DS6 le 15 janvier 2016 : Calculatrices autorisées. EXERCICE 1 On

DS6 le 15 janvier 2016 : Calculatrices autorisées.
EXERCICE 1
On note I =]0; +1[: On définit pour tout entier naturel n non nul et pour x 2 I; fn (x) = e
nx
Z
2e
2nx
+1
fn (x)dx:
1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul les fonctions fn sont intégrables sur I et calculer
0
Z +1
P+1
Que vaut alors la somme n=1 (
fn (x))dx?
0
P
(a) Démontrer que la série de fonctions ( fn )n>1 converge simplement sur I:
On note S la fonction somme . Déterminer une expression de S(x) à l’aide des fonctions usuelles.
Z +1
P+1
(b) Démontrer que la fonction S est intégrable sur I: Que vaut alors et calculer
( n=1 fn (x))dx?
0
2. Donner sans aucun autre calcul la nature de la série
P+1
n=1 (
Z
+1
jfn (x)j)dx
0
EXERCICE 2
t
1. On considère la fonction f définie sur ]0; 1[ par : 8t 2]0; 1[; f (t) =
2. On pose pour tout x >
1; F (x) =
Z
1
: Démontrer que f est bornée sur ]0; 1[
ln t
1
f (t):tx dt
0
(a) Montrer que F est définie sur ]
1; +1[
(b) Calculer limx!+1 F (x)
(c) Montrer que F est de classe C 1 sur tout intervalle [a; b]
]
1; +1[ et exprimer F 0 (x)
(d) En déduire une expression de F (x) à l’aide des fonctions usuelles, puis la valeur de F (0)
Z 1
t 1
3. On se propose de retrouver F (0) =
dt d’une autre manière.
0 ln t
Z x
t 1
Pour cela on considère la fonction G définie pour x 2]0; 1[ par G(x) =
dt
0 ln t
(a) Montrer que
8x 2]0; 1[; G(x) =
Z
x
0
t
dt
ln t
Z
0
x
1
dt =
ln t
on procédera à un changement de variable judicieux dans
Z
0
1
(b) Montrer que la fonction t !
ln t
(c) En déduire que lim G(x) = lim
x!1
x!1
1
t
Z
1
x2
x
x2
x
1
dt
ln t
t
dt
ln t
est prolongeable par continuité au point t = 1
1
t
x
Z
1
dt; puis la valeur de F (0)
1
EXERCICE 3
> 0 un réel fixé. Pour n entier naturel non nul, on considère l’application fn de [0; +1[ vers R définie par
x
fn (x) =
n (1 + nx2 )
P
1. Etude des différents modes de convergence de la série de fonctions ( fn )
P
(a) Montrer que la série de fonctions ( fn ) converge simplement sur [0; +1[:
P
(b) Démontrer que la série de fonctions ( fn ) converge normalement sur [0; +1[ si et seulement si > 21
Soit
(c) Soient a un réel strictement positif
P
Démontrer que pour tout réel > 0; la série de fonctions ( fn ) converge normalement sur [a; +1[
2. Dans cette question = 21 : Pour x 2 [0; +1[; on pose pour tout entier naturel n>0;
+1
X
Rn (x) =
fk (x)
k=n+1
(a) Pour tout réel x > 0 et tout entier n 0; établir l’inégalité
Z +1
x
p
du 6 Rn (x)
u(1 + ux2 )
n+1
(b) Pour tout entier n
(1)
0 et tout réel x > 0;établir l’égalité :
Z +1
1
x
p
du = 2 arctan( p
)
2
u(1 + ux )
n + 1x
n+1
On procédera à un changement de variable.
P
(c) En déduire que la série de fonctions ( fn ) ne converge pas uniformément sur [0; +1[:
PROBLEME
AUTOUR DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
On note I l’intervalle de R: I = [0; +1[: C 0 (I) désigne l’espace vectoriel des fonctions définies et continues sur
[0; +1[ à valeurs dans C. > 0 étant un réel donné, on note E l’ensemble des fonctions f 2 C 0 (I) telles que la
fonction g : t ! g(t) = f (t)e t soit intégrable sur I: La notation f (k) désigne la dérivée d’ordre k de f:
On se propose d’étudier la fonction T (f ) qui à un nombre réel x associe, lorsque cette intégrale a un sens,
Z +1
T (f )(x) =
eitx f (t)dt
R +1 0
On notera pour tout entier naturel n , Mn (f ) = 0 tn f (t)dt lorsque ces intégrales ont un sens.
> 0 est fixé et f un élément de E , donc t 7! f (t)e
Dans toutes les questions qui suivent,
1. Etude de Mn (f ):
On posera dans cette question
=
R +1
0
jf (t)j e t dt et g(t) = f (t)e
t
n
(b) En remarquant que t f (t) = t e
intégrable sur I, et montrer que
t
est intégrable sur I = [0; +1[
: la fonction g est donc intégrable sur I:
(a) Soit n 2 N: Etudier les variations sur [0; +1[ de la fonction t ! tn e
n
t
t
; et donner son maximum.
g(t); prouver que pour tout n 2 N , la fonction t ! tn f (t) est
n
jMn (f )j 6 ( )n e
n
Pour la suite du problème , on notera donc que la fonction f est intégrable sur I : c’est le cas n = 0:
2
2. Continuité et dérivabilité de la fonction T (f )
Dans cette question on étudie quelques propriétés de la fonction x ! T (f )(x)
(a) Montrer que l’on peut définir T (f )(x) pour tout réel x et que l’application T (f ) ainsi définie est continue
sur R et bornée.
R +1
(b) Montrer que la fonction T (f ) est de classe C 1 sur R et que 8x 2 R; [T (f )]0 (x) = 0 iteitx f (t)dt
(c) Montrer que T (f ) est de classe C 1 sur R et prouver que pour tout entier p > 0
Z +1
eitx (it)p f (t)dt et [T (f )](p) (0) = ip Mp (f )
[T (f )](p) (x) =
0
3. Développement en série de T (f )(x)
On se propose dans cette question de prouver que pour tout réel x 2 [
+1
X
Mn (f ) n
T (f )(x) =
in
x
n!
n=0
P+1
(a) Démontrer que la série n=0 in Mnn!(f ) xn converge lorsque jxj <
équivalent de n! donné par la formule de Stirling
; ];
: on utilisera le 1:b ainsi qu’un
(b) Expliciter la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à la fonction x 7! T (f )(x) entre 0 et x à
l’ordre n .
P+1
(c) En déduire à l’aide de l’inégalité de Taylor que la somme de la série n=0 in Mnn!(f ) xn est égale à T (f )(x)
pour x 2 [ ; ].
Indication: on majorera T (f )(n+1) (t) pour t 2 [0; x] ou [x; 0], et on utilisera le 1:c ainsi qu’un équivalent
de (n + 1)!:
4. Limite en
1 de T (f ) dans un cas particulier.
f appartient toujours à E ; et on suppose de plus que f est de classe C 1 sur I et que f 0 appartient à E .
R +1
On peut donc considérer la fonction T (f 0 )(x) = 0 eitx f 0 (t)dt
(a) Puisque f et f 0 appartiennent à E ; f et f 0 sont intégrables sur [0; +1[ d’après la question 1 a):
Rt
En remarquant que f (t) = f (0) + 0 f 0 (u)du; prouver que f admet une limite l en +1:
Prouver alors que l = lim f (t) = 0
t!+1
(b) Prouver que pour tout réel x
T (f 0 )(x) =
f (0)
ixT (f )(x)
(c) On rappelle que T (f 0 ) est bornée sur R (Cf 2 a) Montrer que T (f ) admet pour limite 0 en +1 et en
1:
5. Etude d’un exemple.
Dans cette question , f (t) = e
t2
:
(a) Déterminer l’ensemble des valeurs de > 0 telles que f 2 E
(i) Montrer que 8n 2 N; M2n (f ) = 21 (n + 12 ) ou est la fonction d’Euler
Qn 1
(ii) En déduire que M2n (f ) = ( 21n k=0 (k + 12 )) ( 12 )
p
R +1
2
: En déduire la valeur de ( 12 ) puis l’expression de M2n (f ) à l’aide
(iii) On admet que 0 e t dt =
2
de factorielles.
Déduire de ces calculs , et du développement en série de T f (x) , que
p
Z +1
x2
t2
cos(tx)e dt =
e 4
2
0
Fin de l’énoncé
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