Equations différentielles linéaires ( scalaires) d`ordre 2

Equations différentielles linéaires ( scalaires) d’ordre 2
N
¯otations
Idésigne un intervalle non trivial de Ret Kdésigne Rou C.
Défintion
Soit a,bet cdes applications continues de Ivers K. Résoudre l’équation différentielle y00 +ay0+by =c(
souvent notée abusivement y00 +a(x)y0+b(x)y=c(x)), c’est déterminer les applications ydérivables de Idans
Ket vérifiant y00 +ay0+by =cc’est à dire : ∀x∈I, y00 (x) + a(x)y0(x) + b(x)y=c(x)
Remarque
Si yest une solution de y00 +ay0+by =c, on a y00 =−ay0−by +cet donc par opérations sur les fonctions
continues y00 est continue. Finalement toute solution est de classe C2.
Mise en place théorique
Notons usuellement C2(I, K)et C0(I, K)les K-espaces vectoriels des applications C2et des applications C0de
Ivers K. L’ application θsuivante est linéaire :
C2(I, K)−→ C0(I, K)
y7→ y00 +ay0+by
L’équation y00 +ay0+by =cest donc une équation linéaire ( θ(y) = c), on l’appelle équation différentielle
linéaire scalaire ( car les fonctions sont numériques ) du second ordre. Comme toutes les équations linéaires, on
obtient toutes les solutions en ajoutant à une solution particulière ( si elle existe, sinon il n’y a pas de solutions),
tous les éléments du noyau donc toutes les solutions de y00 +ay0+by = 0.
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (Admis)
Si a,bet cson des applications continues de Idans K, si x0est un élément de Iet (y0, z0)un élément de
K2, alors le système 
y00 +ay0+by =c
y(x0) = y0
y0(x0) = z0
a une et une seule solution. Cette solution est appelée solution du
problème de Cauchy en (x0,(y0, z0)pour l’équation différentielle y00 +ay0+by =c.
Dimension de Ker θ
blabla
Wronskien
blabla
Méthode de variations des constantes
exemple
Un cas particulier
On connaît un élément qui ne s’annule pas de Ker θ.
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