cours

Nombres complexes
Bcpst 1 — 27 février 2017
I — Définition de C – Écriture algébrique
I.1 — Définition
Définition 1.1 — Nombres complexes
On appelle ensemble des nombres complexes et on note C l’ensemble R2 muni des deux
opérations suivantes
∀(x, y) ∈ R2 , ∀(x 0 , y 0 ) ∈ R2 ,
déf.
addition
(x, y) + (x 0 , y 0 ) = (x x 0 , y y 0 )
multiplication
(x, y) × (x 0 , y 0 ) = (x x 0 − y y 0 , x y 0 + x 0 y)
déf.
Ces deux opérations ont les propriétés usuelles des opérations sur les nombres
réels : commutatitivité, associativité, distributivité de la multiplication par rapport
à l’addition, existence d’un élément neutre pour + et pour ×, existence d’un opposé
pour l’addition, de l’inverse d’un complexe non nul pour la multiplication.
I.2 — Notation algébrique
Ces opérations sont plus simples d’emploi en utilisant les notations
1 pour (1, 0)
i pour (0, 1)
x + i y pour (x, y)
On constate alors que l’on peut calculer « comme dans R » en adoptant la convention
i × i = −1.
Remarque I.0 Toutefois, on ne peut pas définir sur C de relation d’ordre qui
prolonge la relation d’ordre de R. En effet, supposons qu’une telle relation d’ordre
existe. Alors le complexe i est soit positif, soit négatif.
I — Définition de C – Écriture algébrique
2
Si i ¾ 0 alors i × i ¾ 0, donc −1 ¾ 0, ce qui est absurde. Si i ¶ 0 alors i × i ¾ 0
également (en multipliant par un nombre négatif, on modifie le sens de l’inégalité),
donc −1 ¾ 0, ce qui est également absurde.
On vient de montrer par l’absurde qu’une telle relation d’ordre n’existe pas.
Définition 1.2 — Partie réelle, partie imaginaire
Soit z un nombre complexe. Il existe un unique couple (x, y) de réels tels que z = x + i y.
Le réel x est la partie réelle de z notée Re(z) et y est sa partie imaginaire, notée Im(z).
Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur et si Im(z) = 0 on dit que z est un réel.
On identifie le sous-ensemble {(x, 0) avec x ∈ R} de R2 avec R. L’ensemble des imaginaires purs est noté iR.
Propriété 1.3 — Propriété des parties réelles et imaginaires
Soit (z, z 0 ) ∈ C2
Re(z + z 0 ) = Re(z) + Re(z 0 )
et
Im(z + z 0 ) = Im(z) + Im(z 0 )
et
Im(λ z) = λ Im(z)
Si λ ∈ R alors
Re(λ z) = λ Re(z)
Théorème 1.4 — Cas d’égalité
Soit (x, x 0 , y, y 0 ) ∈ R4 :
x + i y = x0 + i y0
⇐⇒
x = x0
et
y = y0
Il est équivalent de donner un complexe z = x + i y ou un point M (x, y) du plan
R2 . On dit que z est l’affixe de M ou que M est l’image de z.
Application I.0 — Trouver les nombres complexes z tels que z 2 = 8 − 6i.
Pour cela, on pose z = x + i y, avec (x, y) ∈ R2 . Comme z 2 = (x 2 − y 2 ) + 2ix y, en
égalant les parties réelles et imaginaires, on a
x2 − y2 = 8
2x y = −6
⇐⇒
x2 − y2 = 8
x = −3/ y
I — Définition de C – Écriture algébrique
3
Cette dernière égalité est vraie, car y = 0 n’est pas une solution possible. En reportant dans la première ligne, on trouve
9/ y 2 − y 2 = 8
x = −3/ y
⇐⇒
9 − y4 = 8 y2
⇐⇒
x = −3/ y
y4 + 8 y2 − 9 = 0
x = −3/ y
Pour résoudre la première équation, posons Y = y 2 . Puisque y ∈ R, on a Y ∈ R+ .
Ainsi
Y 2 + 8Y − 9 = 0 ⇐⇒ Y = 1ouY = −9
La solution Y = −9 n’est pas admissible ici car elle est négative. Ainsi Y = 1, donc
y = 1, auquel cas x = −3/1 = −3, ou bien y = −1 et donc x = 3.
Le problème posé a donc pour solutions 3 − i ou −3 + i.
I.3 — Conjugué
Le conjugué est un intermédiaire de calcul commode pour obtenir les parties réelles
et imaginaires, ainsi que l’inverse d’un nombre complexe.
Définition 1.5 — Conjugué d’un complexe
Soit z = x + i y ∈ C, avec (x, y) ∈ R2 .
déf.
On appelle conjugué de z et on note z le complexe z = x − i y.
L’image de z est le symétrique par rapport à (O x) de l’image de z.
Propriété 1.6 — Conjugaison et opérations
Soit (z, z 0 ) ∈ C2
z=z
z + z0 = z + z0
zz 0 = zz 0
zn = zn
(n ∈ N)
1 1
=
z
z
Application I.0 Soit P un polynôme a coefficients réels. Si z est racine de P, alors
z est aussi racine de P.
Propriété 1.7 — Forme algébrique de l’inverse
Si z ∈ C∗ , z = x + i y avec (x, y) ∈ R2 , alors
II — Notation exponentielle
4
y
1
z
x
=
= 2
−i 2
2
z
zz
x +y
x + y2
Exercice 1
1. Donner l’inverse de 1 + i, de 4 − 5i ;
2. Expliciter la forme cartésienne de (1 + 2i)/(3 + i).
Propriété 1.8 — Soit z ∈ C :
z−z
z+z
et
Im(z) =
;
2
2i
• z est réel si et seulement si z = z et z est imaginaire pur si et seulement si
z = −z.
• Re(z) =
II — Notation exponentielle
II.1 — Définition
y
y
M
ρ
M0
θ
O
x
x
Figure I.1 — Coordonnées polaire vs. cartésiennes.
Un point M de R2 peut être repéré par plusieurs couples de réels. Les coordonnées
cartésiennes (x, y) sont les plus évidentes. Un autre couple est également fort utile.
II — Notation exponentielle
5
Théorème & Définition 2.1 — Coordonnées polaires
Soit z = x + i y ∈ C, avec (x, y) ∈ R2 .
Il existe un couple (ρ, θ ) de réels tels que
ρ ∈ R+ ,
θ ∈ R,
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
et
• Le réel ρ est unique : ρ2 = x 2 + y 2 . C’est le module de z.
• Si z = 0 alors θ est quelconque dans R.
• Si z 6= 0 alors θ est défini à 2π près. Chaque valeur possible de θ est un argument de z. L’unique réel θ0 ∈ ] −π ; π ] vérifiant la relation précédente s’appelle
l’argument principal de z. L’ensemble des arguments de z est
{θ0 + 2kπ , avec k ∈ Z}
Dém. Soit z = x + i y ∈ C, avec (x, y) ∈ R2 . Posons donc ρ =
p
x 2 + y 2.
Si (x, y) = (0, 0) alors ρ = 0 et pour θ quelconque dans R on a
x = ρ cos θ
et
y = ρ sin θ
‹
x y
Supposons maintenant (x, y) 6= (0, 0). Alors le point M
,
est sur le cercle
ρ ρ
trigonométrique. D’après la définition d’un angle, il existe alors un réel θ ∈ R tel que
M ait pour coordonnées cartésienne (cos θ , sin θ ). C’est-à-dire que
0
ou encore
y
ρ
x
ρ
et
sin θ =
x = ρ cos θ
et
y = ρ sin θ
cos θ =

Toujours dans le cas (x, y) 6= (0, 0). Si (ρ0 , θ 0 ) est un autre couple de réel vérifiant la
même propriété, alors
2
ρ0 = x 2 + y 2 = ρ2 =⇒ ρ0 = ρ
car ρ > 0 et ρ0 > 0.
Par ailleurs, en utilisant les formules d’addition des cosinus, on trouve cos(θ − θ 0 ) = 1
et de même sin(θ − θ 0 ) = 0, ce qui prouve que θ − θ 0 = 2kπ (k ∈ Z).
ƒ
II — Notation exponentielle
6
II.2 — Notation exponentielle
Intéressons nous momentanément à z(θ ) = cos θ + i sin θ . D’après les formules de
trigonométries usuelles
∀(θ , θ 0 ) ∈ R,
z(θ ) z(θ 0 ) = z(θ + θ 0 )
C’est la propriété caractéristique de la notation puissance. On pourrait donc écrire
cos θ + i sin θ = (?)θ
avec (?) un complexe constant à déterminer. Pour des raisons d’Analyse, on est
amené à noter (?) = ei , avec e la base de l’exponentielle réelle. En conclusion
Théorème 2.2 — Notation exponentielle
Soit z ∈ C∗ . Il existe un couple (ρ, θ ) ∈ R+ × R tel que
z = ρeiθ = ρ(cos θ + i sin θ )
déf.
Valeurs remarquables
arg(1) ≡ 0 [2π ]
arg(−1) ≡ π [2π ]
π
[2π ]
2
3π
arg(−i) ≡
[2π ]
2
arg(i) ≡
Propriété 2.3 — D’après ce qui précède, on a la relation fondamentale
ei(α+β ) = eiα eiβ
et donc
1
eiα
i(α−β )
e
=
eiα
eiβ
n
eiα = einα (n ∈ Z)
e−iα =
Propriété 2.4 — Cas d’égalité
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 , de notations exponentielles z = ρeiα et z 0 = ρ0 eiβ
II — Notation exponentielle
z = z0
⇐⇒
ρ = ρ0
et
7
∃k ∈ Z, α = β + 2kπ
II.3 — Module
Le module d’un nombre réel coïncide avec sa valeur absolue.
Géométriquement, |z| est la distance
entre l’image de z et l’origine. De même, si z
0
0
et z sont deux complexes, z − z est la distance entre les images de z et z 0 .
Propriété 2.5 — Propriétés du module
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 :
|z|
z
0 = 0
z
|z |
|z| = |z|
zz 0 = |z| z 0 |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
|Re (z)| ¶ |z|
|Im (z)| ¶ |z|
Dém. Pour l’avant
dernière : x 2 ¶ x 2 + y 2 , puis on prend la racine carrée pour
p
trouver |x| ¶ x 2 + y 2 .
ƒ
Théorème 2.6 — Inégalité triangulaire
Si z et z 0 sont deux complexes, alors
z + z 0 ¶ |z| + z 0 et
|z| − z 0 ¶ z − z 0 Dém. Pour la première, élever les deux membres au carré et utiliser le conjugué et
|Re(z)| ¶ |z|.
Pour la seconde, on appliquer la première aux sommes z = (z − z 0 ) + z 0 et z 0 =
(z 0 − z) + z.
ƒ
Corollaire 2.7 — Soit (a, b, c) ∈ C3 :
|c − a| ¶ |b − a| + |c − b|
Au sens strict, c’est ce corollaire qu’on devrait appeler « inégalité triangulaire ». Si
on considère trois points A, B et C du plan, alors l’inégalité précédente se traduit en
termes de distances par
AB ¶ AC + C B
II — Notation exponentielle
C
8
AB ¶ AC + C B
A
B
La ligne droite AB est un chemin plus court
entre A et B que la ligne brisée ABC.
Figure I.2 — Interprétation de l’inégalité triangulaire
II.4 — Argument
Soit z ∈ C∗ . Il existe un unique réel r ∈ R∗+ et un réel θ ∈ R tel que z = reiθ .
Propriété 2.8 — Soit (z, z 0 ) ∈ (C∗ )2 .
On note parfois arg(z) un argument de z. Dans ce cas
[2π ]
• arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )
• arg(az) = arg(z)
[2π ]
• arg(az) = π + arg(z)
• arg(z n ) = n arg(z)
• arg(1/z) = − arg(z)
si a ∈ R∗+
[2π ]
[2π ]
[2π ]
0
• arg(z/z ) = arg(z) − arg(z 0 )
• arg(z) = − arg(z)
si a ∈ R∗−
[2π ]
[2π ]
Dans ce sens, les propriétés de arg peuvent faire penser à celles de log. Toutefois, il
faut bien prendre garde à ce que arg n’est pas une application de C dans R! En effet
à un complexe elle associe un ensemble de réels.
(1 + i)4
Exercice 2
1. Donner la forme trigonométrique de
(1 − i)2
p
2. puis celle de ( 3 + i)6 .
III — Applications des nombres complexes
passage
égalité
9
Notation cartésienne
Notation polaire
z = x + iy
z = reiθ
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z 0 ⇐⇒ x = x 0 et y = y 0
r2 = x2 + y2
y
y
x
tan θ =
cos θ =
sin θ =
x
r
r
0
0
0
z = z ⇐⇒ r = r et θ ≡ θ [2π ]
conjugué
z = x − iy
0
somme
z + z = (x + x 0 ) + i ( y + y 0 )
Produit
z × z 0 = (x x 0 − y y 0 ) + i (x y 0 + x 0 y)
puissance
...
x − iy
z
1
=
= 2
inverse
z
zz
x + y2
quotient
...
z = re−i θ
...
0
0
z × z = r r 0 ei(θ +θ )
z n = r n einθ
1 1 −i θ
= e
z
r
z
r i(θ −θ 0 )
= 0e
z0
r
Figure I.3 — Opérations en notation cartésienne et polaire
III — Applications des nombres complexes
III.1 — Exponentielle d’un nombre complexe
Définition 3.1 — Exponentielle complexe
Soit z ∈ C. On note z = x + i y avec (x, y) ∈ R.
On définit l’exponentielle de z par
déf.
exp(z) = exp(x) ei y = e x (cos( y) + i sin( y))
Notez qu’à droite de l’égalité tous les termes sont bien défini. Notez également
que exp(z) est donné sous forme trigonométrique : son module est exp(x) et un
argument est y.
Cette exponentielle complexe vérifie les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle.
En particulier
III — Applications des nombres complexes
10
Propriété 3.2 — Soit z et z 0 deux complexes. On a
exp(z + z 0 ) = exp(z) exp(z 0 )
Dém. En effet, si z = x + i y et z = x 0 + i y 0 alors
0
0
exp(z + z 0 ) = exp(x + x 0 )ei( y+ y ) = exp(x) exp(x 0 )ei y ei y = exp(z) exp(z 0 )
ƒ
Par suite toutes les propriétés algébriques de l’exponentielle sont conservées. Nous
verrons que les propriétés analytiques (continuité, dérivabilité) le sont aussi, dans
un sens à préciser.
III.2 — Trigonométrie
p
L’expression a cos(x) + b sin(x) peut se simplifier en mettant en facteur a2 + b2 .
En effet

‹
p
a
b
2
2
cos(x) + 2
sin(x)
a cos(x) + b sin(x) = a + b
a2 + b2
a + b2
Comme le nombre complexe
ei α . On a donc
∃α ∈ R
a2
a2
a
b
+i 2
est de module 1, il peut s’écrire
2
+b
a + b2
a
= cos α
+ b2
et
a2
b
= sin α
+ b2
soit
‹
a
b
+
a cos(x) + b sin(x) =
cos(x) + 2
sin(x)
a2 + b2
a + b2
= A(cos(x) cos(α) + sin(x) sin(α))
p
a2
b2

= Acos(x + α)
avec A =
p
a2 + b2 .
III.3 — Formules d’Euler
Propriété 3.3 — Soit θ ∈ R. Par définition cos θ = Re(eiθ ) et sin θ = Im(eiθ )
déf.
Cette propriété se réécrit plus fréquemment sous la forme
déf.
III — Applications des nombres complexes
11
Proposition 3.4 — Formules d’Euler
Soit θ ∈ R,
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Application I.0 — Linéarisation de cosn (x ) et sinn (x )
Les expressions en cosn (x) et sinn (x) sont parfois pénibles à manipuler (penser par
exemple à une recherche de primitive). On peut les linéariser grâce aux formules
d’Euler. Voici un exemple
4
cos (x) =
=
=
=
cos4 (x) =
4
eix + e−ix
formule d’Euler
2
1 i4x
e + 4ei3x e−ix + 6ei2x e−2ix + 4eix e−3ix + ei−4x
4
2
binôme de Newton
1 i4x
e + 4ei2x + 6 + 4e−2ix + ei−4x
4
2
1
(2 cos(4x) + 8 cos(2x) + 6)
formule d’Euler
24
1
1
3
cos(4x) + cos(2x) +
8
2
8
Application I.0 — Méthode de l’arc moitié
Soit θ ∈ R. Quel est le module de 1 + eiθ ?
On utilise la méthode de l’arc moitié, qui consiste à mettre en facteur eiθ /2 ce qui
donne
1 + eiθ = eiθ /2 ei−θ /2 + eiθ /2 = 2eiθ /2 cos (θ /2)
Ainsi 1 + eiθ = 2 |cos (θ /2)|. Attention à la valeur absolue !
Soit (a, b) ∈ R2 . Quel est le module de eia + eib ?
i(a+b)/2
La
. On trouve
méthode
de l’arc moitié consiste ici à mettre en facteur e
ia
ib
e + e = 2 |cos ((a + b)/2)|.
III — Applications des nombres complexes
12
III.4 — Formule de Moivre
Proposition 3.5 — Formules de Moivre
Soit θ ∈ R. On a
einθ = (cos θ + i sin θ )n = cos(nθ ) + i sin(nθ )
ou de manière équivalente
”
—
cos(nθ ) = Re (cos θ + i sin θ )n
”
—
sin(nθ ) = Im (cos θ + i sin θ )n
Cette formule s’utilise avec le binôme de Newton pour exprimer cos 2θ , sin 3θ , etc.
en fonction de cos θ et sin θ . C’est le calcul inverse de la linéarisation. Par exemple
”
—
sin(3θ ) = Im (cos θ + i sin θ )3
= Im(cos3 θ + 3i cos2 θ sin θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ ) binôme
sin(3θ ) = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ