Exercice 1 : Étude d`un pendule d`Euler (suite) Exercice 2

Exercice 1 : Étude d'un pendule d'Euler (suite)
1. Déterminer le couple moteur CM
CM=1
3m2a2¨
α+ 1
2m2asin α( g−¨
x)
2. Déterminer l'effort FV du vérin
FV=(m1+m2)¨ x−a
2m2(¨
αsin α+ ˙ α2cos α)
Exercice 2 : convoyeur à cartons
1. Déterminer au sommet A du rectangle schématisant le carton, le torseur dynamique du carton 2
dans son mouvement rapport au bâti 0.
⃗
δ(A , 2 / 0)=−mh γ0⃗ z
2. Déterminer la valeur maximum de l'accélération
γ0
du tapis 1, pour que le carton 2 :
•d'une part, ne glisse pas sur le tapis du convoyeur,
γ0=f g
•d'autre part, ne bascule pas sur le tapis du convoyeur.
γ0=a
hg
Exercice 3 : Manipulateur de cd
1. Déterminer la vitesse angulaire maximale du bras 1 si le robot met 1 s pour faire un demi tour, avec
=0,3 s
.
˙αmax=π
1−τ=4,5 rad.s−1
2. Justifier que le solide 2 ne change pas d'orientation. En déduire la nature de son mouvement.
Translation circulaire
3. Sur une figure, représenter les actions mécaniques des brins 1 et 2 sur les poulies, en le justifiant.
T2
T1
=e±f.π
4. Écrire l'équation du moment dynamique en A appliqué à 2.
R(T1−T2)=−m2b.L.(¨ αsin α+ ˙ α2cos α)
5. Écrire l'équation du moment dynamique en O appliqué à {1+2}.
R(T1−T2)+ (m1L+m2.a)cosαg+Cm=−m2b.L.(¨ αsin α+ ˙ α2cos α)+ (m2.L2+C)¨ α
6. Déduire des équations précédentes le couple moteur Cm en fonction de a, de ses dérivées et des
données du problème. Exprimer Cm sur les différentes parties de la loi en trapèze.
Cm=(m1L+m2.a)cos αg+ (m2.L2+C)¨ α
Exercice 4 : Dynamique robot
1. Déterminer le couple que le moteur entre 0 et {2+3+4} doit délivrer pour faire tourner le robot selon
O1, z0
.
Cm=¨ ψ( A5sin2θ+ m5a5
2)+ A5˙
ψ˙ θsin 2 θ

Exercice 5 : Étude d'un rouleau sur un coin mobile
1. Déterminer les torseurs cinématiques des mouvements des solides 1 et 2 par rapport à RG.
⃗
Ω1/0=⃗ 0
;
⃗
Ω2/0=˙ β⃗ z
;
⃗
V(A ,1/0)= ˙ x⃗ x
;
⃗
V(E , 2/0)= ˙ x⃗ x
;
⃗
V(D , 2/0)= ˙ x⃗ x−r˙ β⃗ y1
2. Caractériser les torseurs d'actions mécaniques
⃗
R(0/1)=Y0⃗ y
;
⃗
MO(0/1)= N0⃗ z
⃗
R(1/2)= X12 ⃗ x+Y12 ⃗ y
;
⃗
ME(1/2)=⃗ 0
⃗
P1=−m1.g⃗ y
;
⃗
P2=−m2.g⃗ y
3. Préciser les équations scalaires qui permettent de déterminer les mouvements
•On isole 2 et TMD en
(E , ⃗ z)
•On isole 1+2 et TRD sur
(O , ⃗ x)
4. Calculer
˙y
et
˙
β
m2r2
2.(3˙
β−2. cos α˙ x)=m2g r sin α.t+cte
(1) avec cte =0 pour t=0
(m1+m2)˙ x−m2r˙ βcos α=0
(2) avec la constante d'intégration nulle du fait des conditions initiales.
Des deux équations précédentes on obtient :
˙
x=m2gsin 2 αt
3m1+m2(3−2 cos2α)
et
˙
β= 2.(m1+m2)gsin αt
r(3m1+m2(3−2 cos2α))
5. Déterminer la valeur limite de
α
pour que les conditions dynamiques de non glissement en E
soient satisfaites.
tan α⩽ f(3m1+m2)
(m1+m2)
Exercice 6 : Barrières de parking
1. Déterminer le couple que le moteur doit fournir pour ouvrir la barrière, dans chaque configuration.
Barrière de type A :
CMA=Lcos αm1g+CA¨ α
avec
CA=8M.L2
3
Barrière de type B :
Cm=4
3m L2¨
α+3L
2m g cosα

Exercice 8 :ETUDE D'UN MANDRIN ANTICENTRIFUGE
1- Présentation
Les machines-outils et centres d’usinage actuels ont de
grandes capacités de production.
En dehors du progrès décisif de la « commande numérique
» CN, ces machines sont en fait l’aboutissement d’une
progressive évolution technologique qui a consisté
principalement à élever les vitesses de coupe, augmenter la
précision et la durée de vie des outils et des broches, mieux
assurer la fixation des pièces alors même que les efforts de
coupe progressaient largement.
L’augmentation sensible des vitesses de rotation et des
accélérations des broches fut une des améliorations parmi
les plus importantes et les plus délicates à maîtriser. Furent
aussi largement développées les solutions hydrauliques,
plus fiables dans la mise en œuvre des efforts et le contrôle
de leur variation.
C’est dans cette perspective que se situe l’étude du
mandrin anti-centrifuge d’un tour à commande numérique,
dont un dessin simplifié est représenté sur la figure 1.
2 – modèle
Repères
R0O , x0, y0, z0
un repère galiléen lié au bâti 0 du tour.
R0O ,x , y , z0
un repère lié au corps du mandrin 1, en liaison pivot d’axe
O , z0
avec le bâti 0
1/0=  z0
où ω est une constante positive dans la phase de mouvement étudiée.
Levier 3 avec sa masselotte :
Le levier 3 a une liaison pivot sans frottement d’axe
P , y
avec le corps du mandrin 1.
OP =a x
a = 86mm
Ce levier est immobile par rapport au corps du mandrin, dans la position de la figure 1.
Masse : m3 = 1,145 kg
Centre d’inertie G3 :
PG3=x3 xz3 z0
avec
x3=−8mm
et
z3=−18 mm
Matrice d’inertie au point P, dans la base
x , y , z0
IP3=
[
A0−E
0B0
−E0C
]
x ,  y ,  z0
A = 738.10-6 kg.m2 B = 912.10-6 kg.m2 C = 423.10-6 kg.m2 E = 117.10-6 kg.m2
Porte mors 4
Le porte mors 4 a une liaison glissière sans frottement de direction
⃗x
avec le corps du mandrin 1. La
liaison entre le levier 3 et le porte mors 4 est ponctuelle sans frottement de normale
K , x
c= z0. PK
c = 11 mm masse : m4 = 0,6 kg
Centre d’inertie G4 :
OG4=x4 xz4 z0
x4 = 82 mm z4 = 33 mm
Mors 5
Le mors 5, assimilé à un parallélépipède rectangle, est positionné par rapport au porte mors 4 par des stries
à 90 degrés, de direction
⃗y
. Le maintien du contact est assuré par deux vis.
Masse : m5 = 0,9 kg

Centre d’inertie G5 :
OG5=x5 xz5 z0
x5 = 70 mm z5 = 78 mm
Le mandrin possède trois mors à 120° avec des dispositifs de serrage identiques.
La centrale hydraulique du tour crée sur la tête du vérin 2 un effort axial de 32400 N (alors Z23 = -10800).
La liaison entre la tête du vérin 2 et le levier 3 est ponctuelle sans frottement de normale
J , z0
et
b= PJ . x
avec b = 44 mm
On supposera qu’aucun outil n’agit sur la pièce 6 et on adoptera pour modélisation des pressions de contact,
d’une part de la pièce 6 sur le mors 5, et d’autre part, du porte mors 4 sur le mors 5 celles indiquées sur la
figure 2.
Dans toute la résolution du problème, l’action mécanique de la pesanteur est négligée.
Partie A : Calcul de l'effort de serrage
1. Déterminer la position du centre d'inertie G de l'ensemble constitué par le porte-mors 4 et le mors 5
(m3+m4)
⃗
OG=m4
⃗
OG4+m5
⃗
OG5
d'où
xG=74,8 mm
et
yG=60mm
2. Écrire le théorème de la résultante dynamique en projection sur
x
appliqué à l'ensemble {4, 5}
dans son mouvement par rapport au bâti 0.
on isole {4+5} et on applique le TRD suivant
⃗
x
(m4+m5).A(G ,4+5/0).⃗x=−(m4+m5).xg.ω2=FS+XK34
3. Écrire le théorème du moment dynamique au point P en projection sur
y
appliqué au levier 3 dans
son mouvement par rapport au bâti 0.
on isole {3} et on applique le TMD suivant
(P ,⃗ y)
(E+m3.a.z3).ω2=b.F 0+c.X K34
4. En déduire l'effort de serrage Fs entre le mors et la pièce; Tracer le graphe Fs en fonction de ω pour
une fréquence comprise entre 0 et 3000 tr/min
FS=b
cF0−1 c(xg(m4+m5)+( E+m3.a.z3))ω2
FS=43.200+59,610−3(N)
Partie B : Calcul de la tension des vis
La fréquence de rotation du mandrin est de 3000tr/min
1. Déterminer le torseur d'action mécanique du porte-mors 4 sur le mors 5 en un point de son axe
central
R=
√
(2)(Fs+m5.x5.ω2)=78200 N
2. En déduire la tension des vis
F1=L2
L1+L2
(Fs+m5.x5.ω2)=40 485 N
;
F2=L1
L1+L2
(Fs+m5.x5.ω2)=14 453 N