Réduction d`endomorphismes

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R´eduction d’endomorphismes
Ce document n’est pas un cours mais pr´esente seulement quelques notions `a connaˆıtre sur le sujet.
Soit Eun Kespace vectoriel, K=Rou C
1 Sous espaces stables
1.1 D´efinitions :
1.1.1 Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme
D´efinition 1 Soit Fun sous espace vectoriel de Eet fun endomorphisme de E.
On dit que Fest stable par fsi f(F)⊂F
Exemple 1 Pour u∈L(E),Im u, ker u, une droite vectorielle admettant pour vecteur directeur un vecteur propre,
un sous-espace propre sont des sous-espaces stables par u(pour les d´efinitions de valeur propre, vecteur propre et
sous espace propre voir 3.1).
Propri´et´e 1 Si F=vect < u1, . . . , up>(sous espace vectoriel engendr´e par les vecteurs u1. . . , up) Alors Fest
stable par f∈L(E)si et seulement si ∀k∈ {1, . . . , p}f(uk)∈F
Proposition 1 Si uet vsont deux endomorphismes qui commutent, alors Im uet ker usont stables par v.
cons´equence : Si u◦v=v◦ualors les sous-espace propres de usont stables par v.
1.1.2 Endomorphisme induit
D´efinition 2 Soit f∈L(E)et Fun sous espace stable par f. la restriction de f`a Fest un endomorphisme de F
qui s’appelle l’endomorphisme induit par f`a F.f/F ∈L(F).
1.2 Dimension finie
On suppose Ede dimension finie n
1.2.1 Matrice dans une base adapt´ee `a un sous-espace vectoriel F.
Soit Fun sous espace vectoriel de Eet Gun suppl´ementaire. E=F⊕G. On appelle base adapt´ee `a cette
d´ecomposition une base (e1,· · · , en) de Etelle que (e1,· · · , ep) soit une base de Fet (ep+1,· · · , en) une base de
G.
Proposition 2 Soit f∈L(E), avec les notations pr´ec´edentes : Fest stable par fsi et seulement si la matrice de
fdans la base Best de la forme A C
0D, avec A∈Mp(K), C ∈Mp,n−p(K), D ∈Mn−p,n−p(K).
Proposition 3 det A C
0D= det(A) det(D)
Cons´equence :
Si Pfd´esigne le polynˆome caract´eristique de f(voir 2.3), Pf(X) = det(f−XId) on a : Pf(X) = PA(X)PD(X)
avec PA(X) = det(A−XIp) et PD(X) = det(D−XIn−p)
Proposition 4
Si f∈L(E)et Fest un sous espace vectoriel stable par f
alors le polynˆome caract´eristique de f/F divise le polynˆome caract´eristique de f
1.2.2 Matrice dans une base adapt´ee `a une d´ecomposition E=r ⊕
i=1Ei
Proposition 5 Soit f∈L(E),∀i∈ {1,· · · , r}, Eiest stable par fsi et seulement si la matrice de fdans une
base Badapt´ee `a la d´ecomposition E=r ⊕
i=1Ei, est de la forme A=
A10· · · 0
0A20
.
.
.....
.
.
0· · · Ar
avec Ai∈Mpi(K),
pi= dim Ei, A ∈Mn(K)et n=
r
X
i=1
pi.o`u n= dim E
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Proposition 6 avec les notations pr´ec´edentes :
1. det(f) =
r
Y
i=1
det(fi)avec fi=f/Ei
2. Si Pfd´esigne le polynˆome caract´eristique de falors Pf=
r
Y
i=1
Pfi
1.2.3 Matrices diagonales
Soit Eun Kespace vectoriel de dimension n(K=Rou C), B= (e1, . . . , en) une base de Eet uun endomor-
phisme de E.
Proposition 7
La matrice de udans la base Best diagonale si et seulement si Best une base de Ede vecteurs propres de u.
1.2.4 Matrices triangulaires
Soit Eun Kespace vectoriel de dimension n(K=Rou C), B= (e1, . . . , en) une base de Eet uun endomor-
phisme de E. Pour k∈ {1, . . . , n}on pose Ek= vect < e1, . . . , ek>(espace vectoriel engendr´e par le syst`eme de
vecteurs (e1, . . . , ek))
Proposition 8
La matrice de udans la base Best triangulaire sup´erieure si et seulement si ∀k∈ {1, . . . , n},u(Ek)⊂Ek.
2 Polynˆomes d’un endomorphisme
2.1 Polynˆomes
2.1.1 Rappels
Th´eor`eme 1
Tout polynˆome P∈C[X], P 6= 0 est scind´e et se d´ecompose de mani`ere unique sous la forme :
P(X) = C
p
Q
i=1
(X−λi)αio`u C∈C, et ∀i∈ {1, . . . , p}, λi∈C,αi∈N∗les λidistincts deux `a deux.
Les λisont les racines de Pet αiest l’ordre de multiplicit´e de la racine λi. Si nest le degr´e de Pon a n=
p
P
i=1
αi
Th´eor`eme 2
Si Pet Qsont deux polynˆomes de K[X]premiers entre eux (ils n’ont pas de racine commune dans C)
Alors ∀R∈K[X]on a : Pdivise Ret Qdivise R⇒P Q divise R.
Th´eor`eme 3 ( Gauss) Soit trois polynˆomes de K[X], A, B, C ona :
A∧B= 1 (c’est `a dire AetBsont premiers entre eux) et A|BC (A divise BC) ⇒A|C
Th´eor`eme 4 ( Bezout) Soit Aet Bdeux polynˆomes de K[X]
Aet Bsont premiers entre eux si et seulement si ∃(U, V )K[X]2tel que UA +V B = 1
2.1.2 D´efinition d’un id´eal de K[X] :
On appelle id´eal de K[X],tout sous groupe Ide (K[X],+) tel que ∀(P, Q)∈K[X]×I, P Q ∈I
2.1.3 Structure des id´eaux de K[X]
Proposition 9
Soit I⊂K[X],Iest un id´eal de K[X]si et seulement si ∃P∈K[X], I =PK[X]
Proposition 10
Si Iest un id´eal non-nul de K[X]Alors il existe un unique polynˆome unitaire P0∈K[X]tel que I=P0K[X]
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2.2 Polynˆomes d’endomorphismes
2.2.1 Morphisme d’alg`ebre
Pour u∈L(E) et P∈K[X], P (X) = adXd+. . . +a1X+a0on note P(u) l’endomorphisme de L(E) d´efini
par P(u) = adud+. . . +a1u+a0IEo`u IEd´esigne l’application identit´e de E.
Pour P∈K[X], Im P(u) et ker P(u) sont stables par u
l’application ϕ:P7→ P(u) est un homomorphisme d’alg`ebre de (K[X],+,×, .) dans (L(E),+,◦, .)
2.2.2 Id´eal annulateur
Le noyau de ϕest un id´eal de K[X].
ker ϕ={0}ou ker ϕ=PmK[X] avec Pmunitaire de degr´e m.
Pmest unique et est appel´e le polynˆome minimal de u.
Proposition 11
Si Eest de dimension finie n,Alors ker ϕ6={0}et m≤n
2.2.3 Th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux
Th´eor`eme 5 (Th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux)
Si Pet Qsont premiers entre eux et u∈L(E)alors ker P.Q(u) = ker P(u)⊕ker Q(u)
Cons´equence : les sous espaces propres associ´es `a deux valeurs propres distinctes sont en somme directe.
On d´eduit du th´eor`eme pr´ec´edent :
Th´eor`eme 6
Si u∈ L(E)et P∈K[X], P =
r
Q
i=1
Piavec ∀i∈[[1, r]], Pi∈K[X]et ∀(i, j)∈[[1, r]]2, i 6=j, Pi∧Pj= 1
Alors ker P(u) = r ⊕
i=1 ker Pi(u)
2.2.4 Image de ϕ
On note K[u] l’image de ϕ.
Proposition 12 K[u]est une sous alg`ebre commutative de L(E).
Proposition 13 Si Eest de dimension finie n,Alors K[u]est une sous-alg`ebre de L(E)de dimension finie
inf´erieure ou ´egale `a n
2.3 Polynˆome caract´eristique :
Soit Eun Kespace vectoriel de dimension n.
D´efinition :
on appelle polynˆome carat´eristique d’un endomorphisme fde L(E) le d´eterminant Pf(X) = det(f−XIE)
Propri´et´es :
•Pf(X) est un polynˆome de degr´e n
•Pf(0) = det f
•Pf(X) = (−1)n(Xn−tr(f)Xn−1+. . . + (−1)ndet f) o`u tr(f) d´esigne la trace de f.
•Si Fest un sous espace vectoriel de Estable par falors Pf/Fdivise Pf.
•Si f∈L(E) et E=p ⊕
i=1Ei,Eistable par f,∀i∈ {1, . . . , p}, soit fi=f/EiAlors Pf(X) =
p
Q
i=1
Pfi(X)
Th´eor`eme de Cayley-Hamilton :
Th´eor`eme 7
Si f∈ L(E)
Alors Pf(f) = 0,fannule son polynˆome caract´eristique soit Pf∈ker ϕ.
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Cons´equence : le polynˆome minimal de fdivise son polynˆome caract´eristique : Pm/Pf
Si Pc(f)(X) =
p
Q
i=1
(λi−X)αialors E=p ⊕
i=1 ker(λiIdE−f)αi
Les sous espaces vectoriels ker(λiIdE−f)αis’appellent les sous espaces caract´eristiques de f, ils sont stables par
fet dim ker(λiIdE−f)αi.=αi.
La matrice de fdans une base adapt´ee `a la d´ecomposition E=p ⊕
i=1 ker(f−λiIE)αiest une matrice par blocs.
3 R´eduction d’endomorphismes
3.1 Valeurs propres-vecteurs propres d’un endomorphisme
D´efinition 3 Soit Eun Kespace vectoriel et f∈L(E).On appelle valeur propre de ftout scalaire λtel qu’il
existe un vecteur non-nul xde Etel que f(x) = λ.x.
D´efinition 4 Si λest une valeur propre de fon appelle sous espace propre de fl’espace ker(f−λ.Id)
Proposition 14 Les sous espaces propres de fsont en somme directe
Proposition 15
Si e1, . . . , epsont pvecteurs propres de l’endomorphisme f∈ L(E)associ´es `a pvaleurs propres distinctes
Alors (e1, . . . , ep)est un syst`eme libre de E
Proposition 16
Si u∈ L(E)et ~x est un vecteur propre de uassoci´e `a la valeur propre λ
Alors pour tout polynˆome P∈K[X],~x est un vecteur propre de P(u)associ´e `a la valeur propre P(λ)
3.2 R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie
Soit Eun Kespace vectoriel de dimension finie.
3.2.1 Valeurs propres vecteurs propres
Soit f∈L(E) de polynˆome caract´eristique Pf, de polynˆome minimal Pmet λ∈K.
Proposition 17 λest une valeur propre de fsi et seulement si f−λIEn’est pas inversible.
Proposition 18 λest une valeur propre de fsi et seulement si λest racine de Pf.
Proposition 19 λest une valeur propre de fsi et seulement si λest racine de Pm.
D´efinition 5 Si Pf(X) = (X−λ)αQ(X)avec Q(λ)6= 0,αest l’ordre de multiplicit´e de la valeur propre λ.
Proposition 20 Si f∈L(E)et λest une valeur propre d’ordre de multiplicit´e αalors la dimension du sous-espace
propre correspondant est inf´erieure ou ´egale `a α.
En dimension finie l’ensemble des valeurs propres de fest appel´e spectre de unot´e Sp(u)
Propri´et´es :
•Si P∈K[X] et P(u) = 0 alors toute valeur propre de uest un z´ero de P(la r´eciproque est fausse)
•Si Fest un sous espace vectoriel stable par falors Sp(f/F)⊂Sp(f)
•Si le polynˆome caract´eristique de f,Pfest scind´e, Pf(X) =
p
Q
i=1
(λi−X)αi,ona:
tr(f) =
p
P
i=1
αiλiet det f=
p
Q
i=1
λαi
i
•Soit a∈GL(E),l’application u7→ aua−1est un automorphisme d’alg`ebre de L(E). uet aua−1ont le mˆeme
polynˆome caract´eristique et les mˆemes valeurs propres. Si Eλest le sous espace propre associ´e `a la valeur
propre λde ualors a(Eλ) est le sous espace propre de aua−1associ´e `a la valeur propre λ.
3.2.2 Valeurs propres-vecteurs propres d’une matrice carr´ee
Les ´el´ements propres de M∈ Mn(K) sont d´efinis comme ´etant ceux de l’endomorphisme ude Kncanoniquement
associ´e `a M(c’est `a dire l’endomorphisme u∈ L(Kn) de matrice Mdans la base canonique de Kn).
Les valeurs propres, les sous-espaces propres, les vecteurs propres et le spectre d’un ´el´ement Mde Mn(K) sont
ceux de l’endomorphisme canoniquement associ´e `a M.
Un ´el´ement Mde Mn(R) peut-ˆetre consid´er´e comme ´el´ement de Mn(C); le spectre de Mdans Rest contenu
dans le spectre de Mdans C.
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3.2.3 Endomorphismes diagonalisables
Soit Ede dimension finie n
D´efinition 6
f∈L(E)est diagonalisable si et seulement si Eest somme directe des sous espaces propres de f.
3.3 Diagonalisation
Proposition 21 f∈L(E)
1. fest diagonalisable si et seulement si Eadmet une base de vecteurs propres de f.
2. fest diagonalisable si et seulement si Eadmet une base dans laquelle la matrice de fest diagonale.
3. Soit E1,· · · Eples sous espaces propres de f.
fest diagonalisable si et seulement si dim E= dim E1+· · · + dim Ep.
Proposition 22
Si f∈L(E)est un endomorphisme diagonalisable tel que E=Eλ1⊕ · · · ⊕ Eλravec Eλi= ker(f−λiIEi)et pλi
est le projecteur sur Eλiparall`element `a ⊕
k6=iEλk.
Alors f=
r
X
i=1
λipλi
Proposition 23 f∈ L(E)
Si Eest somme directe de sous-espaces vectoriels stables Ejsur lesquels finduit une homoth´etie de rapport λj
Alors fest diagonalisable et f=
r
X
i=1
λipλio`u pλile projecteur sur Eλiparall`element `a ⊕
k6=iEλk..
Proposition 24 Pour qu’un endomorphisme ude Esoit diagonalisable, il faut et il suffit que le polynˆome ca-
ract´eristique de usoit scind´e dans Ket que chaque sous-espace propre ait pour dimension l’ordre de multiplicit´e
de la valeur propre correspondante.
Proposition 25 Tout endomorphisme dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et n’a que des racines simples
est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont de dimension 1.
Th´eor`eme 8 Pour qu’un endomorphisme fde Esoit diagonalisable, il faut et il suffit qu’il annule un polynˆome
scind´e dont toutes les racines sont simples .
Proposition 26 Soit f∈ L(E),
fest diagonalisable si et seulement si fannule le polynˆome P(X) = Q
λ∈Sp(f)
(X−λ)
Remarque 1 Soit f∈ L(E),
fest diagonalisable si et seulement si le polynˆome minimal de fest Pm(X) = Q
λ∈Sp(f)
(X−λ)
Proposition 27 Si u∈L(E), u est diagonalisable et Fest un sous espace vectoriel stable par u
Alors u/F est diagonalisable
Remarque 2 Si P(f) = 0 o`u Pn’a que des racines simples alors fest diagonalisable et les valeurs propres de f
sont contenues dans les racines de P(mais ce ne sont pas n´ecessairement toutes les racines de P)
Exemple 2 Une homoth´etie de Ede rapport λavec n= dim E≥1est un endomorphisme diagonalisable dont la
seule valeur propre est λet le sous-espace propre associ´e est E,Sp(u) = {λ}.
Exemple 3 les projecteurs et les sym´etries sont diagonalisables.
En effet si pest un projecteur (resp. sest une sym´etrie) alors p(resp. s) annule le polynˆome X(X−1) (resp.
(X−1)(X+ 1))qui n’a que des racines simples de sorte que p(resp.s) est diagonalisable. Si p6= 0 et p6= IEon a
Sp(p) = {0,1}, si s6= IEet s6=−IEalors Sp(s) = {−1,1}
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