Preuve de la formule de Poisson 2π ∑ f(2πj) = ∑ ˆ f(k) (1) o`u f est

Preuve de la formule de Poisson
2πX
j∈Z
f(2πj) = X
k∈Z
ˆ
f(k) (1)
o`u fest une fonction de Schwartz sur R(ou plus g´en´eralement une fonction continue
sur Rsatisfaisant (2) et (3)).
Rappels : Soit f∈ S(R). Alors
X
k∈Z
|ˆ f(k)|<+∞(2)
car par deux int´egrations par parties on a
|ˆ f(ξ)|=
Zf00(x)e−xξ
(−iξ)2
dx≤1
|ξ|2Z|f00(x)|dx→0 lorsque |ξ| → +∞.
De plus, fest `a d´ecroissance rapide donc en particulier il existe M > 0 et α > 1
tels que
|f(x)| ≤ 1
(1 + |x|)αpour tout x∈R.(3)
Preuve de (1).(L’id´ee consiste `a utiliser une fonction auxiliaire Fp´eriodique con-
struite (de fa¸con facile) `a partir de fet de calculer sa s´erie de Fourier dont le
coefficients s’averent ˆetre (`a un facteur pr`es) les ˆ f(k).)
Soit f∈ S(R). Montrons que la s´erie Pj∈Zf(x−2πj) convergence uniform´ement
(mˆeme normalement) sur tout compact [−A, A] (o`u A > 0) de R.
Soit |x| ≤ Aet |j| ≥ 2A. Alors |x+j|≥|j|−|x| ≥ |j|−A≥ |j|− |j|
2=|j| 2.
D’apr`es (3) donc
X
j∈Z
sup
x∈[−A,A]
|f(x+j)| ≤ X
|j|<A
(· · · ) + X
|j|≥A
M
(1 + |j|
2)α<+∞.
Nous pouvons donc d´efinir F(x) = Pj∈Zf(x−2πj) pour tout x∈R. Grˆace `a la con-
vergence sur tout compact la continuit´e de fpasse `a F. De plus Fest 2π-p´eriodique
sur Rcar F(x+ 2π) = Pj∈Zf(x−2π(j−1)) = Pk∈Zf(x−2πk).
En particulier il y a convergence uniforme sur [0; 2π] de la s´erie d´efinissant F, de
mˆeme pour la s´erie Pj∈Zf(x−2πj)e−ikx pour tout k∈N(car |e−ikx|= 1) ce qui
permet l’inversion de Ret de Pdans le calcul des coefficients de Fourier :
ck(F) = 1
2πZ2π
0
F(t)e−iktdt=1
2πZ2π
0X
j∈Z
f(t−2πj)e−iktdt
=1
2πX
j∈ZZ2π
0
f(t−2πj)e−iktdt=1
2πX
j∈ZZ2π
0
f(t−2πj)e−ik(t−2πj)dt
=1
2πX
j∈ZZ−2π(j−1)
−2πj
f(s)e−iksds=1
2πZf(s)e−iksds=1 2πˆ
f(k).
Une fonction continue et p´eriodique dont la s´erie de Fourier converge uniform´ement
co¨ıncide avec sa s´erie de Fourier. C’est le cas pour Fcar Pk∈Zsupt∈R|ck(F)eikt|=
Pk∈Z|ck(F)|=1
2πPk∈Zˆ
f(k)<+∞grˆace `a (2). Donc F(x) = 1
2πPk∈Zˆ
f(k)eikx.
En prenant x= 0 on obtient (1).