MM2, groupe 1M1ECO – DM 2 Matrices. N. Laillet laillet@math

MM2, groupe 1M1ECO – DM 2
Matrices.
N. Laillet
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DM 2
Le DM est à rendre le 10 février 2014.
Exercice 1 Pour chacune de ces matrices, discuter suivant les valeurs du réel m si elle est
inversible, et donner le cas échéant son inverse.

 

1
1
m
m 1 1
 1
0
m , 1 m 1
m−1 m−2 1−m
1 1 m

Exercice 2
−1
On considère la matrice A =  −1
1
1
−1
0

1
0 .
−1
a. Calculer (A + I)3 .
b. En déduire :
(a) l’expression de An pour n ∈ N∗ .
(b) que A est inversible. Donner son inverse.
Exercice 3 (BONUS) On dit qu’une matrice M de Mn (R) est nilpotente s’il existe un entier
p tel que M p =
 0.

0 1 0
a. Soit A =  0 0 1 . Calculer A2 , A3 et en déduire que A est nilpotente.
0 0 0
b. Montrer que A n’est pas inversible.
Les deux questions suivantes ont pour but de généraliser le résultat précédent.
c. Montrer qu’une matrice nilpotente n’est jamais inversible.
d. Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle est nilpotente.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/