Feuille d`exercices 3 : Théorème de l`énergie cinétique

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
U.F.R. de Mathématique Pures et Appliquées
Département de Mécanique
Feuille d’exercices 3 : Théorème de l’énergie cinétique
Suite du TD N˚4
Q1) En utilisant le théorème de la puissance cinétique, déterminer une équation différentielle vérifiée par
le déplacement x.
Q2) Montrer que l’équation obtenue est identique à l’équation obtenue en utilisant le PFD.
Q3) Résoudre entièrement (solution homogène, solution particulière), l’équation différentielle :
ẍ +
ω0
F
ẋ + ωo2 x =
cos(ωt)
Q
m
en utilisant les méthodes du cours. Montrer que la solution homogène correspond au produit d’une exponentielle décroissante et d’une fonction harmonique et tracer l’allure de la courbe xH (t).
Mouvement d’un véhicule à moteur
Un véhicule de masse m (assimilable à un point matériel M) est en mouvement sur une route rectiligne
et horizontale sous l’action d’un moteur lui permettant d’avancer : la forme F~m exercée par le sol sur le
véhicule est supposée constante. La force aérodynamique s’opposant au mouvement est, en module, égale à
Fr = CT m V (M/Rt )2 (CT est une constante positive et V (M/Rt ) la vitesse du véhicule) et de sens opposé
au vecteur vitesse. A l’instant t la position du véhicule est repérée par x(t) ; à l’instant initial où il démarre
(c’est à dire à l’instant où la force F~m lui est appliquée) le véhicule est en x = 0 sans vitesse. Le référentiel
terrestre Rt sera supposé Galiléen.
Q4) Déterminer la vitesse limite uFlim atteinte par le véhicule en fonction de CT , m et Fm (en admettant
son existence).
Q5) Déterminer l’expression de la vitesse V (M/Rt ) en fonction de uFlim , CT et x.
Q6 ) Calculer pour une distance x parcourue :
1. le travail fourni par la forme motrice Wm
2. le travail fourni par la force résistance Wr
3. la limite quand x tends vers l’infini de W∞ = Wm + Wr
4. la variation d’énergie cinétique ∆Ec du véhicule entre t = 0 et t = ∞
Comparer ∆Ec et W∞ . Commenter.
Q7) Le moteur n’exerce plus une force constante mais fournit une puissance constante Pm .
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1. Montrer que V (M/Rt ) tends vers une vitesse limite uPlim à déterminer en fonction de CT , Pm et m.
Déterminer l’expression de l’abscisse x en fonction de la vitesse V (M/Rt ).
2. Faire l’application numérique pour m = 1 tonne, Pm = 60kW et CT = 10−3 SI.
Mouvement d’une perle sur une hélice
On enfile des perles sur un fil métallique matérialisant une hélice d’axe vertical descenfant (Oz) d’équation x = R cos θ, y = R sin θ, x = Rθ, avec 0 < θ < θmax . La perle P, de masse m est lâchée sans vitesse
initiale depuis un point A correspondant à θ = θ0 . Le point B correspond à θ < θmax .
Q8) P glisse sans frottements sous l’action de son poids. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par
θ(t). En déduire le temps mis par P pour atteindre le point B et sa vitesse quand elle arrive en B.
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