Exercices : nombres réels et fonctions numériques

ECS 1 Dupuy de Lˆ ome
Semaine du 15 octobre 2004
Exercices : nombres r´ eels et fonctions num´ eriques
Propri´ et´ es des nombres r´ eels
Exercice 1:D´emontrez que pour tout (x, y, z)∈R3
|x+y+z| ≤ |x|+|y|+|z|et |x−y|+|x+y| ≥ |x|+|y|
Exercice?2:D´emontrez que pour tout nombre r´eel x∈R,bx
2c+bx+ 1 2c=bxc.
Indication : on pourra discuter suivant la parit´e de bxc.
Exercice?3:Soient α= 20 + 14√2 et β= 20 −14√2
1. Montrez que αet βsont irrationnels.
2. Calculez 3
√α β
3. Montrez que a=3
√α+3
√βest rationnel !
Indication : on pourra montrer que aest solution d’une ´equation polynˆomiale de degr´e 3.
Exercice 4:D´eterminer les bornes sup´erieures et inf´erieures dans Rdes ensembles suivants :
A={1
n;n∈N?};B={(−1)n(1 −1 n); n∈N?};C={1 n−1 m; (n, m)∈N?×N?}
Fonctions num´ eriques
Exercice 5:
1. D´emontrez qu’il existe un unique couple de r´eels (a, b) tels que
∀x∈R\ {−1},1−x
1 + x=a+b 1 + x.
2. Soit f: [0,1[→Rla fonction d´efinie par : ∀t∈[0,1[, f(t) = ln 1−√t
1 + √t.
(a) Modifiez l’expression de fen utilisant la premi`ere question,
(b) En d´eduire que fr´ealise une bijection de [0,1[ sur son ensemble image et donner l’expression de son
application r´eciproque.
Exercice 6:Pr´ecisez l’ensemble de d´efinition et dressez les tableaux de variations des fonctions suivantes :
f(x) = ln(~ex−1); g(x) = exp 1
1−x;h(x) = ln x+ 1 x−1
NB : aucun calcul de d´eriv´ee n’est indispensable.
Exercice 7:R´esoudre dans Rles ´equations suivantes :
1. 6~e5x+2 −7√~e8x+4 +~e3x+2 = 0.
2. (x√2−√3)6=x√3 + 7
43.
3. x√x= (√x)x.
4. ex+e1−x=e+ 1.
Exercice 8:R´esoudre dans R2le syst`eme ln(−x+ 2y) = ln(2x−3y+ 4)
35x+y×3−x−6y= 81
Exercice 9:Simplifiez pour tout nombre r´eel xles expressions suivantes :
sin 2x+(sin x−cos x)2; cos2x+ cos2(2π/3+x) +cos2(2π/3−x); sin2x+ sin2(2π/3 +x) + sin2(2π/3−x)
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Exercices suppl´ ementaires
Propri´ et´ es des nombres r´ eels
Exercice 10 :Soit n∈N?. On consid`ere une famille (xi)i∈[[0,n]] de r´eels tels que
0≤x1< x2<··· < xn≤1
Montrer qu’il existe i, j ∈[[0, n]], i6=j, tels que |xi−xj| ≤ 1/n.
Exercice 11 :Soit n∈N?, d´emontrez que :
1. ∀(xi)∈Rn,|
n
X
i=1
xi| ≤
n
X
i=1 |xi|.
2. ∀(xi)∈Rn,∀j∈[[1, n]],|
n
X
i=0
xi| ≥ |xj| − X
i6=j|xi|.
Exercice 12 :Soient a, b, c des nombes r´eels.
1. (a) Montrez que
a+b < 2 + a2+b2et a+b < (1 + a2)(1 + b2)
(b) Comparez alors 2 + a2+b2et (1 + a2)(1 + b2).
2. Prouvez que
8abc ≤(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2)
3. Prouvez que
ab +bc +ca ≤a2+b2+c2
Exercice 13 :D´emontrez que pour tout nombre r´eel x∈R,
jx
2k+x+ 1 2=bxc
En d´eduire pour tout couple (n, p) d’entiers naturels non nuls, une expression simplifi´ee de la somme
p
X
k=0 x+ 2k
2k+1 
Exercice 14 :D´emontrer que pour tout entier n∈N?et pour pour tout nombre r´eel x∈R:
bnxc
n=bxc
On pourra commencer par examiner le cas simple o`u n= 2.
Exercice 15 :D´emontrez que a=√24
q7+4√3−√24 q7−4√3 est rationnel.
Exercice 16 :Pour tout nombre r´eel x≥1, simplifiez qx+ 2√x−1 + qx−2√x−1.
Exercice 17 :On consid`ere l’application fde N?dans Rqui `a tout entier naturel non nul nassocie le r´eel
f(n) = n−1/n
1+1/n .
1. Montrez que l’image directe de fest major´ee et minor´ee.
2. D´eterminez la borne sup´erieure et la borne inf´erieure de fsur N?.
3. Etudiez l’existence d’un maximum et d’un minimum pour f.
4. Prouvez que fest injective et en d´eduire que f(N?) poss`ede une infinit´e d’´el´ements.
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Exercice 18 :Soient Aet Bdes parties born´ees de R. D´emontrez que :
A⊂B⇒sup A≤sup Bet inf A≥inf B.
Equations & syst´ emes d’´ equations
Exercice 19 :R´esoudre dans R2le syst`eme ln x2y3=−4
ln x3/y4) = 11
Exercice 20 :Factorisez dans Rles polynˆomes :
1. A(x) = x4+ 3x2+ 2
2. B(x) = x4+x2+ 1
3. C(x) = x3+x−3
4. D(x) = x4+ 2x3−4x2−2x+ 3.
Exercice 21 :R´esoudre dans Rl’´equation 5sin x+2
5sin x= 3
Exercice 22 :R´esoudre dans Rl’´equation (1 −3
√x)3+ 125 ×(3 −3 √x)3= 0
Exercice 23 :R´esoudre dans R2le syst`eme
(x√3−y√2)2= (2√3x+ 3√2y)2
x3= (y−1)3
Exercice 24 :R´esoudre dans Rl’in´equation 2(ln x)3−5(ln x)2+ 2 ln x≤0.
Exercice?25 :Discuter suivant les valeurs du param`etre r´eel mles solutions de l’´equation :
e2x−4mex+ 2(m+ 1) = 0
Fonctions num´ eriques
Exercice 26 :On consid`ere la fonction :
f:R→R
x7→ max{x+10
5;x−3}.
fest-elle bijective ? Si oui, pr´ecisez son application r´eciproque.
Exercice 27 :Soit f: [0,+∞[→Rla fonction d´efinie par : ∀x∈R+,f(x) = 1
2x2−3 2.
1. Tracez la courbe repr´esentative de fdans un rep`ere orthonorm´e.
2. Montrez que finduit une bijection de R+sur un intervalle `a pr´eciser.
3. D´eterminer l’application r´eciproque de f.
Exercice 28 :Etudiez le signe des expressions suivantes en discutant suivant la valeur de x:
1. f(x) = √x−1−√2x−3
2. g(x) = p|x−1| − p|2x−3|
3. h(x) = p|x2−1| − p|2x2+x−3|
Trigonom´ etrie
Exercice 29 :
1. Trouver une relation simple entre cos x−sin xet sin 2x.
2. R´esoudre dans Rl’´equation :
2 sin 2x−(√6 + √2)(cos x−sin x) = 2 + √3
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Exercice 30 :R´esoudre dans [0,2π[ les in´equations
4 cos2x−2(√2−1) cos x−√2>0
4 sin2x−2(1 + √3) sin x+√3≤0.
Exercice 31 :Soit n∈N?, et x∈R\2π.Z. On note Sn=
n
X
k=1
cos kx.
1. Montrez la formule de lin´earisation :
2 sin acos b= sin(a+b) + sin(a−b)
2. Calculez 2 sin(x/2) ×Sn
3. En d´eduire une expression simple de Sn.
4. En vous inspirant de la m´ethode ci-dessus, d´eterminez une expression simplifi´ee de Σn=
n
X
k=1
sin kx.
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Exercice?32 :In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz
Le but de l’exo est de d´emontrer que pour tout n∈N?et pour tous r´eels x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈R
n
X
i=1
xiyi!2 ≤ n
X
i=1
x2
i!× n
X
i=1
y2
i!
1. D´emontrez l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz lorsque Pn
i=1 x2
i= 0.
2. On suppose d´esormais que Pn
i=1 x>
i0. On consid`ere T(λ) = Pn
i=1(λxi+yi)2.
(a) D´emontrez que Test un polynˆome de degr´e 2 en λ.
(b) D´emontrez que le discriminant de Test n´egatif ou nul.
(c) D´evelopper T(λ) et conclure.
Exercice 33 :R´esoudre R2le syst`eme
ln(−x+ 2y) = ln(2x−3y+ 4)
35x+y×3−x−6y= 81
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