Exercice 1 : Étude d`un pendule d`Euler (suite) Exercice 2

Exercice 1 : Étude d'un pendule d'Euler (suite)
1. Déterminer le couple moteur CM
1
1
C M = m2 a2 α̈+ m2 a sin α( g− ẍ)
3
2
2. Déterminer l'effort FV du vérin
a
F V =(m 1+ m 2) ẍ− m 2( α̈ sin α+ α̇ 2 cos α)
2
Exercice 2 : convoyeur à cartons
1. Déterminer au sommet A du rectangle schématisant le carton, le torseur dynamique du carton 2
dans son mouvement rapport au bâti 0.
⃗
δ( A , 2 / 0)=−mh γ 0 ⃗z
2. Déterminer la valeur maximum de l'accélération
•
γ0 du tapis 1, pour que le carton 2 :
d'une part, ne glisse pas sur le tapis du convoyeur,
γ0 = f g
•
d'autre part, ne bascule pas sur le tapis du convoyeur.
a
γ0 = g
h
Exercice 3 : Manipulateur de cd
1. Déterminer la vitesse angulaire maximale du bras 1 si le robot met 1 s pour faire un demi tour, avec
=0,3 s .
−1
α max
˙ = π =4,5 rad.s
1−τ
2. Justifier que le solide 2 ne change pas d'orientation. En déduire la nature de son mouvement.
Translation circulaire
3. Sur une figure, représenter les actions mécaniques des brins 1 et 2 sur les poulies, en le justifiant.
T 2 ± f.π
=e
T1
4. Écrire l'équation du moment dynamique en A appliqué à 2.
R(T 1−T 2)=−m2 b.L.( α̈ sin α+ α̇2 cos α)
5. Écrire l'équation du moment dynamique en O appliqué à {1+2}.
R(T 1−T 2)+ (m1 L+ m 2 . a) cosα g + C m=−m2 b.L.( α̈ sin α+ α̇2 cos α)+ ( m 2 . L2 + C) α̈
6. Déduire des équations précédentes le couple moteur C m en fonction de a, de ses dérivées et des
données du problème. Exprimer Cm sur les différentes parties de la loi en trapèze.
C m=(m1 L+ m2 . a )cos α g + ( m2 . L2 + C) α̈
Exercice 4 : Dynamique robot
1. Déterminer le couple que le moteur entre 0 et {2+3+4} doit délivrer pour faire tourner le robot selon
O1, 
z0 .
Cm= ψ̈( A5 sin 2 θ+ m5 a 25)+ A5 ψ̇ θ̇ sin 2 θ
Exercice 5 : Étude d'un rouleau sur un coin mobile
1. Déterminer les torseurs cinématiques des mouvements des solides 1 et 2 par rapport à R G.
⃗
Ω 2/0=β̇ ⃗z ; ⃗
Ω 1/0=⃗
0 ; ⃗
V ( A ,1 /0)= ẋ ⃗x ; ⃗
V (E , 2/0)= ẋ ⃗x
⃗
V ( D , 2 /0)= ẋ ⃗x −r β̇ y⃗
;
1
2. Caractériser les torseurs d'actions mécaniques
⃗
R (0/1)=Y 0 ⃗y ; ⃗
M O (0 /1)= N 0 ⃗z
⃗
R (1/2)= X ⃗x +Y ⃗y ; ⃗
M (1/2)=⃗0
12
12
E
⃗
P 1=−m 1 . g ⃗y ; ⃗
P 2 =−m2 . g ⃗y
3. Préciser les équations scalaires qui permettent de déterminer les mouvements
(E , ⃗z )
x)
• On isole 1+2 et TRD sur (O , ⃗
4. Calculer ẏ et β̇
•
On isole 2 et TMD en
m2 r 2
.(3 β̇−2. cos α ẋ)=m2 g r sin α . t+ cte (1) avec cte =0 pour t=0
2
(m1 +m2 ) ẋ−m2 r β̇cos α=0 (2) avec la constante d'intégration nulle du fait des conditions initiales.
Des deux équations précédentes on obtient :
ẋ=
m2 g sin 2 α t
2
3 m1+ m2 (3−2 cos α)
et
β̇=
5. Déterminer la valeur limite de
soient satisfaites.
tan α⩽ f
2.( m1 + m2) g sin α t
2
r (3 m1 + m2(3−2 cos α))
α pour que les conditions dynamiques de non glissement en E
(3 m1+ m2 )
(m1 +m2 )
Exercice 6 : Barrières de parking
1. Déterminer le couple que le moteur doit fournir pour ouvrir la barrière, dans chaque configuration.
Barrière de type A :
C MA= L cos α m1 g +C A α̈ avec C A=8 M.L
3
Barrière de type B :
4
L
C m= m L 2 α̈ +3 m g cos α
3
2
2
Exercice 8 :ETUDE D'UN MANDRIN ANTICENTRIFUGE
1- Présentation
Les machines-outils et centres d’usinage actuels ont de
grandes capacités de production.
En dehors du progrès décisif de la « commande numérique
» CN, ces machines sont en fait l’aboutissement d’une
progressive évolution technologique qui a consisté
principalement à élever les vitesses de coupe, augmenter la
précision et la durée de vie des outils et des broches, mieux
assurer la fixation des pièces alors même que les efforts de
coupe progressaient largement.
L’augmentation sensible des vitesses de rotation et des
accélérations des broches fut une des améliorations parmi
les plus importantes et les plus délicates à maîtriser. Furent
aussi largement développées les solutions hydrauliques,
plus fiables dans la mise en œuvre des efforts et le contrôle
de leur variation.
C’est dans cette perspective que se situe l’étude du
mandrin anti-centrifuge d’un tour à commande numérique,
dont un dessin simplifié est représenté sur la figure 1.
2 – modèle
Repères
R0 O , x0, y0, z0  un repère galiléen lié au bâti 0 du tour.
R0 O , x , 
y , z0  un repère lié au corps du mandrin 1, en liaison pivot d’axe O , z0  avec le bâti 0

 1/0= z0 où ω est une constante positive dans la phase de mouvement étudiée.
Levier 3 avec sa masselotte :
Le levier 3 a une liaison pivot sans frottement d’axe

OP =a 
x
P , 
y  avec le corps du mandrin 1.
a = 86mm
Ce levier est immobile par rapport au corps du mandrin, dans la position de la figure 1.
Masse : m3 = 1,145 kg

PG 3=x 3 
x z 3 z0 avec x 3=−8 mm et z 3 =−18 mm
x ,
y , z0 
Matrice d’inertie au point P, dans la base 
Centre d’inertie G3 :
[
A
I P 3= 0
−E
0 −E
B 0
0 C
]

x ,
y , z0 
A = 738.10-6 kg.m2 B = 912.10-6 kg.m2 C = 423.10-6 kg.m2 E = 117.10-6 kg.m2
Porte mors 4
Le porte mors 4 a une liaison glissière sans frottement de direction ⃗
x avec le corps du mandrin 1. La
x
liaison entre le levier 3 et le porte mors 4 est ponctuelle sans frottement de normale K , 
c= z0 . 
PK c = 11 mm masse : m4 = 0,6 kg
Centre d’inertie G4 : 
x4 = 82 mm z4 = 33 mm
OG4 =x 4 x z 4 z0
Mors 5
Le mors 5, assimilé à un parallélépipède rectangle, est positionné par rapport au porte mors 4 par des stries
à 90 degrés, de direction ⃗
y . Le maintien du contact est assuré par deux vis.
Masse : m5 = 0,9 kg
Centre d’inertie G5 :

OG5=x 5 x z 5 z0
x5 = 70 mm z5 = 78 mm
Le mandrin possède trois mors à 120° avec des dispositifs de serrage identiques.
La centrale hydraulique du tour crée sur la tête du vérin 2 un effort axial de 32400 N (alors Z 23 = -10800).
La liaison entre la tête du vérin 2 et le levier 3 est ponctuelle sans frottement de normale
J , z0  et
b=
PJ . 
x avec b = 44 mm
On supposera qu’aucun outil n’agit sur la pièce 6 et on adoptera pour modélisation des pressions de contact,
d’une part de la pièce 6 sur le mors 5, et d’autre part, du porte mors 4 sur le mors 5 celles indiquées sur la
figure 2.
Dans toute la résolution du problème, l’action mécanique de la pesanteur est négligée.
Partie A : Calcul de l'effort de serrage
1. Déterminer la position du centre d'inertie G de l'ensemble constitué par le porte-mors 4 et le mors 5
(m 3 +m 4 )⃗
OG=m 4⃗
OG4 +m 5⃗
OG 5 d'où x G =74,8 mm et y G=60mm
2. Écrire le théorème de la résultante dynamique en projection sur
dans son mouvement par rapport au bâti 0.
x
on isole {4+5} et on applique le TRD suivant ⃗
x appliqué à l'ensemble {4, 5}

(m4 + m5). A(G ,4 +5/ 0) . ⃗x =−(m4 + m5 ). x g . ω2=F S + X K34
3. Écrire le théorème du moment dynamique au point P en projection sur
son mouvement par rapport au bâti 0.
y)
on isole {3} et on applique le TMD suivant (P , ⃗
y appliqué au levier 3 dans

(E +m 3 . a.z 3).ω 2=b.F 0 +c.X K34
4. En déduire l'effort de serrage Fs entre le mors et la pièce; Tracer le graphe Fs en fonction de ω pour
une fréquence comprise entre 0 et 3000 tr/min
b
1
F S = F 0− (x g (m 4+ m 5)+( E+ m 3 . a . z 3))ω 2
c
c
F S =43.200+ 59,610−3 ( N )
Partie B : Calcul de la tension des vis
La fréquence de rotation du mandrin est de 3000tr/min
1. Déterminer le torseur d'action mécanique du porte-mors 4 sur le mors 5 en un point de son axe
central
R= √ (2)( F s + m5 . x5 . ω2)=78200 N
2. En déduire la tension des vis
F1=
L2
(F s +m5 . x 5 .ω 2)=40 485 N
L1+ L2
;
F 2=
L1
(F s + m5 . x 5 . ω2 )=14 453 N
L1 + L 2
Exercice 9 : Étude d'un aérogénérateur
Un aérogénérateur est représenté schématiquement
ci-contre.
Il est constitué :
•
d’un rotor 1 appelé aussi hélice qui tourne autour d’un
axe horizontal (O , x⃗0) par rapport au bâti 0
•
de deux pales, pouvant chacune s’orienter par rapport
au rotor 1, une seule des deux pales est représentée,
elle est numérotée 2 et son axe d’orientation par
rapport au rotor est ( A , z⃗1)
•
de deux ressorts, un par pale, celui de la pale 2 est
seul représenté, il est noté (R)
Soit
bâti.
θ l’angle ( y⃗0, y⃗1) positionnant le rotor par rapport au
( y⃗1, y⃗2) d’orientation de la pale par rapport
Soit α l’angle
au rotor.
⃗
OA=a y⃗1 , le point B est défini par ⃗
AB=−a y⃗2−b z⃗2
L’action du ressort sur la pale est une force ⃗
F r =F r x⃗1 appliquée en B avec F r=−k.a. α ( l’angle
α reste petit )
Le centre de gravité de la pale est G défini par ⃗
AG=x x⃗2+ y y⃗2+ z z⃗2
g =−g z⃗0 sa masse étant M et sa matrice d’inertie en A est
La pale est soumise à l’action de la pesanteur ⃗
Le point A est défini par
(
A −F −E
−F
B −D
−E −D C
)
L’action du vent sur la pale est modélisée par un glisseur de résultante
central passant par K
Le point K est défini par
⃗
AK =λ x⃗2+ μ y⃗2+ ν z⃗2
L’action de la génératrice de courant sur le rotor est un couple
Les distances
⃗
F v = F x x⃗2+ F y y⃗2 et d’axe
C E x⃗0
λ , μ , ν , x , y , z , a ,b sont constantes.
1. Déterminer la loi du mouvement liant θ et α . On considérera que le régime permanent est
établi et donc que θ̇=ω=cte et α=cte .
On pose :
σ x =ω ( A cos α+ F sin α)+ m.a.ω . y
σ y =ω(F cos α+ Asin α)−m.a. ω . x
σ z =−ω(−E cos α+ D sin α)
équation de mouvement :
ω(σ y cos α+ σ x sin α)=a.F r cos α−m.g.sin θ( x cos α−y sin α)−μ F x + λ F y
Le système de régulation est conçu pour éviter les mouvements brusques de la pale en fonctions des
caprices du vent.
Cette régulation purement mécanique, pratiquement indépendante des actions aérodynamiques, a pour
principe de rendre prépondérants les effets d’inertie et l’action des ressorts devant les effets du vent.
Pour réaliser ceci, la fixation de la pale a été étudiée pour rendre le point K le plus proche possible de l’axe
de la liaison pivot ( λ et μ très petits ), ce qui permet de considérer comme négligeable le moment par
rapport à l’axe ( A , z⃗1) des actions du vent devant le moment de l’action du ressort.
2. En tenant compte de cette remarque, écrire l’équation simplifiée du mouvement de la pale.
ω(σ y cos α+ σ x sin α)=a.F r cos α−m.g.sin θ( x cos α−y sin α)
3. A quelles conditions les efforts appliqués par les ressorts sur les pales sont-ils indépendants de la
position angulaire θ du rotor quel que soit le calage angulaire α .
Fr indépendant de θ si x=0 et y=0
4. Écrire la nouvelle équation du mouvement simplifiée prenant en compte ces conditions.
ω(σ y cos α+ σ x sin α)=a.F r cos α
( A−B)
a.F r cos α=ω 2 (
sin 2 α+ F cos 2 α)
2
5. Écrire l’équation de dynamique qui permettrait de relier l’action du vent au couple C E fourni à la
génératrice.
Exercice 10 : Étude d'un ébavureur
Un ébavureur est constitué d’une caisse remplie de sable abrasif dans lequel on vient plonger la pièce brute
de fonderie à ébavurer.
Cette caisse est montée sur des rails, lui permettant une translation de direction x0 ® , et , par une liaison
pivot d’axe ( A , z⃗0) , supporte un cylindre excentrique E, de masse m, entraîné à vitesse
de rotation constante w par un moteur.
Les liaisons sont supposées parfaites. On néglige le mouvement du sable et de la pièce par rapport à la
caisse.
L’ensemble {caisse, sable, pièce} est considéré comme un solide C, indéformable et de masse M.
Le bâti de la machine est attaché à un repère galiléen R0 (O , x⃗0, y⃗0, z⃗0 ) , l’ensemble C est attaché au
repère R1 ( A , x⃗1, y⃗1, z⃗0) et le tambour excentrique est attaché au repère R2 ( A , x⃗2, y⃗2, z⃗0 ) avec
⃗
AG=e x⃗2 .
1. Déterminer l’équation du mouvement de C en définissant x A(t) avec
x A=
⃗
OA⋅⃗x=x A
−m
m.e
cos ω. t + x˙A0 t+( x A0 +
)
(m+ M )
(m+ M )
2. Déterminer l’expression du couple moteur CMot fonction du temps et des paramètres du problème.
C mot =m.e( g−
m.e. ω2
sin ω t )cos ω t
m+ M
Le tambour excentrique E a une masse m = 0,1 kg et son excentration est e = 2 cm. L’ensemble C a une
masse M = 50 kg.
3. Quelle est l’amplitude a0 des oscillations de C ? (On négligera l’effet du régime transitoire)
a 0=
m.e
=39,9μ m
m+ M
Ces oscillations sont jugées d’amplitude trop faible.
On ajoute donc un ressort de raideur k = 10 N/mm entre la caisse et le bâti fixe de la machine.
Le but est de choisir la fréquence de rotation ω pour obtenir des oscillations proches de la résonance.
4. Écrire la nouvelle équation du mouvement du problème.
2
ẍ +ω0 x= A cos ω t
avec
ω20 =
k
m+ M
et
A=
m.e.ω2
m+ M
5. Quelle vitesse de rotation ω faut-il choisir pour obtenir une amplitude des oscillations a=1cm ?
Avec une pièce à ébavurer plus légère, la masse de C devient M’ = 49 kg.
ω=ω0
√
a
=14,1 rd / s
a +a 0
avec
A
ω2
=a
0
ω 20−ω 2
ω20−ω2
∣
a=
∣ ∣
∣
6. Quelle alors être la vitesse de rotation ω’ pour obtenir toujours la même amplitude ?
ω ' =14,2 rd / s
Il est donc difficile de prévoir la vitesse de rotation à choisir et on décide de la régler à chaque fois.
Mais on risque de se trouver sur l’exacte résonance qui conduit à une amplitude trop élevée.
On place donc en parallèle avec le ressort, un amortisseur de coefficient d’amortissement μ , c’est à dire
développant une force de frottement −μ ẋ x⃗0 .
7. Déterminer μ pour avoir toujours l’amplitude a = 1 cm au pic d’amplitude des oscillations.
ẍ +2. ξ ω 0 ẋ+ ω20 x= Acos ω t
μ=
ω20 =
k
m+ M
m.e.ω2
A=
m+ M
ξ=
μ
2. √ k.( m+ M )
√
m.e
k
.
=2,8 kg / s
a
m+ M
On pourra raisonnablement assimiler la valeur de l’amplitude à la résonance à celle obtenue à la pulsation
propre non amortie.
8. Quelle est la valeur de ω nécessaire ?
−1
ω≈ω0≈14,1 rad.s