Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

Master Dynamique terrestre et risques naturels
Math´ematiques pour g´eologues
Fonctions trigonom´etriques et fonctions
hyperboliques
1 Rappel de cours
1.1 Fonctions trigonom´etriques
1.1.1 Cercle trigonom´etrique
Soit un point Md´ecrivant un cercle de rayon 1 et de centre O, origine des axes xy. Soit θl’angle
entre l’axe des xet le segment [OM ]. Soit Mxla projection de Msur l’axe des xet Myla projection
de Msur l’axe des y(Fig. 1).
sinθtanθ
O
y
My M
x
M’
M"
Mxθcos
θ
θ−sin
Fig. 1 – Cercle trigonom´etrique
On d´efinit les fonctions cosinus, sinus et tangente, not´ees cos, sin et tan telles que
cos θ= [OMx],sin θ= [OMy] et tan θ= [M′M′′ ].
Les fonctions cos et sin sont donc born´ees entre -1 et 1 et admettent pour p´eriode 2π. Le rayon du
cercle trigonom´etrique ´etant ´egal `a 1 on a donc quel que soit θ
cos2θ+ sin2θ= 1.
De cette relation on en d´eduit que
1
cos2θ= 1 + tan2θet que 1
sin2θ= 1 + cot2θ.
Toujours `a partir du cercle trigonom´etrique (Fig. 1) on peut montrer que
sin(−θ) = −sin θet que cos(−θ) = cos θ
1.1.2 Relation entre les fonctions trigonom´etriques
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b
sin(a−b) = sin acos b−cos asin b
tan(a+b) = tan a+tan b
1−tan atan b
tan(a−b) = tan a−tan b
1+tan atan b

En faisant b=aon obtient les formules de multiplication par 2
sin(2a) = 2 sin acos a
cos(2a) = cos2a−sin2a= 2 cos2a−1 = 1 −2 sin2a
sin(2a) = 2 tan a
1+tan2a
cos(2a) = 1−tan2a
1+tan2a
tan(2a) = 2 tan a
1−tan2a.
En posant a+b=pet a−b=qles formules pr´ec`edentes peuvent s’exprimer comme suit
cos(p) + cos(q) = 2 cos p+q
2cos p−q 2
cos(p)−cos(q) = −2 sin p+q
2sin p−q 2
sin(p) + sin(q) = 2 sin p+q
2cos p−q 2
sin(p)−sin(q) = 2 cos p+q
2sin p−q 2
1.1.3 Formules d’Euler
On d´efinit eiy par
eiy = cos y+isin y
et en changeant ypar −y
e−iy = cos y−isin y.
En ajoutant et en retrancheant membre `a membre ces deux ´egalit´es, on obtient les formules d’Euler
cos y=eiy +e−iy
2et sin y=eiy −e−iy 2i
1.1.4 Formules de Moivres
`
A partir des formules d’Euler on peut d´eduire facilement les formules de Moivre
(cos x+isin x)n= cos nx +isin nx et (cos x−isin x)n= cos nx −isin nx
1.2 Fonctions hyperboliques
1.2.1 D´efinitions
Par d´efinition on appelle cosinus hyperbolique de x, qu’on note cosh xla quantit´e
cosh x=ex+e−x
2,
de mˆeme le sinus hyperbolique de xest
sinh x=ex−e−x
2.
Par analogie avec les fonctions trigonom´etriques on d´efinit la tangente hyperbolique de xpar
tanh x=sinh x
cosh x=ex−e−x ex+e−x,
et la cotangente hyperbolique par
coth x=1
tanh x.

1.3 ´ Egalit´es utiles
Par d´efinition on a
cosh x+ sinh x=exet cosh x−sinh x=e−x,
et par cons´equent
cosh2x−sinh2x= 1.
De cette relation on en d´eduit que
1
cosh2= 1 −tanh2xet que 1 sinh2= coth2x−1.
1.4 Relation entre les fonctions hyperboliques
cosh(a+b) = cosh acosh b+ sinh asinh b
cosh(a−b) = cosh acosh b−sinh asinh b
sinh(a+b) = sinh acosh b+ cosh asinh b
sinh(a−b) = sinh acosh b−cosh asinh b
cosh(p) + cosh(q) = 2 cosh p+q
2cosh p−q 2
cosh(p)−cosh(q) = 2 sinh p+q
2sinh p−q 2
sinh(p) + sinh(q) = 2 sinh p+q
2cosh p−q 2
sinh(p)−sinh(q) = 2 cosh p+q
2sinh p−q 2
2 Exercices
1. D´emontrer les formules de Moivres, puis les utiliser pour calculer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction
de cos θet sin θ.
2. D´eduire `a partir des formules d’Euler l’expression de sin(2x) et cos(2x) en fonction de sin x
et cos x.
3. θ´etant compris entre −π
2et π 2, exprimer sinh x, cosh xet tanh xen fonction de θ, sachant
que
x= ln tan θ
2+π 4.
4. R´esoudre le syst`eme pour a, α ∈ ℜ.
cosh x+ cosh y=acosh α
sinh x+ sinh y=asinh α
5. D´eterminer l’expression de (cosh x−sinh x)net de (cosh x+ sinh x)nen fonction de cosh nx
et sinh nx.