T.D. Série n 1 : Préliminaires: rappels de topologie

Universit´e Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies
43, boulevard 11 novembre 1918 Sp´ecialit´e Math´ematiques
69622 Villeurbanne cedex, France Calcul Diff´erentiel Printemps 2010
T.D. S´erie n◦1 :
Pr´eliminaires: rappels de topologie
Exercice I. (Espaces de Banach)
Montrer que les K-espaces vectoriels (K=Rou C) suivants, munis des normes indiqu´ees
sont des espaces de Banach.
(a) B(X, K) ensemble des fonctions d´efinies sur un ensemble X, `a valeurs dans K,
born´ees, muni de la norme f7→ kfk= sup
x∈X
|f(x)|.
(b) C(T, K) ensemble des fonctions continues sur un espace m´etrique compact T`a valeurs
dans K, muni de la norme f7→ kfk= sup
x∈T
|f(x)|.
(c) l∞(K) ensemble des suites born´ees d’´el´ements de K, norm´e par x= (xn)7→ kxk=
sup
n∈N
|xn|.
(d) l1(K) ensemble des suites (xn) d’´el´ements de Ktelles que la s´erie de terme g´en´eral
xnsoit absolument convergente, norm´e par x= (xn)7→ kxk=
+∞
X
n=0
|xn|.
Exercice II. (Applications lin´eaires et continues)
(a) Soit E=C([0,1],R) l’espace vectoriel des applications continues de [0,1] dans R
muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ϕ:E→El’application lin´eaire d´efinie
par: pour tout f∈E, pour tout x∈[0,1], ϕ(f)(x) = Rx
0f(t)dt. Montrer que ϕest continue
et calculer kϕk.
(b) Soit Fl’espace vetoriel des applications de Rdans Rcontinues born´ees, muni de la
norme de la convergence uniforme k.k∞.
Soit Gl’espace vectoriel des applications de Rdans R, born´ees, de classe C1sur Ret
dont la d´eriv´ee appartient `a F. Nous d´efinissons la norme f7→ kfk1=kfk∞+kf0k∞sur G
et une applications lin´eaire Φ : G→Ftelle que Φ(f) = f0.
Montrer que Φ est continue et calculer kΦk. (Indication: penser `a utiliser la suite (fn)
des fonctions de Rdans Rd´efinies par fn(x) = 1
narctan(nx),n≥1).
Exercice III. (Applications bilin´eaires et continues)
(a) Soit φ:Rn×Rn→Rdonn´ee par φ(x, y) = < x, y >=Pn
i=1 xiyi(produit scalaire).
Montrer que φest une application bilin´eaire et continue et trouver kφk.
(b) Soit Eun espace vectoriel norm´e et notons E0=L(E, R). Soit ϕ:E×E0→R
donn´ee par ϕ(x, u) = u(x). Montrer que ϕest bilin´eaire et continue et que kϕk ≤ 1.
Exercice IV. (Applications non-lin´eaires continues)
Soit E=C([0,1],R) muni de la norme de la convergence uniforme.
1

(a) Montrer que l’application ϕ:E→Edonn´ee par ϕ(u)(x) = u2(x),∀u∈E,
∀x∈[0,1] est bien d´efinie et continue.
(b) Plus g´en´eralement, soit f:R→Rune application continue. Montrer que l’application
φ:E→Edonn´ee par φ(u)(x) = f(u(x)),∀u∈E, ∀x∈[0,1] est bien d´efinie et continue.
Exercice V. (S´erie absolument convergente )
Soient Eun espace norm´e et (un) une suite de E. Nous rappellons qu’une s´erie de terme
g´en´eral un(ou, par abus s´erie Punou encore s´erie
+∞
X
n=0
un) est convergente, de somme
s=
+∞
X
n=0
un, si la suite (sn) o`u pour tout n∈N,sn=
n
X
m=0
umest convergente, de limite s. De
plus, la s´erie de terme g´en´eral unest absolument convergente si la s´erie `a termes positifs de
terme g´en´eral kunkest convergente.
(a) Supposons que Esoit un espace de Banach.
Montrer que toute s´erie absolument convergente est convergente.
(b) Supposons que Esoit une alg`ebre de Banach (autrement dit, que Esoit une alg`ebre
munie d’une norme k.ktelle que kxy k ≤ k xk k yk, pour tout (x, y)∈E2, et (E, k.k)
complet). Soient Punet Pvndeux s´eries (`a termes dans E) absolument convergentes.
Posons, pour tout n∈N,wn=Pn
m=0 umvn−m.
Montrer que la s´erie Pwnest absolument convergente et que
+∞
X
n=0
wn= (
+∞
X
n=0
un)(
+∞
X
n=0
vn).
Exercice VI. (Matrices)
Soit Mn(K) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans K.
(a)* Montrer que le fait de poser pour tout A= (aij )∈Mn(K),kAk=nmax
1≤i,j≤n|aij |,
d´efinit une norme sur Mn(K) telle que pour tout (A, B)∈(Mn(K))2,kAB k≤k Akk Bk.
(b) Montrer que, pour tout A∈Mn(K), la s´erie
+∞
X
n=0
1
n!Anest absolument convergente
(par convention A0=I,I´etant la matrice unit´e). Par d´efinition, nous notons sa somme
exp(A) ou eA.
(c) Montrer que si Aet Bsont deux ´el´ements de Mn(K) qui COMMUTENT (autrement
dit, tels que AB =BA), nous avons exp(A+B) = exp(A)exp(B). En d´eduire que, pour
tout A∈Mn(K), exp(A) est inversible. Que vaut alors (exp(A))−1?
Exercice VII. (Isomorphismes)
Soient Eet Fdes espaces de Banach, L(E, F ) l’espace de Banach des applications lin´eaires
continues de Edans F, et Isom(E, F ) l’ensemble des isomorphismes d’espaces norm´es de E
sur F.
(a) Soit 1E=idE. Montrer que si v∈L(E)(= L(E, E)) est telle que k1E−vk<1,
alors v∈Isom(E, E). Indication: utiliser le terme g´en´eral (1E−v)n.
(b) En d´eduire que Isom(E, F ) est un ouvert (´eventuellement vide !) de L(E, F ).
Pour ce faire, nous pourrons montrer que si Isom(E, F )6=∅, et si u0∈Isom(E, F ), alors
B(u0,1
ku−1
0k)⊂Isom(E, F ).
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