Calcul différentiel, TD 1 Préliminaires. Applications différentiables

Calcul diff´erentiel, TD 1
Pr´eliminaires. Applications diff´erentiables
1. Montrer que les K-espaces vectoriels (K=Rou C) suivants, munis des normes indiqu´ees,
sont des espaces de Banach:
(a) B(X, K) ensemble des fonctions d´efinies sur un ensemble X, `a valeurs dans K,
born´ees, muni de la norme f7→ ||f|| = sup
x∈X
|f(x)|.
(b) C(T, K) ensemble des fonctions continues sur un espace topologique compact T`a
valeurs dans K, muni de la norme f7→ ||f|| = sup
x∈T
|f(x)|.
(c) l∞(K) ensemble des suites born´ees d’´el´ements de K, norm´e par x= (xn)7→ ||x|| =
sup
n∈N
|xn|.
(d) l1(K) ensemble des suites (xn) d’´el´ements de Ktelles que la s´erie de terme g´en´eral
xnsoit absolument convergente, norm´e par x= (xn)7→ ||x|| =
+∞
X
n=0
|xn|.
2. Soit Eun espace norm´e et (un) une suite de E. On rappelle que l’on dit que la s´erie
de terme g´en´eral un(ou, abusivement, que la s´erie Xunou encore la s´erie
+∞
X
n=0
un) est
convergente, de somme s(et on note s=
+∞
X
n=0
un), si la suite (sn) o`u, ∀n∈N,sn=
n
X
m=0
um,
est convergente, de limite s. On dit que la s´erie de terme g´en´eral unest absolument
convergente si la s´erie `a termes positifs de terme g´en´eral ||un|| est convergente.
(a) On suppose que Eest un espace de Banach. Montrer que toute s´erie absolument
convergente est convergente.
(b) On suppose que Eest une alg`ebre de Banach (i.e. Eest une alg`ebre munie d’une
norme ||.|| telle que ||xy|| ≤ ||x|| ||y||,∀(x, y)∈E2, et (E, ||.||) est complet). Soient
Xunet Xvndeux s´eries (`a termes dans E) absolument convergentes.
On pose, ∀n∈N,wn=
n
X
m=0
umvn−m. Montrer que la s´erie Xwnest absolument
convergente et que
+∞
X
n=0
wn= +∞
X
n=0
un! +∞
X
n=0
vn!.
3. Soit Mn(K) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n`a cœfficients dans K.
(a) Montrer que si l’on pose, ∀A= (aij )∈ Mn(K), ||A|| =nmax
1≤i,j≤n|aij |, on d´efinit une
norme sur Mn(K) telle que, ∀(A, B)∈(Mn(K))2,||AB|| ≤ ||A|| ||B||.
(b) Montrer que, ∀A∈ Mn(K), la s´erie
+∞
X
n=0
1
n!Anest absolument convergente (on pose,
par convention, A0=I, la matrice unit´e). On d´esignera par exp(A) ou exp Asa
somme.
1

(c) Montrer que si Aet Bsont deux ´el´ements de Mn(K) qui commutent (i.e. tels que
AB =BA) on a exp(A+B) = exp(A) exp(B). En d´eduire que, ∀A∈ Mn(K), exp A
est inversible. Que vaut (exp A)−1?
4. Soient Eet Fdes espaces de Banach, L(E, F ) l’espace de Banach des applications lin´eaires
continues de Edans F, Isom(E, F ) l’ensemble des isomorphismes d’espaces norm´es de E
sur F(i.e. u∈Isom(E, F ) si et seulement si uest un isomorphisme d’espaces vectoriels
de Esur Fet un hom´eomorphisme de Esur F).
(a) Soit 1E= idE. Montrer que si v∈ L(E) (= L(E, E)) est telle que ||1E−v|| <1,
v∈Isom(E, E). Indication: utiliser la s´erie de terme g´en´eral (1E−v)n.
(b) En d´eduire que Isom(E, F ) est un ouvert (´eventuellement vide!) de L(E, F ).
Pour ce faire, on pourra montrer que si Isom(E, F )6=∅, si u0∈Isom(E, F ),
Bu0,1
||u−1
0||⊂Isom(E, F ).
5. (a) Soit El’espace vectoriel des applications continues de [0,1] dans Rmuni de la norme
de la convergence uniforme. Soit ϕ:E→El’application lin´eaire d´efinie par:
∀f∈E,∀x∈[0,1], ϕ(f)(x) = Zx
0
f(t)dt. Montrer que ϕest continue et calculer
||ϕ||.
(b) Soit Fl’espace vectoriel des applications de Rdans Rcontinues et born´ees, muni de
la norme de la convergence uniforme ||.||∞.
Soit El’espace vectoriel des applications de Rdans R, born´ees, de classe C1sur R
et dont la d´eriv´ee appartient `a F. On norme Epar f7→ ||f||1=||f||∞+||f0||∞.
On d´efinit une application lin´eaire Φ : E→Fpar Φ(f) = f0. Montrer que Φ est
continue et calculer ||Φ|| (on pourra s’aider de la suite (fn) de fonctions de Rdans
Rd´efinies par fn(x) = 1
nArctg(nx), n≥1).
6. Soient Eet Fdes espaces de Banach ; on rappelle (cf. exercice 4) que Isom(E, F ) est
un ouvert de L(E, F ). Montrer que l’application f: Isom(E, F )→Isom(F, E) d´efinie
par f(u) = u−1est diff´erentiable sur Isom(E, F ) et que, ∀u∈Isom(E, F ), ∀h∈ L(E, F ),
dfu(h) = −u−1◦h◦u−1.
7. Soient Iun intervalle ouvert de R,Eun espace norm´e et fune application de Idans E.
(a) Montrer que fest d´erivable en t0∈Isi et seulement si elle est diff´erentiable en t0.
Par quelle relation f0(t0) et dft0sont-elles reli´ees?
(b) Montrer qu’il existe une isom´etrie lin´eaire canonique de L(R, E) sur E.
(c) Cette isom´etrie permet donc d’identifier L(R, E) `a E. Si fest diff´erentiable en
t0∈I, `a quel vecteur de Ecette isom´etrie identifie-t-elle dft0?
2