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File : Equa-Diff-Pont-Wien-Genrl-01
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« » « » « » « »
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HERE
« Pont de WIEN » classique, général
Soit le circuit « Pont » de « WIEN » :
REFAIRE ce CIRCUIT dans le cas général : R1 C1 R2 C2 ;
(voir File : Eq-Diff-Genrl-v1-v2-v3-R1-C1-R2-C2)
dans lequel :
(vi (t))1 . H (t) 0 t [ 0 ; + [ ;
« R1 0 » et « C1 0 » ;
« R2 0 » et « C2 0 »
1°) L’équation différentielle du 2ème ordre, linéaire, à coefficients constants,
de ce circuit, a pour expression :
R1 . R2 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) + (R1 . C1 + R2 . C2 + R2 . C1) .
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ vo (t) . H (t) = R2 . C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
:
« vo (t) . H (t) » est le signal-tension entre le point « « P et la masse « M » ;
vo (t)
R
C
P
M
R
C
[vi (t)]1
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« (vi (t))1 . H (t) » est le « signaux-tension » appliqué » sur son entrée ;
Cas particulier
R1 = R2 R ;
C1 = C2 C ;
Alors, on obtient l’équation différentielle :
(R . C)2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) + 3 . R . C .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + vo (t) . H (t) =
= R . C .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
1°) L’équation différentielle du 2ème ordre, linéaire, à coefficients constants,
canonique de ce circuit, a pour expression :
XXXXXXXXXXXX
2°) La solution de équation différentielle, sous forme de la transformée de
LAPLACE, est :
Démonstration
1ère méthode
soit « i1 (t) . H (t) » le courant circulant au travers de la résistance « R1 » et le
condensateur « C1 », entre :
l’entrée « P1 » de ce circuit, où est appliquée « (vi (t))1 . H (t) »;
et le point « P » ;
soit « i2 (t) . H (t) » le courant circulant au travers de la résistance « R2 », entre :
et le point « P » ;
et le point « M » ;
soit « i3 (t) . H (t) » le courant circulant « au travers » du condensateur « C2 »,entre :
et le point « P » ;
et le point « M » ;
On suppose que les conditions initiales sont :
vo (t = 0+) . H (t = 0+) = A ;
dt
d
(vo (t) . H (t))| t = 0+
vo°(t = 0) = B ;
On a suppose que les tensions « (vi (t))1 . H (t) » est telle que l’on a la relation :
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Donc, on a :
(vi (t))1 . H (t) - vo (t) . H (t) = R1 . i1 (t) . H (t) + (1/ C1) .
tt
t
'
0'
i1 (t’) . H (t’) . dt’ ;
vo (t) . H (t) - 0 = R2 . i2 (t) . H (t)
vo (t) . H (t) - 0 = (1/C2) .
tt
t
'
0'
i3 (t’) . H (t’) . dt’ =>
Donc :
R1 . C1 .
dt
d
(i1 (t) . H (t)) + i1 (t) . H (t) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } - C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) ;
i2 (t) . H (t) = (1/ R2) . vo (t) . H (t) ;
i3 (t) . H (t) = C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) ;
Donc, la relation « i1 (t) . H (t) = i2 (t) . H (t) + i3 (t) . H (t) » devient :
i1 (t) . H (t) = (1/ R2) . vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t))
Et donc, la relation
« R1 . C1 .
dt
d
(i1 (t) . H (t)) + i1 (t) . H (t) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } - C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) » devient :
R1 . C1 .
dt
d
{ (1/ R2) . (vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t) } +
+ (1/ R2) . vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } - C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t))
(R1/ R2) . C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + R1 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ (1/ R2) . vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
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R1 . C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + R1 . R2 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ vo (t) . H (t) + R2 . C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + R2 . C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) =
= R2 . C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
R1 . R2 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) + (R1 . C1 + R2 . C2 + R2 . C1) .
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ vo (t) . H (t) = R2 . C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
C.Q..F.D
2ème méthode
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