C.N.E.D. 2011-2012 LM260 Corrigé du devoir 1 Exercice 1. Soit a

C.N.E.D. 2011-2012 LM260
Corrig´e du devoir 1
Exercice 1. Soit aIR. On pose un=na(n+ 1 n) et vn=na(pn+ (1)nn). Si ∈ {−1,1},
(n+)1/2n1/2=n1/2((1 + /n)1/21) = n1/2(/(2n) + O(1/n2)),(n+).
En particulier unna1/2/2 et vn(1)nna1/2/2. Par comparaison avec une s´erie de Riemann,
la s´erie `a termes positifs
+
X
n=1
unconverge si et seulement si a < 1/2.
Si a1/2, la s´erie
+
X
n=1
vndiverge car vnne tend pas vers 0. Si a < 1/2, on ´ecrit
vn=v0
n+v00
navec v0
n= (1)nna1/2/2, v00
n=O(1/na3/2).
Le premier terme est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente d’apr`es le th´eor`eme sp´ecial des s´eries
altern´ees car |v0
n|d´ecroˆıt vers 0, et le second est le terme g´en´eral d’une s´erie absolument convergente,
donc convergente, car 3/2a > 1.
En conclusion, la s´erie
+
X
n=1
vnconverge si et seulement si a < 1/2.
Exercice 2. On consid`ere la suite (un)n1d´efinie par un= ln n
n
X
k=1
1/k. On a
an:= un+1 un= ln(1 + 1/n)1/(n+ 1) = 1/n 1/(n+ 1) + O(1/n2) = O(1/n2).
Par comparaison avec une s´erie de Riemann, la erie
+
X
n=1
anest absolument convergente donc convergente.
Comme un=u1+
n1
X
k=1
ak,il en r´esulte que la suite (un)n1est convergente.
Exercice 3. Soit {un}n1et {vn}n1des s´eries `a termes strictement positifs. On les suppose divergentes.
On note Un=
n
X
k=1
uket Vn=
n
X
k=1
vnles suites des sommes partielles associ´ees. Elles ont pour limites +.
On suppose unvnquand n+. Soit  > 0. Par d´efinition de l’´equivalence, il existe un entier
N=N() tel que
k > N 1 < uk
vk
<1 + ,
ce qui s’´ecrit aussi (1 )vk< uk<(1 + )uk. En sommant ces in´egalit´es membre `a membre de k=N+ 1
`a k=navec n > N, on obtient :
n > N, (1 )(VnVN)< UnUN<(1 + )(VnVN),
et donc (1 )VnVN< Un<(1 + )Vn+UN, puis en divisant par Vn:
n > N, (1 )VN
Vn
<Un
Vn
<(1 + ) + UN
Vn
.
Les nombres  > 0 et N=N() ´etant fix´es, par hypoth`ese, les suites VN/Vnet UN/Vnont pour limite 0
quand n+. Il existe donc un entier N1=N1(), qu’on peut supposer plus grand que N, tel que les
nombres UN/Vnet VN/Vnsoient major´es par si n > N1. On obtient :
 > 0,N1IN, n > N1⇒ −2 < Un
Vn1<2,
autrement dit Un/Vn
n+1 : les suites Unet Vnsont ´equivalentes.
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Exercice 4. On d´efinit la suite (un)n0par :
u0= 1, un+1 =un+ 1/unsi n0.
1) D’abord, on a u0>0 et si un>0, alors un+1 =un+ 1/un>0. On en d´eduit par r´ecurrence que un
est strictement positif pour tout n0. Ensuite qu’on a un+1 > unpour tout nIN donc que la suite
(un)nIN est bien d´efinie, strictement positive et strictement croissante.
La suite (un)nIN est croissante. Elle admet donc une limite l, soit un nombre r´eel soit +. Si lIR,
on d´eduit de la relation de r´ecurrence qu’on a l+ 1/l = 1, ce qui est impossible. Donc (un)nIN a pour
limite +quand n+.
2) On pose vn=u2
n. On a :
vn+1 vn= (un+1 un)(un+1 +un) = 1
un2un+1
un= 2 + 1
u2
n
.
On vient de montrer que lim
n+un= +. On a donc lim
n+(vn+1 vn) = 2.
3) On ´ecrit vn=v0+
n
X
k=1
(vkvk1).
On applique le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent `a la s´erie divergente de terme g´en´eral an=vn+1 vnet `a
la erie de terme en´eral bn= 2. Comme anbnquand n+, on obtient que vn/(2n) a pour limite
1 donc que un/2na pour limite 1 quand ntend vers l’infini.
Autrement dit, un2nquand n+.
Exercice 5. Pour tout nIN?, on pose vn=Z(n+1)π
sin x
xdx.
1) Un changement de variable donne
vn=Zπ
0
sin(x+)
x+dx = (1)nwn, wn=Zπ
0
sin x
x+dx.
La suite (wn)nIN?est positive, d´ecroissante et tend vers z´ero (en effet, wnest major´ee par Zπ
0
dx
=1
n).
Compte tenu du th´eor`eme sp´ecial des eries altern´ees, la s´erie de terme g´en´eral vnest convergente.
Soit t[0, π]. Si xappartient au segment [nπ, nπ +t], de longueur t, alors |sin x|/x 1/() donc :
t[0, π],
Z+t
sin x
xdx
Z+t
dx
t
1
n.
2) On efinit la fonction f: [1,+[IR par
f(x) = Zx
1
sin s
sds.
Si x[1,+[, on ´ecrit x=m(x)π+t(x) o`u m(x)IN est la partie enti`ere de x/π et t(x)[0, π[. On a :
Zx
1
sin t
tdt =Zπ
1
sin t
tdt +Zm(x)π
π
sin t
tdt +Zm(x)π+t(x)
m(x)π
sin t
tdt.
Dans le membre de droite, le premier terme est une constante, le deuxi`eme est ´egal `a la somme partielle
m(x)1
X
k=1
vk. Quand x+(donc m(x)+), il tend vers la somme
+
X
k=1
vkde la erie convergente de
terme en´eral vk. Le troisi`eme terme tend vers 0 quand x+d’apr`es ce qui pr´ec`ede.
On en d´eduit que la fonction f(x)a une limite finie quand x+: lim
x+f(x) = Zπ
1
sin t
tdt +
+
X
k=1
vk.
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