Techniques fondamentales de mathématiques Théorie + Exercices

Techniques
fondamentales
de mathématiques
Théorie + Exercices
BA1 en chimie,
mathématiques,
physique,
sciences,
sciences de l’ingénieur (orientation bioingénieur).

Table des matières
1 Présentation et généralités 1
1.1 Table des chapitres commentée ....................... 1
1.2 De nombreuses notations ........................... 2
1.2.1 Alphabets ................................ 2
1.2.2 Quantificateurs ............................ 3
1.2.3 Connecteurs logiques ......................... 3
1.2.4 Indices et exposants .......................... 4
1.2.5 Abbréviations communes ....................... 4
1.2.6 Rigueur et formalisme ........................ 4
1.2.7 Ensembles (de nombres) ....................... 4
2 La droite, le plan, l’espace : représentations 7
2.1 La droite .................................... 7
2.2 Le plan ..................................... 10
3 Trigonométrie 15
3.1 La notion d’angle : généralités ........................ 15
3.2 Le radian .................................... 16
3.3 Fonctions trigonométriques dans le cercle ................. 16
3.4 Valeurs importantes .............................. 17
3.4.1 Retrouver un angle à partir du sinus ou du cosinus ........ 18
3.5 Relation fondamentale ............................ 19
3.6 Symétries .................................... 19
3.6.1 Symétrie par rapport à l’axe des abscisses ............. 19
3.6.2 Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ............. 19
3.6.3 Symétrie par rapport à l’origine ................... 20
3.6.4 Symétrie par rapport à la première bissectrice ........... 20
3.6.5 Angles décalés de 90˚ ......................... 20
3.7 Fonctions trigonométriques dans les triangles ............... 21
3.7.1 Triangles rectangles .......................... 21
3.7.2 Triangles quelconques ........................ 21
3.8 Exercices .................................... 22
4 Fonctions 27
4.1 Généralités sur la notion de fonction .................... 27
4.1.1 Interprétation de la notion de fonction ............... 28
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ii TABLE DES MATIÈRES
4.1.1.1 Association ......................... 29
4.1.1.2 Transformation ....................... 29
4.1.2 Image d’une fonction ......................... 29
4.1.3 Domaine de définition ........................ 30
4.1.4 Graphe ................................. 30
4.1.5 Antécédent ............................... 31
4.1.6 Parité .................................. 31
4.1.7 Composition .............................. 32
4.1.8 Injectivité et surjectivité ....................... 33
4.1.9 Fonction réciproque .......................... 34
4.2 Quelques familles de fonctions ........................ 34
4.2.1 Fonctions linéaires, affines et polynomiales ............ 34
4.2.1.1 Graphe ............................ 35
4.2.1.2 Fonctions polynomiales .................. 36
4.2.2 Les fonctions exponentielles et logarithmes ............ 36
4.2.2.1 Exponentielles ........................ 36
4.2.2.2 Logarithmes et logarithme naturel ............ 37
4.2.2.3 Identités importantes .................... 37
4.3 Exercices .................................... 38
5 Dérivées 41
5.1 Approche intuitive ............................... 41
5.2 Nombre dérivé, fonction dérivée. ...................... 42
5.2.1 Notations de la dérivée (et dérivées partielles) ........... 42
5.3 Règles de dérivation .............................. 43
5.3.1 Règles de calcul ............................ 43
5.3.2 Règle de dérivation en chaîne .................... 44
5.3.3 Dérivées des fonctions usuelles ................... 45
5.4 Application : recherche d’extrema ...................... 45
5.5 Application : croissance et décroissance ................... 46
5.6 Application : esquisse du graphe d’une fonction .............. 48
5.7 Exercices .................................... 48
6 Intégration 53
6.1 Introduction .................................. 53
6.2 Rappels et exercices .............................. 55
6.3 Applications à la physique .......................... 58
Index 61
Document réalisé par : Nicolas Brouette, Jonathan Demeyer, Thomas Lessines, Nicolas Ri-
chard.

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Présentation et généralités
Notre expérience a montré que beaucoup d’étudiants doivent ré-apprendre une
partie de la matière vue en secondaire. Si pour certains cela ne sera qu’une formalité,
pour la majorité ce sera un processus nécessitant un investissement en temps qu’il ne
faut pas prendre à la légère.
Afin d’aider les étudiants dans cette ré-appropriation de leurs connaissances ma-
thématiques, le cours « Techniques fondamentales de mathématiques » a été créé.
Celui-ci se décline en deux types d’activité : des cours théoriques et des séances d’exer-
cices. Le présent document sert de support écrit pour ces deux activités.
Ce cours se distingue de la plupart des autres cours en ce qu’il pas question d’ap-
prendre du neuf, mais de ré-apprendre et d’intégrer de la matière supposée connue.
À ce titre, il ne devra pas surprendre le lecteur de voir une notion citée avant qu’elle
soit défnie : cela permet de créer des liens entre les diverses notions.
Quand un terme est introduit, il est en général indiqué en italique et rappelé dans
la marge. Par exemple : l’italique est une forme d’écriture qui consiste à pencher les italique
caractères par rapport à leur forme normale. On notera qu’il y a également une entrée
dans l’index, en fin de document, pour les termes définis de la sorte.
Une version électronique de ce document est disponible au format PDF, et pré-
sente deux avantages non-négligeables :
– il est « cherchable », c’est-à-dire que par exemple grâce au raccourci clavier bien
connu Control-f, il est possible de chercher dans le texte du document ; et
– il est « cliquable », en ce sens que les références internes sont des liens hyper-
textes permettant de se déplacer dans le document par un clic de souris.
La version papier du document présente quant à elle tous les avantages du papier,
comme par exemple :
– il s’emporte facilement, partout,
– il est simple à annoter, commenter, surligner, etc.
1.1 Table des chapitres commentée
Le présent chapitre s’intitule « Présentation et généralités » et consiste en trois par-
ties : une partie introductive, la table des chapitres, une section présentant diverses
notations mathématiques. Le lecteur est invité à lire attentivement l’introduction et
la table des chapitres, mais peut sereinement se contenter de survoler les sections
suivante et n’y revenir que si une notation lui semble floue.
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