Nombres complexes
Bcpst 1 27 février 2017
I — Définition de C– Écriture algébrique
I.1 — Définition
Définition 1.1 Nombres complexes
On appelle ensemble des nombres complexes et on note
C
l’ensemble
R2
muni des deux
opérations suivantes
(x,y)R2,(x0,y0)R2,
(x,y) + (x0,y0)déf.
= (x x0,y y0)addition
(x,y)×(x0,y0)déf.
= (x x0y y0,x y0+x0y)multiplication
Ces deux opérations ont les propriétés usuelles des opérations sur les nombres
réels : commutatitivité, associativité, distributivité de la multiplication par rapport
à l’addition, existence d’un élément neutre pour
+
et pour
×
, existence d’un opposé
pour l’addition, de l’inverse d’un complexe non nul pour la multiplication.
I.2 — Notation algébrique
Ces opérations sont plus simples d’emploi en utilisant les notations
1pour (1,0)ipour (0,1)x+iypour (x,y)
On constate alors que l’on peut calculer «comme dans
R
» en adoptant la convention
i×i=1.
Remarque I.0
Toutefois, on ne peut pas définir sur
C
de relation d’ordre qui
prolonge la relation d’ordre de
R
. En eet, supposons qu’une telle relation d’ordre
existe. Alors le complexe iest soit positif, soit négatif.
I — Définition de C– Écriture algébrique 2
Si
i¾0
alors
i×i¾0
, donc
1¾0
, ce qui est absurde. Si
i0
alors
i×i¾0
également (en multipliant par un nombre négatif, on modifie le sens de l’inégalité),
donc 1¾0, ce qui est également absurde.
On vient de montrer par l’absurde qu’une telle relation d’ordre n’existe pas.
Définition 1.2 Partie réelle, partie imaginaire
Soit
z
un nombre complexe. Il existe un unique couple
(x,y)
de réels tels que
z=x+iy
.
Le réel xest la partie réelle de znotée Re(z)et yest sa partie imaginaire, notée Im(z).
Si
Re(z) = 0
, on dit que
z
est un imaginaire pur et si
Im(z) = 0
on dit que
z
est un réel.
On identifie le sous-ensemble
{(x,0)avec xR}
de
R2
avec
R
. L’ensemble des imagi-
naires purs est noiR.
Propriété 1.3 Propriété des parties réelles et imaginaires
Soit (z,z0)C2
Re(z+z0) = Re(z) + Re(z0)et Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0)
Si λRalors
Re(λz) = λRe(z)et Im(λz) = λIm(z)
Théorème 1.4 Cas d’égalité
Soit (x,x0,y,y0)R4:
x+iy=x0+iy0x=x0et y=y0
Il est équivalent de donner un complexe
z=x+i y
ou un point
M(x,y)
du plan
R2. On dit que zest l’axe de Mou que Mest l’image de z.
Application I.0 Trouver les nombres complexes ztels que z2=86i.
Pour cela, on pose
z=x+iy
, avec
(x,y)R2
. Comme
z2= (x2y2) + 2ix y
, en
égalant les parties réelles et imaginaires, on a
x2y2=8
2x y =6x2y2=8
x=3/y
I — Définition de C– Écriture algébrique 3
Cette dernière égalité est vraie, car
y=0
n’est pas une solution possible. En repor-
tant dans la première ligne, on trouve
9/y2y2=8
x=3/y9y4=8y2
x=3/yy4+8y29=0
x=3/y
Pour résoudre la première équation, posons
Y=y2
. Puisque
yR
, on a
YR+
.
Ainsi
Y2+8Y9=0Y=1ouY=9
La solution Y=9n’est pas admissible ici car elle est négative. Ainsi Y=1, donc
y=1, auquel cas x=3/1=3, ou bien y=1et donc x=3.
Le problème posé a donc pour solutions 3iou 3+i.
I.3 — Conjugué
Le conjugué est un intermédiaire de calcul commode pour obtenir les parties réelles
et imaginaires, ainsi que l’inverse d’un nombre complexe.
Définition 1.5 Conjugué d’un complexe
Soit z=x+iyC, avec (x,y)R2.
On appelle conjugué de zet on note zle complexe zdéf.
=xi y.
L’image de zest le symétrique par rapport à (Ox)de l’image de z.
Propriété 1.6 Conjugaison et opérations
Soit (z,z0)C2
z=z z +z0=z+z0
zz0=zz0zn=zn(nN)1
z=1
z
Application I.0
Soit
P
un polynôme a coecients réels. Si
z
est racine de
P
, alors
zest aussi racine de P.
Propriété 1.7 Forme algébrique de l’inverse
Si zC,z=x+iyavec (x,y)R2, alors
II — Notation exponentielle 4
1
z=z
zz =x
x2+y2iy
x2+y2
Exercice 1 1. Donner l’inverse de 1+i, de 45i;
2. Expliciter la forme cartésienne de (1+2i)/(3+i).
Propriété 1.8 Soit zC:
Re(z) = z+z
2et Im(z) = zz
2i;
z
est réel si et seulement si
z=z
et
z
est imaginaire pur si et seulement si
z=z.
II — Notation exponentielle
II.1 — Définition
x
y
O
M
x
y
θ
ρ
M0
Figure I.1 — Coordonnées polaire vs. cartésiennes.
Un point
M
de
R2
peut être repéré par plusieurs couples de réels. Les coordonnées
cartésiennes
(x,y)
sont les plus évidentes. Un autre couple est également fort utile.
II — Notation exponentielle 5
Théorème & Définition 2.1 Coordonnées polaires
Soit z=x+iyC, avec (x,y)R2.
Il existe un couple (ρ,θ)de réels tels que
ρR+,θR,x=ρcosθet y=ρsinθ
Le réel ρest unique : ρ2=x2+y2. C’est le module de z.
Si z=0alors θest quelconque dans R.
Si
z6=0
alors
θ
est défini à
2π
près. Chaque valeur possible de
θ
est un argu-
ment de
z
. L’unique réel
θ0]π;π]
vérifiant la relation précédente s’appelle
l’argument principal de z. L’ensemble des arguments de zest
{θ0+2kπ,avec kZ}
Dém. Soit z=x+iyC, avec (x,y)R2. Posons donc ρ=px2+y2.
Si (x,y) = (0,0)alors ρ=0et pour θquelconque dans Ron a
x=ρcosθet y=ρsinθ
Supposons maintenant
(x,y)6= (0,0)
. Alors le point
M0x
ρ,y
ρ
est sur le cercle
trigonométrique. D’après la définition d’un angle, il existe alors un réel
θR
tel que
Mait pour coordonnées cartésienne (cosθ,sinθ). C’est-à-dire que
cosθ=x
ρet sinθ=y
ρ
x=ρcosθet y=ρsinθou encore
Toujours dans le cas
(x,y)6= (0,0)
. Si
(ρ0,θ0)
est un autre couple de réel vérifiant la
même propriété, alors
ρ02=x2+y2=ρ2=ρ0=ρcar ρ>0et ρ0>0.
Par ailleurs, en utilisant les formules d’addition des cosinus, on trouve
cos(θθ0) = 1
et de même sin(θθ0) = 0, ce qui prouve que θθ0=2kπ(kZ).
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