C.N.E.D. 2011-2012 LM260 Corrigé du devoir 1 Exercice 1. Soit a

C.N.E.D. 2011-2012 LM260
Corrig´e du devoir 1
Exercice 1. Soit a∈IR. On pose un=na(√n+ 1 −√n) et vn=na(pn+ (−1)n−√n). Si ∈ {−1,1},
(n+)1/2−n1/2=n1/2((1 + /n)1/2−1) = n1/2(/(2n) + O(1/n2)),(n→+∞).
En particulier un∼na−1/2/2 et vn∼(−1)nna−1/2/2. Par comparaison avec une s´erie de Riemann,
la s´erie `a termes positifs
+∞
X
n=1
unconverge si et seulement si a < −1/2.
Si a≥1/2, la s´erie
+∞
X
n=1
vndiverge car vnne tend pas vers 0. Si a < 1/2, on ´ecrit
vn=v0
n+v00 navec v0 n= (−1)nna−1/2/2, v00 n=O(1/na−3/2).
Le premier terme est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente d’apr`es le th´eor`eme sp´ecial des s´eries
altern´ees car |v0
n|d´ecroˆıt vers 0, et le second est le terme g´en´eral d’une s´erie absolument convergente,
donc convergente, car 3/2−a > 1.
En conclusion, la s´erie
+∞
X
n=1
vnconverge si et seulement si a < 1/2.
Exercice 2. On consid`ere la suite (un)n≥1d´efinie par un= ln n−
n
X
k=1
1/k. On a
an:= un+1 −un= ln(1 + 1/n)−1/(n+ 1) = 1/n −1/(n+ 1) + O(1/n2) = O(1/n2).
Par comparaison avec une s´erie de Riemann, la s´erie
+∞
X
n=1
anest absolument convergente donc convergente.
Comme un=u1+
n−1
X
k=1
ak,il en r´esulte que la suite (un)n≥1est convergente.
Exercice 3. Soit {un}n≥1et {vn}n≥1des s´eries `a termes strictement positifs. On les suppose divergentes.
On note Un=
n
X
k=1
uket Vn=
n
X
k=1
vnles suites des sommes partielles associ´ees. Elles ont pour limites +∞.
On suppose un∼vnquand n→+∞. Soit  > 0. Par d´efinition de l’´equivalence, il existe un entier
N=N() tel que
k > N ⇒1− < uk
vk
<1 + ,
ce qui s’´ecrit aussi (1 −)vk< uk<(1 + )uk. En sommant ces in´egalit´es membre `a membre de k=N+ 1
`a k=navec n > N, on obtient :
n > N, (1 −)(Vn−VN)< Un−UN<(1 + )(Vn−VN),
et donc (1 −)Vn−VN< Un<(1 + )Vn+UN, puis en divisant par Vn:
n > N, (1 −)−VN
Vn
<Un
Vn
<(1 + ) + UN
Vn
.
Les nombres  > 0 et N=N() ´etant fix´es, par hypoth`ese, les suites VN/Vnet UN/Vnont pour limite 0
quand n→+∞. Il existe donc un entier N1=N1(), qu’on peut supposer plus grand que N, tel que les
nombres UN/Vnet VN/Vnsoient major´es par si n > N1. On obtient :
∀ > 0,∃N1∈IN, n > N1⇒ −2 < Un
Vn−1<2,
autrement dit Un/Vn−−−−−→
n→+∞1 : les suites Unet Vnsont ´equivalentes.
1

Exercice 4. On d´efinit la suite (un)n≥0par :
u0= 1, un+1 =un+ 1/unsi n≥0.
1) D’abord, on a u0>0 et si un>0, alors un+1 =un+ 1/un>0. On en d´eduit par r´ecurrence que un
est strictement positif pour tout n≥0. Ensuite qu’on a un+1 > unpour tout n∈IN donc que la suite
(un)n∈IN est bien d´efinie, strictement positive et strictement croissante.
La suite (un)n∈IN est croissante. Elle admet donc une limite l, soit un nombre r´eel soit +∞. Si l∈IR,
on d´eduit de la relation de r´ecurrence qu’on a l+ 1/l = 1, ce qui est impossible. Donc (un)n∈IN a pour
limite +∞quand n→+∞.
2) On pose vn=u2
n. On a :
vn+1 −vn= (un+1 −un)(un+1 +un) = 1
un2un+1 un= 2 + 1 u2
n
.
On vient de montrer que lim
n→+∞un= +∞. On a donc lim n→+∞(vn+1 −vn) = 2.
3) On ´ecrit vn=v0+
n
X
k=1
(vk−vk−1).
On applique le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent `a la s´erie divergente de terme g´en´eral an=vn+1 −vnet `a
la s´erie de terme g´en´eral bn= 2. Comme an∼bnquand n→+∞, on obtient que vn/(2n) a pour limite
1 donc que un/√2na pour limite 1 quand ntend vers l’infini.
Autrement dit, un∼√2nquand n→+∞.
Exercice 5. Pour tout n∈IN?, on pose vn=Z(n+1)π
nπ
sin x
xdx.
1) Un changement de variable donne
vn=Zπ
0
sin(x+nπ)
x+nπ dx = (−1)nwn, wn=Zπ
0
sin x
x+nπ dx.
La suite (wn)n∈IN?est positive, d´ecroissante et tend vers z´ero (en effet, wnest major´ee par Zπ
0
dx
nπ =1 n).
Compte tenu du th´eor`eme sp´ecial des s´eries altern´ees, la s´erie de terme g´en´eral vnest convergente.
Soit t∈[0, π]. Si xappartient au segment [nπ, nπ +t], de longueur t, alors |sin x|/x ≤1/(nπ) donc :
t∈[0, π],
Znπ+t
nπ
sin x
xdx
≤ Znπ+t
nπ
dx
nπ 
≤t
nπ ≤1 n.
2) On d´efinit la fonction f: [1,+∞[→IR par
f(x) = Zx
1
sin s
sds.
Si x∈[1,+∞[, on ´ecrit x=m(x)π+t(x) o`u m(x)∈IN est la partie enti`ere de x/π et t(x)∈[0, π[. On a :
Zx
1
sin t
tdt =Zπ
1
sin t
tdt +Zm(x)π
π
sin t
tdt +Zm(x)π+t(x)
m(x)π
sin t
tdt.
Dans le membre de droite, le premier terme est une constante, le deuxi`eme est ´egal `a la somme partielle
m(x)−1
X
k=1
vk. Quand x→+∞(donc m(x)→+∞), il tend vers la somme
+∞
X
k=1
vkde la s´erie convergente de
terme g´en´eral vk. Le troisi`eme terme tend vers 0 quand x→+∞d’apr`es ce qui pr´ec`ede.
On en d´eduit que la fonction f(x)a une limite finie quand x→+∞: lim
x→+∞f(x) = Zπ
1
sin t
tdt +
+∞
X
k=1
vk.