Preuve de la formule de Poisson 2π ∑ f(2πj) = ∑ ˆ f(k) (1) o`u f est

Preuve de la formule de Poisson
X
X
2π
f (2πj) =
fˆ(k)
j∈Z
(1)
k∈Z
où f est une fonction de Schwartz sur R (ou plus généralement une fonction continue
sur R satisfaisant (2) et (3)).
Rappels : Soit f ∈ S(R). Alors
X
|fˆ(k)| < +∞
(2)
k∈Z
car par deux intégrations par parties on a
Z
Z
1
e−xξ 00
ˆ
|f (ξ)| = f (x)
dx ≤ 2 |f 00 (x)|dx → 0 lorsque |ξ| → +∞.
(−iξ)2
|ξ|
De plus, f est à décroissance rapide donc en particulier il existe M > 0 et α > 1
tels que
|f (x)| ≤
1
(1 + |x|)α
pour tout x ∈ R.
(3)
Preuve de (1). (L’idée consiste à utiliser une fonction auxiliaire F périodique construite (de façon facile) à partir de f et de calculer sa série de Fourier dont le
coefficients s’averent être (à un facteur P
près) les fˆ(k).)
Soit f ∈ S(R). Montrons que la série j∈Z f (x − 2πj) convergence uniformément
(même normalement) sur tout compact [−A, A] (où A > 0) de R.
Soit |x| ≤ A et |j| ≥ 2A. Alors |x+j| ≥ |j|−|x| ≥ |j|−A ≥ |j|− |j|
2 =
D’après (3) donc
X
sup
|f (x + j)| ≤
j∈Z x∈[−A,A]
X
|j|<A
(· · · ) +
X
M
|j|≥A (1 +
|j| α
2 )
|j|
2 .
< +∞.
P
Nous pouvons donc définir F (x) = j∈Z f (x−2πj) pour tout x ∈ R. Grâce à la convergence sur tout compact
à F . De plus F est 2π-périodique
P la continuité de f passeP
sur R car F (x + 2π) = j∈Z f (x − 2π(j − 1)) = k∈Z f (x − 2πk).
En particulier il yPa convergence uniforme sur [0; 2π] de la série définissant F , de
même pour la série j∈Z f (x − 2πj)e−ikx pour tout k ∈ N (car |e−ikx | = 1) ce qui
R
P
permet l’inversion de et de
dans le calcul des coefficients de Fourier :
Z 2π
Z 2π X
1
1
−ikt
ck (F ) =
F (t)e dt =
f (t − 2πj)e−ikt dt
2π 0
2π 0 j∈Z
Z
Z
1 X 2π
1 X 2π
−ikt
=
f (t − 2πj)e dt =
f (t − 2πj)e−ik(t−2πj) dt
2π j∈Z 0
2π j∈Z 0
Z
Z
1 X −2π(j−1)
1
1 ˆ
−iks
=
f (s)e
ds =
f (s)e−iks ds =
f (k).
2π j∈Z −2πj
2π
2π
Une fonction continue et périodique dont la série de Fourier
Pconverge uniformément
coı̈ncide avec sa série de Fourier. C’est le cas pour F car k∈Z supt∈R |ck (F ) eikt | =
P
P
P
1
1
ikx
ˆ
ˆ
.
k∈Z |ck (F )| = 2π
k∈Z f (k) < +∞ grâce à (2). Donc F (x) = 2π
k∈Z f (k)e
En prenant x = 0 on obtient (1).