Chapitre I Algèbre et combinatoire

Chapitre I Algèbre et combinatoire
I Ensembles, applications
1S1−E1
a) Donner un exemple d’application injective d’un ensemble fini dans un
ensemble infini.
b) Donner un exemple d’application surjective d’un ensemble infini sur un
ensemble fini.
c) Donner un exemple d’application surjective non bijective d’un ensemble
infini sur un ensemble infini.
?
2S1−E1
Que pensez-vous de l’affirmation suivante ?
Si Eest un ensemble fini et sune permutation de E, alors, pour tout élément
xde E,s(x)6=x.
?
3S1−E1
Soient Eun ensemble et fune application de Edans Etelle que f◦f=f.
a) Montrer que si fest injective alors f=idE.
b) Montrer que si fest surjective alors f=idE.
?
4S1−E1
Soient Eun ensemble et fune application de Edans Etelle que f◦f◦f=f.
Montrer que fest injective si, et seulement si, fest surjective.
?

Algèbre et combinatoire 7
5S1−E1
Soit fune application strictement croissante de Ndans N.
Montrer que, pour tout nentier naturel, f(n)>n. Que peut-on en déduire ?
?
6S1
Aet Bétant deux parties d’un ensemble E, on rappelle que A\B=A∩B.
Peut-on dire que A\B=A−B?
?
7S1
Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble E.
Montrer que A⊂Bsi, et seulement si, ∀x∈E,A(x)6B(x).
?
8S1−E1
Soient Eet Fdeux ensembles non vides et fune application de Edans F.
Pour tout sous-ensemble Ade E, a-t-on f−1[f(A)] = A?
?
9S1−E1
Rappeler la définition d’un ensemble dénombrable. Donner trois exemples
d’ensembles dénombrables.
L’ensemble P(N)des parties de Nest-il dénombrable ?
?
10 S1−E1
Soient E,Fet Gtrois ensembles non vides. Soient fune application de E
dans Fet gune application de Fdans G.
a) Montrer que si fet gsont injectives alors g◦fest injective .
b) La réciproque de la proposition précédente est-elle vraie ?
?

8Chapitre I
11 S1−E1
Soient E,Fet Gtrois ensembles non vides. Soient fune application de E
dans Fet gune application de Fdans G.
a) Montrer que si fet gsont surjectives alors g◦fest surjective .
b) La réciproque de la proposition précédente est-elle vraie ?
?
12 S1−E1
Soient E,Fet Gtrois ensembles non vides. Soient fune application de E
dans Fet gune application de Fdans G.
a) Si g◦fest injective et fsurjective, que peut-on en déduire pour g?
b) Si g◦fest surjective et ginjective, que peut-on en déduire pour f?
?
II Combinatoire
13 S1−E1
Soit Eun ensemble de cardinal n(nentier naturel non nul).
Donner le cardinal de l’ensemble P(E)des parties de Eet proposer trois mé-
thodes de démonstration de ce résultat.
?
14 S1−E1
Soit Eun ensemble de cardinal n(nentier naturel non nul).
a) Déterminer le nombre de couples (A, B)de parties de Etelles que
A∩B=∅.
b) Déterminer le nombre de couples (A, B)de parties de Etelles que
B⊂A.
?
15 S1−E1
Soit nun entier naturel non nul. Calculer 1 + 1
2µn 1¶+... +1 n+1µn
n¶.
?

Algèbre et combinatoire 9
16 S1−E1
Soit pun entier naturel. On pose Sp=
n
X
k=1
kp.
a) Rappeler les valeurs de S0,S1,S2,S3et proposer au moins deux mé-
thodes de démonstration pour le calcul de ces trois dernières sommes.
b) Soit pfixé (p>1), établir une formule permettant de calculer Spen
fonction de S0, S1, . . . , Sp−1.
?
17 S1−E1
Soit nun entier naturel non nul et Eun ensemble contenant néléments. On
note P(E)l’ensemble des parties de E. Calculer S=X
X∈P(E)
Card (X).
?
III Nombres complexes
18 S1
La proposition suivante est-elle vraie ?
∀(a, b)∈C∗×C∗tels que a+b6= 0,1
a+b6=1 a+1 b.
?
19 S1
Soit αun réel. On considère z= 1 + cos α+isin α.
Peut-on dire que le module de zest strictement supérieur à 1 ?
?
20 S1
Étant donné un réel a, déterminer les racines quatrièmes du nombre complexe
zdéfini par :
z= 8a2−(1 + a2)2+ 4a(1 −a2)i
?

10 Chapitre I
21 S1
a) Soit aun réel strictement positif. Montrer qu’il n’existe pas de réel ctel
que eia −1 = iaeic.
b) En déduire que si aet bsont deux réels tels que b < a alors il n’existe
pas de réel ctel que eia −eib =i(a−b)eic.
?
22 S1
Résoudre, dans R2:½x6−15x4y2+ 15x2y4−y6= 1
3x5y−10x3y3+ 3xy5= 0
?
23 S1
Soit nun entier naturel. Montrer que ¯¯¯¯¯
n
X
k=0
cos 2k¯¯¯¯¯ 62.
?
24 S1
Déterminer les solutions dans Cde l’équation (E):
z4−z3+z2−z−1 = 0.
?
25 S1
Soient nun entier naturel tel que n>2et ωune racine n-ième de l’unité
différente de 1. Calculer la somme S=
n
X
k=1
kωk−1.
?