Equations différentielles linéaires ( scalaires) d’ordre 2 Notations I¯ désigne un intervalle non trivial de R et K désigne R ou C. Défintion Soit a, b et c des applications continues de I vers K. Résoudre l’équation différentielle y 00 + ay 0 + by = c ( souvent notée abusivement y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = c(x) ), c’est déterminer les applications y dérivables de I dans K et vérifiant y 00 + ay 0 + by = c c’est à dire : ∀x ∈ I, y 00 (x) + a(x)y 0 (x) + b(x)y = c(x) Remarque Si y est une solution de y 00 + ay 0 + by = c, on a y 00 = −ay 0 − by + c et donc par opérations sur les fonctions continues y 00 est continue. Finalement toute solution est de classe C 2 . Mise en place théorique Notons usuellement C 2 (I, K) et C 0 (I, K) les K-espaces vectoriels des applications C 2 et des applications C 0 de I vers K. L’ application θ suivante est linéaire : C 2 (I, K) −→ y 7→ C 0 (I, K) y + ay 0 + by 00 L’équation y 00 + ay 0 + by = c est donc une équation linéaire ( θ(y) = c), on l’appelle équation différentielle linéaire scalaire ( car les fonctions sont numériques ) du second ordre. Comme toutes les équations linéaires, on obtient toutes les solutions en ajoutant à une solution particulière ( si elle existe, sinon il n’y a pas de solutions), tous les éléments du noyau donc toutes les solutions de y 00 + ay 0 + by = 0. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (Admis) Si a, b et c son des applications continues de I dans K, si x0 est un élément de I et (y0 , z0 ) un élément de 00 0 y + ay + by = c K2 , alors le système y(x0 ) = y0 a une et une seule solution. Cette solution est appelée solution du 0 y (x0 ) = z0 problème de Cauchy en (x0 , (y0 , z0 ) pour l’équation différentielle y 00 + ay 0 + by = c. Dimension de Ker θ blabla Wronskien blabla Méthode de variations des constantes exemple Un cas particulier On connaît un élément qui ne s’annule pas de Ker θ. 1