01-Equa-Diff-Pont-Wien-Genrl

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File : Equa-Diff-Pont-Wien-Genrl-01
 dqsdq
 sdsdq
 qsdqsd
« » « » « » « »   
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HERE
« Pont de WIEN » classique, général
Soit le circuit « Pont » de « WIEN » :
REFAIRE ce CIRCUIT dans le cas général : R1 C1 R2 C2 ;
(voir File : Eq-Diff-Genrl-v1-v2-v3-R1-C1-R2-C2)
dans lequel :
 (vi (t))1 . H (t)  0  t  [ 0 ; +  [ ;
 « R1  0 » et « C1  0 » ;
 « R2  0 » et « C2  0 »
 1°) L’équation différentielle du 2ème ordre, linéaire, à coefficients constants,
de ce circuit, a pour expression :
R1 . R2 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) + (R1 . C1 + R2 . C2 + R2 . C1) .
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ vo (t) . H (t) = R2 . C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
où :
 « vo (t) . H (t) » est le signal-tension entre le point « « P et la masse « M » ;
vo (t)
R
C
P
M
R
C
[vi (t)]1

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 « (vi (t))1 . H (t) » est le « signaux-tension » appliqué » sur son entrée ;
Cas particulier
 R1 = R2  R ;
 C1 = C2  C ;
Alors, on obtient l’équation différentielle :
(R . C)2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) + 3 . R . C .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + vo (t) . H (t) =
= R . C .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
 1°) L’équation différentielle du 2ème ordre, linéaire, à coefficients constants,
canonique de ce circuit, a pour expression :
XXXXXXXXXXXX
 2°) La solution de équation différentielle, sous forme de la transformée de
LAPLACE, est :
Démonstration
 1ère méthode
 soit « i1 (t) . H (t) » le courant circulant au travers de la résistance « R1 » et le
condensateur « C1 », entre :
 l’entrée « P1 » de ce circuit, où est appliquée « (vi (t))1 . H (t) »;
 et le point « P » ;
 soit « i2 (t) . H (t) » le courant circulant au travers de la résistance « R2 », entre :
 et le point « P » ;
 et le point « M » ;
 soit « i3 (t) . H (t) » le courant circulant « au travers » du condensateur « C2 »,entre :
 et le point « P » ;
 et le point « M » ;
On suppose que les conditions initiales sont :
 vo (t = 0+) . H (t = 0+) = A ;
dt
d
(vo (t) . H (t))| t = 0+ vo°(t = 0) = B ;
On a suppose que les tensions « (vi (t))1 . H (t) » est telle que l’on a la relation :

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i1 (t) . H (t) = i2 (t) . H (t) + i3 (t) . H (t)
Donc, on a :
 (vi (t))1 . H (t) - vo (t) . H (t) = R1 . i1 (t) . H (t) + (1/ C1) .
tt
t
'
0'
i1 (t’) . H (t’) . dt’ ;
 vo (t) . H (t) - 0 = R2 . i2 (t) . H (t)
 vo (t) . H (t) - 0 = (1/C2) .
tt
t
'
0'
i3 (t’) . H (t’) . dt’ =>
Donc :
 R1 . C1 .
dt
d
(i1 (t) . H (t)) + i1 (t) . H (t) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } - C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) ;
 i2 (t) . H (t) = (1/ R2) . vo (t) . H (t) ;
 i3 (t) . H (t) = C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) ;
Donc, la relation « i1 (t) . H (t) = i2 (t) . H (t) + i3 (t) . H (t) » devient :
i1 (t) . H (t) = (1/ R2) . vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t))
Et donc, la relation
« R1 . C1 .
dt
d
(i1 (t) . H (t)) + i1 (t) . H (t) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } - C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) » devient :
R1 . C1 .
dt
d
{ (1/ R2) . (vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t) } +
+ (1/ R2) . vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } - C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) 
(R1/ R2) . C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + R1 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ (1/ R2) . vo (t) . H (t) + C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) =
= C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } 

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R1 . C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + R1 . R2 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ vo (t) . H (t) + R2 . C2 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) + R2 . C1 .
dt
d
(vo (t) . H (t)) =
= R2 . C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) } 
R1 . R2 . C1 . C2 .
2
2
dt
d
(vo (t) . H (t)) + (R1 . C1 + R2 . C2 + R2 . C1) .
dt
d
(vo (t) . H (t)) +
+ vo (t) . H (t) = R2 . C1 .
dt
d
{ (vi (t))1 . H (t) }
C.Q..F.D
 2ème méthode
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HERE