Correction - IMJ-PRG

LM 201
2009/2010
M. NGUYEN PHU QUI
Correction du contrôle 7
Exercice 1
n2
1) La série de terme général un = √ converge-t-elle ?
n!
2) Soit f : R → R une fonction de classe C 2 , telle que f (0) = 1, f 0 (0) = 0. En utilisant la formule de
Taylor-Young, prouver que la série de terme général un = 1 − f (1/n) converge. En déduire que la série
de terme général un = 1 − cos(1/n) converge.
Correction : 1) La série considérée étant à termes positifs, on peut essayer le critère de d’Alembert
pour contrôler sa convergence. On examine donc le rapport
(n + 1)2
un+1
1
√
=
.
un
n2
n+1
Le premier facteur tend vers 1, le second vers 0 ; ainsi, un+1 /un possède une limitePfinie, qui est
strictement inférieure à 1. Le critère de d’Alembert s’applique donc et permet de dire que
un converge.
2) Comme f est de classe C 2 , f 00 (0) existe et on peut appliquer la formule de Taylor-Young en 0 :
f (x) = f (0) + xf 0 (0) +
f 00 (0)x2
f 00 (0)x2
+ o(x2 ) = 1 +
+ o(x2 )
2
2
grâce aux hypothèses faites sur la fonction f (f (0) = 1, f 0 (0) = 0). Quand n tend vers +∞, 1/n tend
vers 0. Ainsi, on peut écrire, en +∞ :
1 − f (1/n) = −
f 00 (0)x2
+ o(1/n2 ).
2
Ainsi, la série de terme général 1 − f (1/n) est sommable, comme somme de deux séries sommables
(séries de Riemann sommables). Comme la fonction cos est de classe C ∞ , et vérifie cos(0) = 1,
cos0 (0) = − sin(0) = 0, le résultat précédent s’applique à la série de terme général un = 1 − cos(1/n),
qui est convergente.
Exercice 2
Linéariser cos 2 t sin t.
Correction : En utilisant la méthode expliquée dans le cours, on trouve aisément cos 2 t sin t =
(sin(3t) + sin t)/4.
Exercice 3
On veut démontrer que e est irrationnel. On suppose donc, par l’absurde, que e = a/b avec a ∈ N,
b ∈ N∗ . On pose
!
b
X
1
.
N = b! e −
k!
k=0
1) Montrer que N est entier.
2) Montrer que N est strictement compris entre 0 et 1. En déduire que e est irrationnel.
1
Correction : 1) Comme e = a/b par hypothèse, b!e = a(b − 1)! est entier, de même que b!/k! =
b(b − 1)...(k + 1) pour tout 0 ≤ k ≤ b. Ainsi on a
N = b!e −
b
X
b!
k!
k=0
donc N est une somme d’entiers, donc N est entier.
2) Par définition de l’exponentielle, on a
e−
+∞
b
X
X
1
1
=
k!
k!
k=0
donc
N=
k=b+1
1
1
1
+
+
...
b+1
(b + 1)(b + 2)
(b + 1)(b + 2)(b + 3)
Sur cette expression, il est clair que N est strictement positif (somme de nombres strictement positifs).
De plus, N < 1, car
1
1
1
b+1
1
1
N≤
+
... ≤
1+
= <1
b+1
b+1
(b + 1)2
b+1
b
b
car e n’est pas entier1 . Comme il n’existe pas d’entier strictement compris entre 0 et 1, on aboutit à
l’absurdité souhaitée : e est irrationnel.
1 On peut l’admettre, bien qu’il ne serait pas complètement déplacé de le démontrer. Pour le voir, on peut
écrire que e est strictement supérieur à 1 (grâce à son expression comme la série des inverses des factorielles), et
que e − 1 = 1/2 + 1/2.3 + ... est strictement plus petit que 1/2 + 1/4 + ... = 1, donc e < 2. Ainsi e n’est pas entier.
2