Classe de terminale S Mathématiques Thème abordé : équations différentielles Exercice 1 1) Résoudre sur l’équation différentielle ( E ) : y ' 3 y 6 . 2) Déterminer la solution de ( E ) telle que f (2) 1 . Exercice 2 Soit ( E ) l’équation différentielle y ' y x et f la solution de ( E ) sur [0 ;2] telle que f (0) 1 . 1) En utilisant la méthode d’Euler, écrire un algorithme permettant de déterminer une approximation de f (a) avec un pas de h fixé lorsque le réel a est donné. 2) En appliquant cet algorithme, tracer une approximation de la courbe représentative de la fonction f sur [0 ;2] avec un pas de 0,5. Exercice 3 Soit ( E ) l’équation différentielle y ' y x . 1) Déterminer deux réels a et b tels que la fonction g : x ax b soit une solution de ( E ) . 2) Démontrer que f est solution de ( E ) si, et seulement si, f g est solution de ( E ') : y ' y 0 . 3) Résoudre l’équation ( E ') , puis ( E ) . Exercice 4 On considère l’équation différentielle ( E ) : y ' 2 y( y 3) . On cherche les solutions de ( E ) qui ne s’annulent pas ; pour cela, on pose z 1 . y 1) Démontrer que z est solution de l’équation ( E ') : z ' 6 z 2 . 2) Résoudre l’équation ( E ') , puis ( E ) . 3) Déterminer la solution f de ( E ) telle que f (0) 1 . Exercice 5 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1) La fonction u : x ex x 1 x e est solution de l’équation y y ' 2 . x x 2) Si f est une fonction positive sur décroissante sur . et solution de l’équation différentielle y ' 2 y e 2 x , alors f est Exercice 6 On désigne par f une fonction dérivable sur R et par Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes : f ' sa fonction dérivée. [ f '( x)]2 [ f ( x)]2 1 ; (2) f ′(0) = 1 1) a.Démontrer que, pour tout nombre réel x , f '( x) 0 . (1) pour tout nombre réel x, ; (3) la fonction f ′ est dérivable sur b. Calculer f (0). 2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que : (4) pour tout nombre réel x , f ''( x) f ( x) , où f '' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction 3. On pose : a. Calculer f u f ' f et v f ' f u (0) et v(0) . b. Démontrer que u ' u et v ' v . c. En déduire les fonctions u et v . d. En déduire que, pour tout réel x , f ( x) e x e x 2 CHANNEL PROGRESS – soutien scolaire et préparation aux contrôles Toute reproduction, même partielle, sans autorisation, est strictement interdite. . .