Correction - IMJ-PRG

LM 201
2009/2010
M. NGUYEN PHU QUI
Correction du contrˆole 7
Exercice 1
1) La s´erie de terme g´en´eral un=n2
√n!converge-t-elle ?
2) Soit f:R→Rune fonction de classe C2, telle que f(0) = 1, f0(0) = 0. En utilisant la formule de
Taylor-Young, prouver que la s´erie de terme g´en´eral un= 1 −f(1/n)converge. En d´eduire que la s´erie
de terme g´en´eral un= 1 −cos(1/n)converge.
Correction : 1) La s´erie consid´er´ee ´etant `a termes positifs, on peut essayer le crit`ere de d’Alembert
pour contrˆoler sa convergence. On examine donc le rapport
un+1
un
=(n+ 1)2
n2
1
√n+ 1 .
Le premier facteur tend vers 1, le second vers 0 ; ainsi, un+1/unposs`ede une limite finie, qui est
strictement inf´erieure `a 1. Le crit`ere de d’Alembert s’applique donc et permet de dire que Punconverge.
2) Comme fest de classe C2,f00 (0) existe et on peut appliquer la formule de Taylor-Young en 0 :
f(x) = f(0) + xf0(0) + f00 (0)x2
2+o(x2) = 1 + f00 (0)x2 2+o(x2)
grˆace aux hypoth`eses faites sur la fonction f(f(0) = 1, f 0(0) = 0). Quand ntend vers +∞, 1/n tend
vers 0. Ainsi, on peut ´ecrire, en +∞:
1−f(1/n) = −f00 (0)x2
2+o(1/n2).
Ainsi, la s´erie de terme g´en´eral 1 −f(1/n) est sommable, comme somme de deux s´eries sommables
(s´eries de Riemann sommables). Comme la fonction cos est de classe C∞, et v´erifie cos(0) = 1,
cos0(0) = −sin(0) = 0, le r´esultat pr´ec´edent s’applique `a la s´erie de terme g´en´eral un= 1 −cos(1/n),
qui est convergente.
Exercice 2
Lin´eariser cos 2tsin t.
Correction : En utilisant la m´ethode expliqu´ee dans le cours, on trouve ais´ement cos 2tsin t=
(sin(3t) + sin t)/4.
Exercice 3
On veut d´emontrer que eest irrationnel. On suppose donc, par l’absurde, que e=a/b avec a∈N,
b∈N∗. On pose
N=b! e−
b
X
k=0
1
k!!.
1) Montrer que Nest entier.
2) Montrer que Nest strictement compris entre 0et 1. En d´eduire que eest irrationnel.
1

Correction : 1) Comme e=a/b par hypoth`ese, b!e=a(b−1)! est entier, de mˆeme que b!/k! =
b(b−1)...(k+ 1) pour tout 0 ≤k≤b. Ainsi on a
N=b!e−
b
X
k=0
b!
k!
donc Nest une somme d’entiers, donc Nest entier.
2) Par d´efinition de l’exponentielle, on a
e−
b
X
k=0
1
k!=
+∞
X
k=b+1
1
k!
donc
N=1
b+ 1 +1 (b+ 1)(b+ 2) +1 (b+ 1)(b+ 2)(b+ 3) ...
Sur cette expression, il est clair que Nest strictement positif (somme de nombres strictement positifs).
De plus, N < 1, car
N≤1
b+ 1 1 + 1 b+ 1 +1 (b+ 1)2...≤1 b+ 1 b+ 1 b=1 b<1
car en’est pas entier1. Comme il n’existe pas d’entier strictement compris entre 0 et 1, on aboutit `a
l’absurdit´e souhait´ee : eest irrationnel.
1On peut l’admettre, bien qu’il ne serait pas compl`etement d´eplac´e de le d´emontrer. Pour le voir, on peut
´ecrire que eest strictement sup´erieur `a 1 (grˆace `a son expression comme la s´erie des inverses des factorielles), et
que e−1=1/2+1/2.3 + ... est strictement plus petit que 1/2+1/4 + ... = 1, donc e < 2. Ainsi en’est pas entier.
2