Feuille d`exercices 3 : Théorème de l`énergie cinétique

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
U.F.R. de Mathématique Pures et Appliquées
Département de Mécanique
Feuille d’exercices 3 : Théorème de l’énergie cinétique
Suite du TD N˚4
Q1) En utilisant le théorème de la puissance cinétique, déterminer une équation différentielle vérifiée par
le déplacement x.
Q2) Montrer que l’équation obtenue est identique à l’équation obtenue en utilisant le PFD.
Q3) Résoudre entièrement (solution homogène, solution particulière), l’équation différentielle :
¨x+ω0
Q˙x+ω2
ox=F
mcos(ωt)
en utilisant les méthodes du cours. Montrer que la solution homogène correspond au produit d’une exponen-
tielle décroissante et d’une fonction harmonique et tracer l’allure de la courbe xH(t).
Mouvement d’un véhicule à moteur
Un véhicule de masse m (assimilable à un point matériel M) est en mouvement sur une route rectiligne
et horizontale sous l’action d’un moteur lui permettant d’avancer : la forme ~ Fmexercée par le sol sur le
véhicule est supposée constante. La force aérodynamique s’opposant au mouvement est, en module, égale à
Fr=CTm V (M/Rt)2(CTest une constante positive et V(M/Rt)la vitesse du véhicule) et de sens opposé
au vecteur vitesse. A l’instant tla position du véhicule est repérée par x(t); à l’instant initial où il démarre
(c’est à dire à l’instant où la force ~ Fmlui est appliquée) le véhicule est en x= 0 sans vitesse. Le référentiel
terrestre Rtsera supposé Galiléen.
Q4) Déterminer la vitesse limite uF
lim atteinte par le véhicule en fonction de CT,met Fm(en admettant
son existence).
Q5) Déterminer l’expression de la vitesse V(M/Rt)en fonction de uF
lim,CTet x.
Q6 ) Calculer pour une distance xparcourue :
1. le travail fourni par la forme motrice Wm
2. le travail fourni par la force résistance Wr
3. la limite quand xtends vers l’infini de W∞=Wm+Wr
4. la variation d’énergie cinétique ∆Ecdu véhicule entre t= 0 et t=∞
Comparer ∆Ecet W∞. Commenter.
Q7) Le moteur n’exerce plus une force constante mais fournit une puissance constante Pm.
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1. Montrer que V(M/Rt)tends vers une vitesse limite uP
lim à déterminer en fonction de CT,Pmet m.
Déterminer l’expression de l’abscisse xen fonction de la vitesse V(M/Rt).
2. Faire l’application numérique pour m= 1 tonne, Pm= 60kW et CT= 10−3SI.
Mouvement d’une perle sur une hélice
On enfile des perles sur un fil métallique matérialisant une hélice d’axe vertical descenfant (Oz) d’équa-
tion x=Rcos θ,y=Rsin θ,x=Rθ, avec 0< θ < θmax. La perle P, de masse mest lâchée sans vitesse
initiale depuis un point Acorrespondant à θ=θ0. Le point Bcorrespond à θ < θmax.
Q8) P glisse sans frottements sous l’action de son poids. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par
θ(t). En déduire le temps mis par Ppour atteindre le point Bet sa vitesse quand elle arrive en B.
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