2012_2013_S1

NOM:................................. – PRENOM: ................................. – Date: ........................
Classe: ......... – Section:................
Évaluation de Mathématiques
Thème:
Raisonnement & Probabilités,
Nombres complexes, Équations différentielles
Durée: 2H
Documents autorisés: Calculatrice uniquement.
Tous les exercices peuvent être traités de manière indépendante.
(Le sujet contient 6 pages à rendre avec la copie)
Notes à l'attention des candidats:
La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
Les détails de calculs doivent clairement apparaître sur la copie.
M. Basnary S.
ISIP – Évaluation UE
Page n°1/6
EXERCICE n°1: (4 points) Probabilités et/ou dénombrements
On dispose de trois casiers C1, C2 et C3 pour ranger trois emballages E1, E2 et E3. Chaque casier
est assez grand pour contenir les trois emballages en même temps.
On range l'un après l'autre et au hasard les trois emballages dans les casiers.
Tous les rangements sont équiprobables.
On justifiera les réponses à l'aide d'un arbre de probabilités ou bien à l'aide d'un calcul de
dénombrements.
1. Quelle est la probabilité d'avoir rangé les trois emballages dans un même casier ?
2. Quelle est la probabilité d'avoir rangé un et un seul emballage par casier ?
3. Déduire des questions précédentes la probabilité qu'un des casiers contienne deux emballages.
M. Basnary S.
ISIP – Évaluation UE
Page n°2/6
EXERCICE n°2: (5 points) Nombres complexes (Adapté de BTS Industries Graphiques – Session
1997)
Dans l'ensemble des nombres complexes ℂ (pour lequel i 2 = – 1), on considère le polynôme :
3
1
2
P  z  = z − i ×z i
2
2
1. Solution(s) de P ( z ) = 0.
a) Déterminer l'expression développée de δ = ( ½ – i ) 2.
b) Soit Δ le discriminant de l'équation P ( z ) = 0. Montrer que Δ = δ.
c) Résoudre alors dans ℂ l'équation P ( z ) = 0.
2. On appelle z1 et z2 les deux solutions de cette équation (z2 étant la solution complexe). On appelle
M1 et M2 les points images des nombres complexes z1 et z2 dans un repère orthonormal
O , u , v  .
a) Déterminer les valeurs exactes des modules des deux nombres complexes z2 et z2 – z1.
En déduire la valeur exacte et arrondie à 10 – 2 près du périmètre p du triangle O M1 M2 .
z 2−z 1
.
z2
En déduire la valeur exacte de son argument puis la valeur approchée de son argument en
radian arrondie à 10 – 2 près et en degré arrondie à 10 – 1 près.
Donner sans justifier l'angle du triangle O M1 M2 qui correspond à cette valeur.
b) Déterminer l'écriture algébrique du nombre complexe
M. Basnary S.
ISIP – Évaluation UE
Page n°3/6
EXERCICE n°3: (5 points) Équation différentielle du 1er ordre (Extrait de BTS Communication et
industries graphiques – Session 2012)
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Le thermomètre de Galilée est composé d'un cylindre en verre clos
rempli d'un liquide dans lequel on a placé des petites boules de même
volume et de masses différentes. Lorsque la température du liquide varie,
les boules vont monter ou descendre, indiquant ainsi la température
ambiante.
Partie A. Résolution d'une équation différentielle
Lors de la construction d'un tel thermomètre, l'étude de la chute d'une boule dans un fluide
conduit à l'équation différentielle :
(E) : y' + ½ y = 13/2
où y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ et où y' est la
fonction dérivée de y.
1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y' + ½ y = 0.
2. Déterminer le réel k tel que la fonction g, définie sur [ 0 ; + ∞ [ par g(t) = k, soit une solution
particulière de l'équation (E).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la fonction f, définie sur [ 0 ; + ∞ [, solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie
la condition f (0) = 0.
Partie B. Calcul intégral
On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f (t) = 13 × ( 1 – e – ½ t ).
On admet que la vitesse de chute de la boule à l'instant t est égale à f (t). La vitesse est exprimée
en mm/s et le temps est donné en secondes.
1. Déterminer par le calcul à partir de quel instant la vitesse de chute de la boule dépasse 10 mm/s.
On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au centième de seconde.
2. Calculer la vitesse moyenne Vm de chute de la boule entre les instants t = 2 et t = 4.
On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée à 0,01 près.
1 4
On rappelle que V m = ∫2 f t  dt
2
Donnée(s) : Pour l'EXERCICE n°3 et l'EXERCICE n°4. (Extrait du formulaire de BTS)
M. Basnary S.
ISIP – Évaluation UE
Page n°4/6
EXERCICE n°4: (6 points) Équation différentielle du 2nd ordre (Extrait de BTS Conception de
produits industriels – Session 2012)
La suspension d'une automobile est assurée par des systèmes indépendants formés chacun d'un
ressort hélicoïdal et d'un amortisseur à piston à huile montés entre l'arbre de roue et le châssis.
Liaison châssis
Ressort
hélicoïdal
Amortisseur
Châssis
Châssis
Axe roue
Garde au sol
Sol
Lors d'un essai dynamique à vide, le châssis est abaissé puis libéré sans vitesse initiale.
Sous les conditions initiales de l'essai, la hauteur du châssis par rapport au sol, appelée garde au
sol, est modélisée par la fonction f de la variable t, définie sur [ 0 ; + ∞ [ dont la courbe
représentative Cf est donnée en Annexe. La distance du châssis au sol est donnée en millimètres, le
temps en secondes.
Pour le confort des passagers, on souhaite choisir un amortisseur permettant un retour à la
position d'équilibre le plus bref possible sans oscillation. On sélectionne un amortisseur dont la
distance y(t) du châssis par rapport au sol exprimée en millimètres, vérifie l'équation différentielle :
(F) : y'' + 40 y' + 400 y = 100 000.
où y est une fonction de la variable t, définie et deux fois dérivable sur [ 0 ; + ∞ [, y' sa fonction
dérivée et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. Donner les solutions de l'équation différentielle sans second membre :
(F0) : y'' + 40 y' + 400 y = 0.
2. Déterminer le nombre réel c tel que la fonction g définie sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ par g(t) = c soit
une solution particulière de l'équation différentielle (F).
3. En déduire l'ensemble des solutions de (F).
4. Déterminer la solution h de F vérifiant les conditions initiales h (0) = 100 et h ' (0) = 0.
5. On considère la fonction h définie sur [ 0 ; + ∞ [ par h (t) = ( – 3000 t – 150 ) e – 20 t + 250.
a) Donner l'expression et étudier le signe sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ de h ', fonction dérivée de h.
b) Compléter sur l'Annexe le tableau de variation de h. Indiquer les limites sans justifier.
6.
a) Compléter le tableau de valeurs de l'Annexe (Les valeurs seront arrondies au dixième).
b) Construire la courbe représentative Γ de h sur le même graphique que Cf sur l'Annexe.
L'objectif est-il atteint ? Justifier votre réponse.
M. Basnary S.
ISIP – Évaluation UE
Page n°5/6
Annexe
EXERCICE n°3: Représentation graphique de la fonction f
Cf
EXERCICE n°3: Question 5.b) Tableau de variation de h
t
0
+∞
h'
+
250
h
0
EXERCICE n°3: Question 6.a) Tableau de valeurs de h
t
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
h(t)
M. Basnary S.
ISIP – Évaluation UE
Page n°6/6