Chapitre 2

Chapitre II, cours de vibrations, ondes et optique_Phys3,Pr. Badis Bennecer
LMD 2007-2008
1
Chapitre II
Mouvement harmoniques et équation de Lagrange
L’étude des vibrations est une partie de la dynamique qui s’intéressent à l’étude des mouvements
des systèmes physiques qui peuvent osciller au voisinage des positions d’équilibre stable.
II.1. mouvement harmonique simple
Le mouvement oscillatoire dont l’importance est particulièrement grande est le mouvement
harmonique (ou sinusoïdal). Le modèle cinématique suivant permet de décrire les particularités
de ce mouvement. Considérons un point mobile M en mouvement uniforme sur un cercle de A à
une vitesse angulaire constante ω (voir figure II.1).
Sa projection N sur un diamètre du cercle sur l’axe ox par exemple,
Effectuera un mouvement harmonique simple entre les positions
Extrêmes N1 et N2. Ce mouvement de M est appelé
mouvement harmonique. Pour le décrire il faut trouver
sa position x en fonction du temps t. supposons qu’à
l’instant initial t=0, le rayon OM formait l’angle φ avec
l’axe ox. Au bout d’un temps t cet angle est ωt + φ.
x(t) = Acos(ωt + φ) (II.1)
cette équation décrit analytiquement le mouvement
harmonique du point N sur le diamètre N1N2
-A ≤ x ≤ +A. La quantité A est l’amplitude du
mouvement, la quantité ω est la pulsation ou fréquence circulaire. La quantité ωt + φ s’appelle la
phase et φ est la phase initiale.
Remarque :
En physique, le système dont son mouvement est donné par la relation (II.1) ou d’une
manière générale, toute grandeur physique qui varie selon cette relation est appelée
oscillateur harmonique simple.
Le mouvement harmonique est une sinusoïdale du temps. La forme de la courbe est
complètement définie par l’amplitude A et la pulsation ω, mais sa position dépend de φ. Durant
l’intervalle du temps T=2π/ω, la phase augmente de 2π [ω(t +2π/ω) + φ]= ωt + φ +2π et le
mobile revient à sa position initiale. La quantité T s’appelle la période du mouvement
harmonique.
La vitesse du mobile
)
2
cos()sin(
.
π
ϕωωϕωω ++=+−== tAtA
dt
dx
x (II.2)
La vitesse est en avance de phase de π/2 par rapport à x. l’accélération :
)cos()cos( 22
..
2
2
πϕωωϕωωγ ++=+−=== tAtAx
dt
xd (II.3)
L’accélération est en avance de phase de π/2 par rapport à la vitesse (
.
x) et de π par rapport au
déplacement (x).
La force qui agit sur le mobile M de masse m dans un mouvement harmonique simple est :
M
N2
x
N1
ON
ω
Figure II.1 : mouvement harmonique
simple

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2
..
2xmxmmF
ωγ −=== (II.4)
Cette équation est écrite sous la forme suivante :
0
2
.. =+ xx
ω (II.5)
Elle s’appelle l’équation différentielle du mouvement harmonique simple.
I.2 représentation vectorielle du mouvement harmonique
Considérons un repère orthonormé oxy est vecteur MOr
r
r
=qui tourne à une vitesse angulaire ω
autour de O dans le sens inverse des aiguilles du montre. A l’instant t le vecteur
r
rfait un angle
de ωt + φ avec l’axe Ox.
On peut représenter le mouvement soit en projetant. Le vecteur sur Ox : )cos(
ϕω += tMOx
r
, ou
sur Oy : )sin(
ϕω += tMOy
r
II.3 Solution de l’équation différentielle du mouvement
L‘équation différentielle du mouvement (II.5) est une équation différentielle du second ordre
linéaire et homogène et pour la résoudre on pose x= Aexp(rt), puis on remplace dans l’équation
différentielle on obtient l’équation caractéristique
0
22 =+ rr
ω (II.6)
Qui possède deux racine imaginaire
ω
ir
±
=
2,1 . La solution générale s’écrit :
titi eDeDtx ωω −
+= 21 )( (II.7)
où D1 et D2 sont des nombres complexes.
Comme x est réel alors on peut écrire x sous la forme :
x=c1cosωt +c2sinωt (II.8)
Si on pose 2
2
2
1ccA += et
1
2
c
c
tg −=
ϕ , x s’écrit
)cos(
ϕ
ω
+
=tAx (II.9)
Dans plusieurs cas, on préfère écrire la solution sous la forme complexe suivante :
ti
eAx
ω
=
x
M y
φ
ωt +φ
O
Figure II.2: Représentation vectorielle du mouvement harmonique
x
Aω
2
Aω
r
r
A
γ
r
v
r
O
ωt

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où
ϕ i
AeA = est l’amplitude complexe et )Re( ti eAx
ω
=. Cette écriture facilite le calcul.
Il est clair des deux relations (II.8) et (II.9) que deux constantes arbitraires apparaissent dans
la solution générale. Les valeurs de ces deux constantes sont déterminées à l’aide des conditions
initiales ; deans ce cas les valeurs de x et x
&à l’instant t=0.
Exemple :
Supposons que x est donné par x=Asin(ωt+φ). Déterminer A et φpour x(0)=x0 et
0
)0( xx && = ?
ϕω
ϕ
cos)0(
sin)0(
0
0
Axx
Axx
==
==
&&
2
0
2
0
2
0
2
0)/(1)()(
ω
ω
xxA
A
x
A
x&
&+=⇒=+⇒ (II.10)
Et
0
0
cos
sin
x
x
tg &
ω
ϕ
ϕ
ϕ
== (II.11)
II.4 composition de plusieurs mouvements harmoniques de fréquences égales
Pour trouver le mouvement d’un système à une dimension ox par exemple, résultant de deux
mouvements harmoniques simples qui ont la même fréquence et des différentes amplitudes et
phases initiales. On représente chacun d’eux vectoriellement et on prend l’addition vectorielle.
Supposons que les deux mouvements harmoniques sont donnés par :
)cos(et )cos( 2221111
ϕ
ω
ϕ
ω
+
=+= tAxtAx
2
221
2
1
2
2
2
21
2cos2)sin()cos( AAAAAAAR ++=++=
δδδ (II.12)
ou
δ cos2.2 21
2
2
2
121
2
2
2
1
2
21 AAAAAAAARAAR ++=++=⇒+=
r
r
r
r
r
La phase initiale φ du mouvement est donnée par la relation suivante (voir figure)
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
AA
AA
tg +
+
= (II.13)
La résultante des deux mouvements est un mouvement harmonique de fréquence ω
x A1cosφ1 A1cosφ1
A2sinδ
A2cosδ
φ1
δ=φ2-φ1
φ2
A2
A1
y
A1
R
Figure II.3 : addition vectorielle de deux mouvements harmoniques
φ A2sinφ
A1sinφ

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x = x1+x2 =R cos(ωt + φ)
où R et φ sont données par les relations (II.12) et (II.13)
Cas particuliers :
a. φ1= φ2 (δ =0) : la phase initiale est nulle et son amplitude est égale à A1+A2.
b. φ2= φ1+π (δ =π) ; les deux mouvements sont en opposition de phase et l’amplitude du
mouvement résultant est R=|A1-A2|
Il y a une autre méthode pour trouver l’amplitude et la phase initiale du mouvement résultant.
Nous avons vu qu’on peut écrire un mouvement harmonique simple sous la forme :
2,1
2,12,12,12,1 ,)Re(
ϕ
ω
i
ti eAAoùeAx == et +
ℜ∈
2,1
A
Alors, x = x1+x2 peut être écrite sous la forme :
titititi eAeAAeAeAx ωωωω
=+=+= )( 2121 où
ϕ i
AeAAA =+= 21
Aest l’amplitude complexe du mouvement résultant et elle est déterminée complètement de la
l’amplitude réelle A et la phase initiale φ.
[
]
[]
2/1
21
2
2
2
1
2/1
2
2
)(
21
)(
21
2
1
2/1
*
2
*
121
2/1*
)cos2(
))(()(
2121
δ
ϕϕϕϕ
AAAA
AeAAeAAA
AAAAAAA
ii
++=
+++=
++=
−−−
où 12
ϕ
ϕ
δ
−=
21
21
ϕϕ
ϕ
ii
ieAeAAeA +==
Prenons les parties réelle et imaginaire de A :
La partie réelle : 2211 coscoscos
ϕ
ϕ
ϕ
AAA
+
=
La partie imaginaire : 2211 sinsinsin
ϕ
ϕ
ϕ
AAA
+
=
Ce qui implique que
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
AA
AA
tg +
+
=. Alors )cos(Re( )
21
ϕω
ω
+==+= tAeAxxx ti
II.5 composition de deux mouvements harmoniques perpendiculaires
Considérons un corps qui meut sous l’effet de deux mouvements harmoniques perpendiculaires
et cherchons la trajectoire du mouvement résultant :
)cos(
)cos(
2
1
ϕω
ϕ
ω
+=
+
=
tBy
tAx (II.14)
Développons les relations (II.14) et utilisons la méthode de Cramer pour trouver les inconnues
cosωt et sinωt, on obtient :
)sin(
sinsin
sin
)sin(
sinsin
cos
12
12
12
12
ϕϕ
ϕϕ
ω
ϕϕ
ϕ
ϕ
ω
−
−
=
−
+
−
=
AB
BxAy
t
AB
AyBx
t
(II.15)
Utilisons la relation 1sincos 22 =+ tt
ωω et divisons le résultat par A2B2 on obtient :
ϕϕ
222 sincos2)()( +=+ AB
xy
B
y
A
x (II.16)

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où 12
ϕ
ϕ
ϕ
−= . La relation (II.16) est l’équation d’une ellipse dans le cas général.
Cas particulier :
a. φ=0 : l’équation devient 02)()( 22 =−+ AB
xy
B
y
A
x x
A
B
y
A
x
B
y=⇒=−⇒ 0)( 2
c’est l’équation d’une droite dont la pente est positive.
b. φ=π/2 : dans ce cas l’équation (II.16) devient :
1)()( 22 =+ B
y
A
x équation d’une ellipse.
c. φ=π : x
A
B
y
A
x
B
y−=⇒=−⇒ 0)( 2
Figures de Lissajou
II.6 composition de deux mouvements harmoniques de différentes pulsations
Considérons les deux mouvements harmoniques suivantes : tAxtAx 2211 coset cos
ω
ω
=
=
,
puis cherchons x= )cos (cos 2121 ttAxxx
ω
ω
+
=+= et pour cela faisons la transformation
suivante :
2
2
12
21
ωω
ω
ω
−
=Ω
+
=Ω
−
+
−+
−+
Ω+Ω=
Ω
−
Ω=⇒
2
1
ω
ω
et remplaçons dans l’expression de x on obtient :
[]
ttAx
ttAx
)
2
cos()
2
cos(2
)cos()cos(
1221
ωωωω −+
=
Ω
+
Ω
+
Ω−Ω= −+−+
(II.17)
Il est clair que le mouvement résultant est le produit de deux fonctions harmoniques de
différentes pulsations et périodes :
x
y
+A
-B
B
x
y
+A -A
-B
B
x
y
+A-A
-B
B
a.
b.
c.
Pente
p
ositive elli
p
se Pente né
g
ative