonction Sest intégrable sur I: Que vaut alors et calculer Z+1
0
(P+1
n=1 fn(x))dx?
2. Donner sans aucun autre calcul la nature de la série P+1
n=1(Z+1
0jfn(x)j)dx
EXERCICE 2
1. On considère la fonction fdéfinie sur ]0;1[ par :8t2]0;1[; f(t) = t1
ln t:Démontrer que fest bornée sur ]0;1[
2. On pose pour tout x > 1; F (x) = Z1
0
f(t):txdt
(a) Montrer que Fest définie sur ]1;+1[
(b) Calculer limx!+1F(x)
(c) Montrer que Fest de classe C1sur tout intervalle [a; b]]1;+1[et exprimer F0(x)
(d) En déduire une expression de F(x)à l’aide des fonctions usuelles, puis la valeur de F(0)
3. On se propose de retrouver F(0) = Z1
0
t1
ln tdt d’une autre manière.
Pour cela on considère la fonction Gdéfinie pour x2]0;1[ par G(x) = Zx
0
t1
ln tdt
(a) Montrer que
8x2]0;1[; G(x) = Zx
0
t
ln tdt Zx
0
1
ln tdt =Zx2
x
1
ln tdt
on procédera à un changement de variable judicieux dans Zx
0
t
ln tdt
(b) Montrer que la fonction t!1
ln t1 t1est prolongeable par continuité au point t= 1
(c) En déduire que lim
x!1G(x) = lim x!1Zx2
x
1
t1dt; puis la valeur de F(0)
1

EXERCICE 3
Soit  > 0un réel fixé. Pour nentier naturel non nul, on considère l’application fnde [0;+1[vers Rdéfinie par
fn(x) = x
n(1 + nx2)
1. Etude des différents modes de convergence de la série de fonctions (Pfn)
(a) Montrer que la série de fonctions (Pfn)converge simplement sur [0;+1[:
(b) Démontrer que la série de fonctions (Pfn)converge normalement sur [0;+1[si et seulement si  > 1
2
(c) Soient aun réel strictement positif
Démontrer que pour tout réel  > 0;la série de fonctions (Pfn)converge normalement sur [a; +1[
2. Dans cette question =1
2:Pour x2[0;+1[;on pose pour tout entier naturel n>0;
Rn(x) =
+1
X
k=n+1
fk(x)
(a) Pour tout réel x > 0et tout entier n0;établir l’inégalité
Z+1
n+1
x
pu(1 + ux2)du 6Rn(x)(1)
(b) Pour tout entier n0et tout réel x > 0;établir l’égalité :
Z+1
n+1
x
pu(1 + ux2)du = 2 arctan( 1 pn+ 1x)
On procédera à un changement de variable.
(c) En déduire que la série de fonctions (Pfn)ne converge pas uniformément sur [0;+1[:
PROBLEME
AUTOUR DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
On note Il’intervalle de R:I= [0;+1[: C0(I)désigne l’espace vectoriel des fonctions définies et continues sur
[0;+1[à valeurs dans C. > 0étant un réel donné, on note El’ensemble des fonctions f2C0(I)telles que la
fonction g:t!g(t) = f(t)et soit intégrable sur I: La notation f(k)désigne la dérivée d’ordre kde f:
On se propose d’étudier la fonction T(f)qui à un nombre réel xassocie, lorsque cette intégrale a un sens,
T(f)(x) = Z+1
0
eitxf(t)dt
On notera pour tout entier naturel n,Mn(f) = R+1
0tnf(t)dt lorsque ces intégrales ont un sens.
Dans toutes les questions qui suivent,  > 0est fixé et fun élément de E, donc t7! f(t)et est intégrable sur I= [0;+1[
1. Etude de Mn(f):
On posera dans cette question =R+1
0jf(t)jetdt et g(t) = f(t)et :la fonction gest donc intégrable sur I:
(a) Soit n2N:Etudier les variations sur [0;+1[de la fonction t!tnet;et donner son maximum.
(b) En remarquant que tnf(t) = tnetg(t);prouver que pour tout n2N, la fonction t!tnf(t)est
intégrable sur I, et montrer que
jMn(f)j6(n
)nen
Pour la suite du problème , on notera donc que la fonction fest intégrable sur I:c’est le cas n= 0:
2

2. Continuité et dérivabilité de la fonction T(f)
Dans cette question on étudie quelques propriétés de la fonction x!T(f)(x)
(a) Montrer que l’on peut définir T(f)(x)pour tout réel xet que l’application T(f)ainsi définie est continue
sur Ret bornée.
(b) Montrer que la fonction T(f)est de classe C1sur Ret que 8x2R;[T(f)]0(x) = R+1
0iteitxf(t)dt
(c) Montrer que T(f)est de classe C1sur Ret prouver que pour tout entier p>0
[T(f)](p)(x) = Z+1
0
eitx(it)pf(t)dt et [T(f)](p)(0) = ipMp(f)
3. Développement en série de T(f)(x)
On se propose dans cette question de prouver que pour tout réel x2[; ];
T(f)(x) =
+1
X
n=0
inMn(f)
n!xn
(a) Démontrer que la série P+1
n=0 inMn(f)
n!xnconverge lorsque jxj<  :on utilisera le 1:b ainsi qu’un
équivalent de n!donné par la formule de Stirling
(b) Expliciter la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à la fonction x7! T(f)(x)entre 0et xà
l’ordre n.
(c) En déduire à l’aide de l’inégalité de Taylor que la somme de la série P+1
n=0 inMn(f)
n!xnest égale à T(f)(x)
pour x2[; ].
Indication: on majorera T(f)(n+1)(t)pour t2[0; x]ou [x; 0], et on utilisera le 1:c ainsi qu’un équivalent
de (n+ 1)!:
4. Limite en 1 de T(f)dans un cas particulier.
fappartient toujours à E;et on suppose de plus que fest de classe C1sur Iet que f0appartient à E.
On peut donc considérer la fonction T(f0)(x) = R+1
0eitxf0(t)dt
(a) Puisque fet f0appartiennent à E; f et f0sont intégrables sur [0;+1[d’après la question 1a):
En remarquant que f(t) = f(0) + Rt
0f0(u)du; prouver que fadmet une limite len +1:
Prouver alors que l= lim
t!+1f(t)=0
(b) Prouver que pour tout réel x T (f0)(x) = f(0) ixT (f)(x)
(c) On rappelle que T(f0)est bornée sur R(Cf 2a)Montrer que T(f)admet pour limite 0en +1et en 1:
5. Etude d’un exemple.
Dans cette question , f(t) = et2:
(a) Déterminer l’ensemble des valeurs de  > 0telles que f2E
(i) Montrer que 8n2N; M2n(f) = 1
2(n+1 2)ou est la fonction d’Euler
(ii) En déduire que M2n(f) = ( 1
2nQn1
k=0 (k+1
2))(1 2)
(iii) On admet que R+1
0et2dt =p
2:En déduire la valeur de (1
2)puis l’expression de M2n(f)à l’aide
de factorielles.
Déduire de ces calculs , et du développement en série de T f(x), que
Z+1
0
cos(tx)et2 dt =p
2ex2
4
Fin de l’énoncé
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