Classe de terminale S Mathématiques Thème abordé : équations

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Classe de terminale S
Mathématiques
Thème abordé : équations différentielles
Exercice 1
1) Résoudre sur l’équation différentielle
()E
:
' 3 6yy
.
2) Déterminer la solution de
()E
telle que
(2) 1f
.
Exercice 2
Soit
()E
l’équation différentielle
'y y x  
et
f
la solution de
()E
sur [0 ;2] telle que
(0) 1f
.
1) En utilisant la méthode d’Euler, écrire un algorithme permettant de déterminer une approximation
de
()fa
avec un pas de
h
fixé lorsque le réel
a
est donné.
2) En appliquant cet algorithme, tracer une approximation de la courbe représentative de la fonction
f
sur [0 ;2] avec un pas de 0,5.
Exercice 3
Soit
()E
l’équation différentielle
'y y x  
.
1) Déterminer deux réels
a
et
b
tels que la fonction
:g x ax b
soit une solution de
()E
.
2) Démontrer que
f
est solution de
()E
si, et seulement si,
fg
est solution de
( '): ' 0E y y
.
3) Résoudre l’équation
( ')E
, puis
()E
.
Exercice 4
On considère l’équation différentielle
()E
:
' 2 ( 3)y y y
.
On cherche les solutions de
()E
qui ne s’annulent pas ; pour cela, on pose
1
zy
.
1) Démontrer que
z
est solution de l’équation
( '): ' 6 2E z z
.
2) Résoudre l’équation
( ')E
, puis
()E
.
3) Déterminer la solution
f
de
()E
telle que
(0) 1f
.
Exercice 5
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1) La fonction
1
:x
x
u x e
x
est solution de l’équation
2
'x
e
yy x
.
2) Si
f
est une fonction positive sur et solution de l’équation différentielle
2
'2 x y y e
, alors
f
est
décroissante sur .
Exercice 6
On désigne par
f
une fonction dérivable sur R et par
'f
sa fonction dérivée.
Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
(1) pour tout nombre réel x,
22
[ '( )] [ ( )] 1f x f x
; (2) f ′(0) = 1 ; (3) la fonction f ′ est dérivable sur .
1) a.Démontrer que, pour tout nombre réel
x
,
'( ) 0fx
.
b. Calculer f (0).
2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :
(4) pour tout nombre réel
x
,
''( ) ( )f x f x
, où
''f
désigne la fonction dérivée seconde de la fonction
f
.
3. On pose :
'u f f
et
'v f f
a. Calculer
(0)u
et
(0)v
.
b. Démontrer que
'uu
et
'vv
.
c. En déduire les fonctions
u
et
v
.
d. En déduire que, pour tout réel
x
,
() 2
xx
ee
fx 