Exercices : nombres réels et fonctions numériques

ECS 1 Dupuy de Lôme
Semaine du 15 octobre 2004
Exercices : nombres réels et fonctions numériques
Propriétés des nombres réels
Exercice 1 : Démontrez que pour tout (x, y, z) ∈ R3
|x + y + z| ≤ |x| + |y| + |z| et |x − y| + |x + y| ≥ |x| + |y|
Exercice? 2 : Démontrez que pour tout nombre réel x ∈ R,
Indication : on pourra discuter suivant la parité de bxc.
x
x+1
b c+b
c = bxc.
2
2
√
√
Exercice? 3 : Soient α = 20 + 14 2 et β = 20 − 14 2
1. Montrez que α et β sont irrationnels.
√
2. Calculez 3 α β
√
√
3. Montrez que a = 3 α + 3 β est rationnel !
Indication : on pourra montrer que a est solution d’une équation polynômiale de degré 3.
Exercice 4 : Déterminer les bornes supérieures et inférieures dans R des ensembles suivants :
1
A = { ; n ∈ N? };
n
B = {(−1)n (1 −
1
); n ∈ N? };
n
C={
1
1
− ; (n, m) ∈ N? × N? }
n m
Fonctions numériques
Exercice 5 :
1. Démontrez qu’il existe un unique couple de réels (a, b) tels que
b
1−x
=a+
.
∀x ∈ R \ {−1},
1+x
1+x
√
1− t
√ .
2. Soit f : [0, 1[→ R la fonction définie par : ∀t ∈ [0, 1[, f (t) = ln
1+ t
(a) Modifiez l’expression de f en utilisant la première question,
(b) En déduire que f réalise une bijection de [0, 1[ sur son ensemble image et donner l’expression de son
application réciproque.
Exercice 6 : Précisez l’ensemble de définition et dressez les tableaux de variations des fonctions suivantes :
x + 1
1 f (x) = ln(~ex − 1);
g(x) = exp
;
h(x) = ln
1−x
x−1
NB :
aucun calcul de dérivée n’est indispensable.
Exercice 7 : Résoudre dans R les équations suivantes :
√
√
√
1. 6~e5x+2 − 7 ~e8x+4 + ~e3x+2 = 0.
3. x x = ( x)x .
√
√ 6
√
7 3
2. (x 2 − 3) = x 3 +
.
4. ex + e1−x = e + 1.
4
ln(−x + 2y) = ln(2x − 3y + 4)
2
Exercice 8 : Résoudre dans R le système
35x+y × 3−x−6y = 81
Exercice 9 : Simplifiez pour tout nombre réel x les expressions suivantes :
sin 2x + (sin x − cos x)2 ;
cos2 x + cos2 (2π/3 + x) + cos2 (2π/3 − x);
sin2 x + sin2 (2π/3 + x) + sin2 (2π/3 − x)
Exercices supplémentaires
Propriétés des nombres réels
Exercice 10 : Soit n ∈ N? . On considère une famille (xi )i∈[[0,n]] de réels tels que
0 ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ 1
Montrer qu’il existe i, j ∈ [[0, n]], i 6= j, tels que |xi − xj | ≤ 1/n.
Exercice 11 : Soit n ∈ N? , démontrez que :
n
n
X
X
1. ∀(xi ) ∈ Rn , |
xi | ≤
|xi |.
i=1
2. ∀(xi ) ∈ Rn , ∀j ∈ [[1, n]],
i=1
|
n
X
xi | ≥ |xj | −
i=0
X
|xi |.
i6=j
Exercice 12 : Soient a, b, c des nombes réels.
1. (a) Montrez que
a + b < 2 + a2 + b2 et a + b < (1 + a2 )(1 + b2 )
(b) Comparez alors 2 + a2 + b2 et (1 + a2 )(1 + b2 ).
2. Prouvez que
8abc ≤ (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 )
3. Prouvez que
ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2
Exercice 13 : Démontrez que pour tout nombre réel x ∈ R,
jxk x + 1
= bxc
+
2
2
En déduire pour tout couple (n, p) d’entiers naturels non nuls, une expression simplifiée de la somme
p X
x + 2k
2k+1
k=0
Exercice 14 : Démontrer que pour tout entier n ∈ N? et pour pour tout nombre réel x ∈ R :
bnxc
= bxc
n
On pourra commencer par examiner le cas simple où n = 2.
Exercice 15 : Démontrez que a =
√
q
2
4
√
7+4 3−
√
q
√
4
2 7 − 4 3 est rationnel.
Exercice 16 : Pour tout nombre réel x ≥ 1, simplifiez
√
x+2 x−1+
q
q
√
x − 2 x − 1.
Exercice 17 : On considère l’application f de N? dans R qui à tout entier naturel non nul n associe le réel
n − 1/n
f (n) =
.
1 + 1/n
1. Montrez que l’image directe de f est majorée et minorée.
2. Déterminez la borne supérieure et la borne inférieure de f sur N? .
3. Etudiez l’existence d’un maximum et d’un minimum pour f .
4. Prouvez que f est injective et en déduire que f (N? ) possède une infinité d’éléments.
Exercice 18 : Soient A et B des parties bornées de R. Démontrez que :
A ⊂ B ⇒ sup A ≤ sup B et inf A ≥ inf B.
Equations & systémes d’équations
2
Exercice 19 : Résoudre dans R le système
ln x2 y 3 = −4
ln x3 /y 4 ) = 11
Exercice 20 : Factorisez dans R les polynômes :
1. A(x) = x4 + 3x2 + 2
2. B(x) = x4 + x2 + 1
3. C(x) = x3 + x − 3
4. D(x) = x4 + 2x3 − 4x2 − 2x + 3.
Exercice 21 : Résoudre dans R l’équation
5sin x +
Exercice 22 : Résoudre dans R l’équation
(1 −
Exercice 23 : Résoudre dans R2 le système
√
√
(x 3 − y 2)2
x3
√
3
2
=3
5sin x
x)3 + 125 × (3 −
√
3
x)3 = 0
√
√
= (2 3 x + 3 2 y)2
= (y − 1)3
Exercice 24 : Résoudre dans R l’inéquation 2(ln x)3 − 5(ln x)2 + 2 ln x ≤ 0.
Exercice? 25 : Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m les solutions de l’équation :
e2x − 4mex + 2(m + 1) = 0
Fonctions numériques
Exercice 26 : On considère la fonction :
→
R
.
7
→
max{ x+10
5 ; x − 3}
f : R
x
f est-elle bijective ? Si oui, précisez son application réciproque.
Exercice 27 : Soit f : [0, +∞[→ R la fonction définie par : ∀x ∈ R+ , f (x) = 21 x2 − 32 .
1. Tracez la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
2. Montrez que f induit une bijection de R+ sur un intervalle à préciser.
3. Déterminer l’application réciproque de f .
Exercice 28 : Etudiez le signe des expressions suivantes en discutant suivant la valeur de x :
√
√
1. f (x) = x − 1 − 2x − 3
p
p
2. g(x) = |x − 1| − |2x − 3|
p
p
3. h(x) = |x2 − 1| − |2x2 + x − 3|
Trigonométrie
Exercice 29 :
1. Trouver une relation simple entre cos x − sin x et sin 2x.
2. Résoudre dans R l’équation :
√
√
√
2 sin 2x − ( 6 + 2)(cos x − sin x) = 2 + 3
Exercice 30 : Résoudre dans [0, 2π[ les inéquations
√
√
4 cos2 x − 2( 2 − 1) cos x − 2 > 0
√
√
4 sin2 x − 2(1 + 3) sin x + 3 ≤ 0.
Exercice 31 : Soit n ∈ N? , et x ∈ R \ 2π.Z. On note Sn =
n
X
cos kx.
k=1
1. Montrez la formule de linéarisation :
2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b)
2. Calculez 2 sin(x/2) × Sn
3. En déduire une expression simple de Sn .
4. En vous inspirant de la méthode ci-dessus, déterminez une expression simplifiée de Σn =
n
X
k=1
sin kx.
Exercice? 32 : Inégalité de Cauchy-Schwarz
Le but de l’exo est de démontrer que pour tout n ∈ N? et pour tous réels x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R
n
X
i=1
!2
xi yi
≤
n
X
!
x2i
×
i=1
n
X
!
yi2
i=1
Pn
1. Démontrez l’inégalité de Cauchy-Schwarz lorsque i=1 x2i = 0.
Pn
Pn
2
2. On suppose désormais que i=1 x>
i 0. On considère T (λ) =
i=1 (λxi + yi ) .
(a) Démontrez que T est un polynôme de degré 2 en λ.
(b) Démontrez que le discriminant de T est négatif ou nul.
(c) Développer T (λ) et conclure.
Exercice 33 : Résoudre R2 le système
ln(−x + 2y) = ln(2x − 3y + 4)
35x+y × 3−x−6y = 81