Alg`ebre linéaire 2 : Polynômes annulateurs d

Alg`ebre lin´eaire 2 :
Polynˆomes annulateurs d’endomorphismes ∗
MP
11 octobre 2014
Table des mati`eres
1 Polynˆomes annulateurs, diagonalisation et trigonalisation 2
2 Id´eaux de Zet de K[X],polynˆome minimal 6
2.1 Notion d’id´eal dans K[X] ............................ 6
2.2 La notion de polynˆome minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Du th´eor`eme de Bezout au lemme des noyaux 10
3.1 Le th´eor`eme de Bezout dans Zet dans K[X].................. 10
3.2 Le lemme (de d´ecomposition) des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Endomorphismes `a polynˆome minimal scind´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Exercices 14
5 A questions br`eves, r´eponses rapides (le flash-´eclair) 21
6 R´esum´e des deux chapitres d’alg`ebre lin´eaire 27
7 Corrig´es 31
∗Document disponible sur www.mpcezanne.fr ou sur www.univenligne.fr sous le nom AlgebreLinPoly-
nomesAnn.pdf
1

On sait, avant d’aborder ce chapitre, que le polynˆome caract´eristique d’un endomorphisme
fd’un K−espace vectoriel E, est un polynˆome annulateur de f ; ce r´esultat constitue le
th´eor`eme de Cayley Hamilton.
On sait ´egalement que fest trigonalisable ssi ce mˆeme polynˆome caract´eristique est scind´e
sur le corps K.
Nous nous proposons de compl´eter cela en approfondissant l’´etude des polynˆomes annu-
lateurs d’un endomorphisme. : trois r´esultats sur les polynˆomes feront apparaˆıtre trois
th´eor`emes fondamentaux de ce chapitre :
– les polynˆomes de Lagrange apparaissent naturellement lorsqu’on cherche `a montrer qu’un
endomorphisme qu’annule un polynˆome scind´e `a racine simples (sur le corps de base)
est diagonalisable ; exercice 1, th´eor`eme 1 ;
– la structure des id´eaux de K[X]conduit `a la mise en ´evidence et `a la d´efinition du
polynˆome minimal ;
– la relation de Bezout dans K[X]conduit au lemme des noyaux.
Ce chapitre ´etablit la jonction entre deux domaines de l’alg`ebre : l’´etude des endomor-
phismes et celle de l’anneau des polynˆomes. C’est l’exercice 1 qui devrait vous permettre
de d´ecouvrir la porte d´erob´ee entre ces deux domaines...
1 Polynˆomes annulateurs, diagonalisation et trigonalisation
Polynˆomes de Lagrange
D´efinition 1
Soient a1, a2, ...anune famille d’´el´ements distincts du corps K.Les polynˆomes de Lagrange
associ´es `a cette famille sont les npolynˆomes de degr´e (n−1) d´efinis par
Λj(X) = Y
i6=j
X−ai
aj−ai
.
•Pour tout j∈ {1, ..., n},Λj(aj) = 1 et Λj(ai) = 0 si i6=j;
Vous devez connaˆıtre et savoir d´emonter sans h´esiter les trois r´esultats suivants :
•(Λj(X))jforme une base de Kn−1[X] et pour tout polynˆome P(X)∈Kn−1[X],
P(X) =
n
X
j=1
P(aj)Λj(X).
•en particulier :
1 =
p
X
i=1
Λi(X).
Exercice fondamental
Exercice 1 approche et d´ebut de preuve du th´eor`eme 1
1. Soit fun endomorphisme diagonalisable, montrer qu’il existe un polynˆome scind´e
sur K,`a racines simples, tel que P(f)=0.
2

2. ´ Etude de la r´eciproque.
Commen¸cons par un exemple simple : on consid`ere fun endomorphisme de Etel
que
(f−αidE)◦(f−βidE)◦(f−γidE)=0.
(a) Soit x∈Ede la forme x=x1+x2+x3o`u x1∈Ker(f−αidE), ...
Exprimer f(x), f2(x); en d´eduire des expressions des xien fonction de x, f(x), f2(x)...
Penser `a introduire les polynˆomes de Lagrange associ´es `a (α, β, γ).
(b) Montrer que fest diagonalisable. Exprimer les projecteurs sur les sous-espaces
propres comme des polynˆomes en f.
Th´eor`eme 1 Soit Eun K−espace vectoriel de dimension finie et uun endomorphisme
de E. Alors, uest diagonalisable ssi il existe un polynˆome scind´e sur K,`a racines simples
tel que P(u)=0.
D´emonstration :
⇒
D´ej`a ´etabli `a l’aide d’une repr´esentation matricielle (exercice 1). On propose ici une
d´emonstration plus alg´ebrique.
Consid´erons udiagonalisable, ce qui s’exprime :
E=M
λ∈Sp(f)
ker(f−λIdE).
Soit S(X) = Qλ∈Sp(f)(X−λ).Pour tout x∈E, que l’on peut d´ecomposer (notations
´evidentes)
x=X
µ∈Sp(u)
xµ,
il vient :
S(u)(x) = X
µ∈Sp(u)
S(u)(xµ).
Mais comme les (u−λ) commutent, on peut ´ecrire :
S(u)(xµ) = 
Y
λ6=µ
(u−λ)
◦(u−µ)(xµ) = 0.
⇐Consid´erons P(X) = Qp
i=1(X−λi),polynˆome annulateur de u, `a racines simples.
Comme les λisont distincts, les polynˆomes de Lagrange,
Λj(X) = Y
i6=j
X−λi
λj−λi
,
3

forment une base de Kp−1[X] et on a, en particulier
1 =
p
X
i=1
Λi(X).
D’autre part, pour tout j, (u−λj)◦Λj(u)=0.Ainsi, pour tout x∈E,
Λj(u)(x)∈Ker(u−λj).
On a donc
idE(x) =
p
X
i=1
Λi(u)(x) =
p
X
i=1
xi
ce qui montre que Eest somme des sous-espaces Ker(u−λj) qui sont en somme directe
(mˆeme d´emonstration que dans le th´eor`eme 6.2). 
Corollaire 2 d´ej`a vu au chapitre pr´ec´edent
Soit Eun K−espace-vectoriel de dimension n.
Un endomorphisme de Eposs´edant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Exercice 2
Soit Eun espace-vectoriel complexe de dimension n, f un endomorphisme de Etel que
f3=idE.
1. Quelles sont les valeurs propres possibles de f?
2. Donner les polynˆomes caract´eristiques possibles lorsque n= 2, n = 3...
3. Montrer que, dans tous les cas,
E=Ker(f−idE)⊕Ker(f−j idE)⊕Ker(f−j2idE).
4. En d´eduire les matrices solutions de M3=In.
Exercice 3 analogue au pr´ec´edent
Soit Eun espace-vectoriel sur R,de dimension n, f un endomorphisme de Etel que
f3=f2+ 2f.
1. Quelles sont les valeurs propres possibles de f?
2. Montrer que que fest diagonalisable et que
E=Ker(f)⊕Ker(f+idE)⊕Ker(f−2idE).
3. On suppose que n= 3.Donner les polynˆomes caract´eristiques possibles de fet dans
chaque cas pr´eciser une matrice de fdans une base bien choisie.
4

Exercice 4 ´epreuve B e3a, 2005 (exercice 3) ;
Soit M une matrice carr´ee d’ordre 2n, `a coefficients complexes d´efinie par blocs par
M=A C
O Bo`u A, B, C sont des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients complexes.
On suppose que la matrice Mest diagonalisable et que AC =CB.
1. (a) Montrer que pour tout polynˆome Pil existe une matrice D, carr´ee d’ordre n
telle que P(M) = P(A)D
O P (B).On pr´ecisera la matrice D.
(b) Montrer qu’il existe un polynˆome Pscind´e `a racines simples sur le corps Ctel
que P(A) = P(B)=0.
(c) En d´eduire que Aet Bsont diagonalisables.
2. Soit Nla matrice d’ordre 2nd´efinie par blocs par N=A O
O B.
(a) Montrer que MN =NM.
(b) En d´eduire qu’il existe une matrice Rinversible et deux matrices diagonales D
et D0telles que : M=R−1DR et N=R−1D0R.
(c) En d´eduire que la matrice 0C
0 0 est diagonalisable (admettre le r´esultat de
l’exercice24).
3. En d´eduire que Cest nulle.
Exercice 5 centrale
Soit Bune matrice de Mat(2n, R) de la forme
B=A O
A A
o`u A∈Mat(n, R).
1. Calculer P(B) lorsque Pest un polynˆome.
2. Montrer que si Best diagonalisable, alors elle est nulle.
Th´eor`eme 3 Soit Eun K−espace vectoriel de dimension finie et uun endomorphisme
de E. Alors, uest trigonalisable ssi il existe un polynˆome scind´e sur Ktel que P(u)=0.
D´emonstration :
⇒on sait que si uest trigonalisable, son polynˆome caract´eristique est scind´e sur K(c’est
en fait une CNS). Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton fait le reste.
⇐nous ´etablirons la r´eciproque comme corollaire du lemme des noyaux.
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