C.N.E.D. 2011-2012 LM260
Corrig´e du devoir 1
Exercice 1. Soit a∈IR. On pose un=na(√n+ 1 −√n) et vn=na(pn+ (−1)n−√n). Si ∈ {−1,1},
(n+)1/2−n1/2=n1/2((1 + /n)1/2−1) = n1/2(/(2n) + O(1/n2)),(n→+∞).
En particulier un∼na−1/2/2 et vn∼(−1)nna−1/2/2. Par comparaison avec une s´erie de Riemann,
la s´erie `a termes positifs
+∞
X
n=1
unconverge si et seulement si a < −1/2.
Si a≥1/2, la s´erie
+∞
X
n=1
vndiverge car vnne tend pas vers 0. Si a < 1/2, on ´ecrit
vn=v0
n+v00
navec v0
n= (−1)nna−1/2/2, v00
n=O(1/na−3/2).
Le premier terme est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente d’apr`es le th´eor`eme sp´ecial des s´eries
altern´ees car |v0
n|d´ecroˆıt vers 0, et le second est le terme g´en´eral d’une s´erie absolument convergente,
donc convergente, car 3/2−a > 1.
En conclusion, la s´erie
+∞
X
n=1
vnconverge si et seulement si a < 1/2.
Exercice 2. On consid`ere la suite (un)n≥1d´efinie par un= ln n−
n
X
k=1
1/k. On a
an:= un+1 −un= ln(1 + 1/n)−1/(n+ 1) = 1/n −1/(n+ 1) + O(1/n2) = O(1/n2).
Par comparaison avec une s´erie de Riemann, la s´erie
+∞
X
n=1
anest absolument convergente donc convergente.
Comme un=u1+
n−1
X
k=1
ak,il en r´esulte que la suite (un)n≥1est convergente.
Exercice 3. Soit {un}n≥1et {vn}n≥1des s´eries `a termes strictement positifs. On les suppose divergentes.
On note Un=
n
X
k=1
uket Vn=
n
X
k=1
vnles suites des sommes partielles associ´ees. Elles ont pour limites +∞.
On suppose un∼vnquand n→+∞. Soit > 0. Par d´efinition de l’´equivalence, il existe un entier
N=N() tel que
k > N ⇒1− < uk
vk
<1 + ,
ce qui s’´ecrit aussi (1 −)vk< uk<(1 + )uk. En sommant ces in´egalit´es membre `a membre de k=N+ 1
`a k=navec n > N, on obtient :
n > N, (1 −)(Vn−VN)< Un−UN<(1 + )(Vn−VN),
et donc (1 −)Vn−VN< Un<(1 + )Vn+UN, puis en divisant par Vn:
n > N, (1 −)−VN
Vn
<Un
Vn
<(1 + ) + UN
Vn
.
Les nombres > 0 et N=N() ´etant fix´es, par hypoth`ese, les suites VN/Vnet UN/Vnont pour limite 0
quand n→+∞. Il existe donc un entier N1=N1(), qu’on peut supposer plus grand que N, tel que les
nombres UN/Vnet VN/Vnsoient major´es par si n > N1. On obtient :
∀ > 0,∃N1∈IN, n > N1⇒ −2 < Un
Vn−1<2,
autrement dit Un/Vn−−−−−→
n→+∞1 : les suites Unet Vnsont ´equivalentes.
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