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Nombres complexes
Bcpst 1 — 27 février 2017
I — Définition de C– Écriture algébrique
I.1 — Définition
Définition 1.1 — Nombres complexes
On appelle ensemble des nombres complexes et on note C l’ensemble R2 muni des deux
opérations suivantes
∀(x,y)∈R2,∀(x0,y0)∈R2,
(x,y) + (x0,y0)déf. = (x x0,y y0)addition
(x,y)×(x0,y0)déf. = (x x0−y y0,x y0+x0y)multiplication
Ces deux opérations ont les propriétés usuelles des opérations sur les nombres
réels : commutatitivité, associativité, distributivité de la multiplication par rapport
à l’addition, existence d’un élément neutre pour + et pour × , existence d’un opposé
pour l’addition, de l’inverse d’un complexe non nul pour la multiplication.
I.2 — Notation algébrique
Ces opérations sont plus simples d’emploi en utilisant les notations
1pour (1,0)ipour (0,1)x+iypour (x,y)
On constate alors que l’on peut calculer «comme dans R » en adoptant la convention
i×i=−1.
Remarque I.0 Toutefois, on ne peut pas définir sur C de relation d’ordre qui
prolonge la relation d’ordre de R . En eet, supposons qu’une telle relation d’ordre
existe. Alors le complexe iest soit positif, soit négatif.

I — Définition de C– Écriture algébrique 2
Si i¾0 alors i×i¾0 , donc −1¾0 , ce qui est absurde. Si i¶0 alors i×i¾0
également (en multipliant par un nombre négatif, on modifie le sens de l’inégalité),
donc −1¾0, ce qui est également absurde.
On vient de montrer par l’absurde qu’une telle relation d’ordre n’existe pas.
Définition 1.2 — Partie réelle, partie imaginaire
Soit z un nombre complexe. Il existe un unique couple (x,y) de réels tels que z=x+iy .
Le réel xest la partie réelle de znotée Re(z)et yest sa partie imaginaire, notée Im(z).
Si Re(z) = 0 , on dit que z est un imaginaire pur et si Im(z) = 0 on dit que z est un réel.
On identifie le sous-ensemble {(x,0)avec x∈R} de R2 avec R . L’ensemble des imagi-
naires purs est noté iR.
Propriété 1.3 — Propriété des parties réelles et imaginaires
Soit (z,z0)∈C2
Re(z+z0) = Re(z) + Re(z0)et Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0)
Si λ∈Ralors
Re(λz) = λRe(z)et Im(λz) = λIm(z)
Théorème 1.4 — Cas d’égalité
Soit (x,x0,y,y0)∈R4:
x+iy=x0+iy0⇐⇒ x=x0et y=y0
Il est équivalent de donner un complexe z=x+i y ou un point M(x,y) du plan
R2. On dit que zest l’axe de Mou que Mest l’image de z.
Application I.0 — Trouver les nombres complexes ztels que z2=8−6i.
Pour cela, on pose z=x+iy , avec (x,y)∈R2 . Comme z2= (x2−y2) + 2ix y , en
égalant les parties réelles et imaginaires, on a
x2−y2=8
2x y =−6⇐⇒ x2−y2=8 x=−3/y

I — Définition de C– Écriture algébrique 3
Cette dernière égalité est vraie, car y=0 n’est pas une solution possible. En repor-
tant dans la première ligne, on trouve
9/y2−y2=8
x=−3/y⇐⇒ 9−y4=8y2 x=−3/y⇐⇒ y4+8y2−9=0 x=−3/y
Pour résoudre la première équation, posons Y=y2 . Puisque y∈R , on a Y∈R+ .
Ainsi
Y2+8Y−9=0⇐⇒ Y=1ouY=−9
La solution Y=−9n’est pas admissible ici car elle est négative. Ainsi Y=1, donc
y=1, auquel cas x=−3/1=−3, ou bien y=−1et donc x=3.
Le problème posé a donc pour solutions 3−iou −3+i.
I.3 — Conjugué
Le conjugué est un intermédiaire de calcul commode pour obtenir les parties réelles
et imaginaires, ainsi que l’inverse d’un nombre complexe.
Définition 1.5 — Conjugué d’un complexe
Soit z=x+iy∈C, avec (x,y)∈R2.
On appelle conjugué de zet on note zle complexe zdéf. =x−i y.
L’image de zest le symétrique par rapport à (Ox)de l’image de z.
Propriété 1.6 — Conjugaison et opérations
Soit (z,z0)∈C2
z=z z +z0=z+z0
zz0=zz0zn=zn(n∈N)1
z=1 z
Application I.0 Soit P un polynôme a coecients réels. Si z est racine de P , alors
zest aussi racine de P.
Propriété 1.7 — Forme algébrique de l’inverse
Si z∈C∗,z=x+iyavec (x,y)∈R2, alors

II — Notation exponentielle 4
1
z=z zz =x x2+y2−iy x2+y2
Exercice 1 1. Donner l’inverse de 1+i, de 4−5i;
2. Expliciter la forme cartésienne de (1+2i)/(3+i).
Propriété 1.8 — Soit z∈C:
•Re(z) = z+z
2et Im(z) = z−z 2i;
•z est réel si et seulement si z=z et z est imaginaire pur si et seulement si
z=−z.
II — Notation exponentielle
II.1 — Définition
x
y
O
M
x
y
θ
ρ
M0
Figure I.1 — Coordonnées polaire vs. cartésiennes.
Un point M de R2 peut être repéré par plusieurs couples de réels. Les coordonnées
cartésiennes (x,y) sont les plus évidentes. Un autre couple est également fort utile.

II — Notation exponentielle 5
Théorème & Définition 2.1 — Coordonnées polaires
Soit z=x+iy∈C, avec (x,y)∈R2.
Il existe un couple (ρ,θ)de réels tels que
ρ∈R+,θ∈R,x=ρcosθet y=ρsinθ
•Le réel ρest unique : ρ2=x2+y2. C’est le module de z.
•Si z=0alors θest quelconque dans R.
• Si z6=0 alors θ est défini à 2π près. Chaque valeur possible de θ est un argu-
ment de z . L’unique réel θ0∈]−π;π] vérifiant la relation précédente s’appelle
l’argument principal de z. L’ensemble des arguments de zest
{θ0+2kπ,avec k∈Z}
Dém. Soit z=x+iy∈C, avec (x,y)∈R2. Posons donc ρ=px2+y2.
Si (x,y) = (0,0)alors ρ=0et pour θquelconque dans Ron a
x=ρcosθet y=ρsinθ
Supposons maintenant (x,y)6= (0,0) . Alors le point M0x
ρ,y ρ
est sur le cercle
trigonométrique. D’après la définition d’un angle, il existe alors un réel θ∈R tel que
Mait pour coordonnées cartésienne (cosθ,sinθ). C’est-à-dire que
cosθ=x
ρet sinθ=y ρ
x=ρcosθet y=ρsinθou encore
Toujours dans le cas (x,y)6= (0,0) . Si (ρ0,θ0) est un autre couple de réel vérifiant la
même propriété, alors
ρ02=x2+y2=ρ2=⇒ρ0=ρcar ρ>0et ρ0>0.
Par ailleurs, en utilisant les formules d’addition des cosinus, on trouve cos(θ−θ0) = 1
et de même sin(θ−θ0) = 0, ce qui prouve que θ−θ0=2kπ(k∈Z). 