Espaces de Hilbert, Lp et transformée de Fourier

Master 1 Math´ematiques Universit´e de Montpellier
Analyse Fonctionnelle HMMA113 Ann´ee universitaire 2016-2017
Feuille d’exercices no3
Espaces de Hilbert, espaces Lpet transform´ee de Fourier
Exercice 1 (Autour des espaces de Hilbert) Dans cet exercice les questions sont ind´ependantes les
unes des autres. Soit (H, (,)) un espace pr´ehilbertien.
1. Montrer que toute famille de vecteurs de Hnon nuls et orthogonaux est libre.
2. Soit Aune partie non vide, convexe et compl`ete de Het xun point de H. On rappelle que xposs`ede
un unique projet´e sur A, not´e pA(x), caract´eris´e par la propri´et´e kx−pA(x)k= infa∈Akx−ak.
(a) Soient x, y ∈H, et a∈A. En utilisant l’inclusion pA(x)+t(a−pA(x)) ∈Apour tout 0 ≤t≤1,
montrer qu’on a −2tRe((x−pA(x), a −pA(x))) + t2ka−pA(x)k2≥0. ` A l’aide de l’in´egalit´e
de Cauchy-Schwarz, en d´eduire que kpA(x)−pA(y)k≤kx−yk.
(b) Montrer que si de plus Aest un sous-espace vectoriel de H, et y∈Aalors y=pA(x) ssi
x−y∈A⊥. V´erifier que pAest la projection de Hsur Aparall`element `a A⊥.
(c) On prend A=B(0,1]. Montrer que pour tout x∈H\Aon a pA(x) = x/kxk.
(d) On suppose que (H, (,)) est l’espace l2(N) des suites complexes x= (xn) telles que kxk2<∞,
muni d’une base orthonorm´ee (en). Soit Fle sous-espace vectoriel engendr´e par la famille (e2n).
Montrer que :
i. pA(x) = Pn≥0(x, e2n)e2n, o`u A⊂l2(N) est l’adh´erence de F.
ii. Si xest la suite (1/n), il n’existe aucun vecteur y∈Ftel que x−y∈F⊥.
iii. Il existe y∈Ftel que x−y∈F⊥ssi l’ensemble des entiers ntels que (x, e2n)6= 0 est fini.
iv. D´eterminer F⊥.
3. Montrer que si (H, (,)) est un Hilbert, alors pour tout sous-espace Fde Hon a F⊥⊥ =¯ F.
4. On suppose `a nouveau que (H, (,)) est l’espace l2(N). Montrer que A={(1 + 1/n)en, n ∈N\{0}}
est une partie ferm´ee de H, mais que le vecteur nul n’a pas de projection sur A. (On pourra montrer
que pour tout point z /∈A,B(z, 1/2] ∩Acontient au plus un point de A.)
5. On suppose que (H, (,)) est un Hilbert, et Tun endomorphisme continu de H.
(a) Montrer qu’il existe un unique endomorphisme continu T∗de Htel que (T x, y)=(x, T ∗y)
pour tous x, y ∈H(On pourra utiliser le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz). Montrer que
T∗∗ =T, puis que kTk=kT∗k.
(b) Soit Fun sous-espace ferm´e de H. Montrer que pF=p∗
F. R´eciproquement, montrer que si
H=F⊕Gest une somme directe topologique telle que le projecteur pde Esur Fv´erifie
p=p∗, alors G=F⊥et p=pF.
6. On rappelle qu’une famille (xi)i∈Ide Hest sommable de somme x, not´ee Pi∈Ixi, si pour tout
ε > 0 il existe J0⊂Ifini tel que pour toute partie Jqui contient J0, on a kx−Pj∈Jxjk< ε. Soit
(Fi)i∈Iune famille de sous-espaces de Hcomplets et deux `a deux orthogonaux, pila projection
orthogonale de Hsur Fi, et Fl’adh´erence du sous-espace vectoriel de Hform´e par les combinaisons
lin´eaires finies de vecteurs yi∈Fi.
(a) Montrer que pour tout x∈H, et toute famille finie (yi)i∈Javec yi∈Fi, on a l’in´egalit´e
kx−Pi∈Jpi(x)k≤kx−Pi∈Jyik.
(b) En d´eduire que xest la somme d’une unique famille (xi)i∈I,xi∈Fi.
1

(c) Que dit ce r´esultat lorsque H=l2(N) et Fi=Kei?
7. (Endomorphismes compacts) On suppose que (H, (,)) est un espace de Hilbert.
(a) Soit (Tn) une suite d’endomorphismes compacts de H. Montrer que si (Tn) converge pour la
norme d’op´erateurs, alors sa limite est un endomorphisme compact. (Indication : montrer que
T(B(0,1)) est pr´ecompacte.)
(b) V´erifier que tout endomorphisme de Hcontinu et de rang fini est compact.
(c) On veut montrer que si Hest s´eparable (auquel cas Hposs`ede un syst`eme orthonormal
complet d´enombrable {en}n∈N), alors tout endomorphisme compact de Hest limite d’une
suite d’endomorphismes de Hcontinus et de rang fini. Soit donc T:H→Hcompact.
i. Montrer que l’application identit´e de (T(B(0,1)),k·k) sur T(B(0,1)) muni de la topologie
faible est un hom´eomorphisme.
ii. En d´eduire que si (xn) converge faiblement vers x, alors T(xn) converge fortement vers
T(x).
iii. En d´eduire que la suite (T(en)) converge fortement vers 0 pour tout syst`eme orthonormal
complet {en}n∈Nde H. (Indication : utiliser l’in´egalit´e de Bessel.)
iv. On suppose qu’il existe ε > 0 tel que kT−Qk> ε pour tout op´erateur Q:H→Hde
rang fini. En raisonnant par r´ecurrence, montrer qu’alors il existe un syst`eme orthonormal
complet {en}n∈Nde Htel que kT(en)k> ε pour tout n∈N. (Indication : noter que
kT−T Pnk> ε, o`u Pnest le projecteur orthogonal de Hsur le sous-espace engendr´e par
les vecteurs ek,k≤n.)
v. Conclure.
8. (Un exemple) On consid`ere l’espace de Hilbert complexe H=L2([0, π/2]). Pour toute fonction
f∈Het tout t∈[0, π/2] on pose T f(t) = cos(t)Rt
0sin(s)f(s)ds. Montrer que l’application
T:f7→ T f d´efinit une application lin´eaire et continue de Hdans H. D´eterminer T∗, et montrer
que Tet T∗sont des op´erateurs compacts.
Exercice 2 Soit L1(0,1) l’espace des fonctions r´eelles Lebesgue int´egrables sur ]0,1[ muni de la norme
kuk=R1
0|u(x)|dx.
1. Soit fune fonction r´eelle continue sur [0,1]. On d´efinit T(u) = R1
0f(x)u(x)dx,u∈L1(0,1).
Justifier que T∈(L1(0,1))0et kTk=kfk∞.
2. Mˆeme question lorsque fest une fonction r´eelle mesurable sur ]0,1[ telle que f∈L∞(0,1).
Exercice 3 Soient Ω un ouvert born´e de Rnet gune fonction mesurable sur Ω telle que f g ∈L1(Ω) pour
toute classe de fonctions f∈Lp(Ω) (1 ≤p < ∞). En utilisant le th´eor`eme du graphe ferm´e, montrer que
l’op´erateur lin´eaire A:Lp(Ω) →L1(Ω) tel que Af (x) = g(x)f(x) pour tout f∈Lp(Ω) est continu.
Exercice 4 Soit p∈[1; ∞[. On rappelle que lp={(xn)∈RN,kxkp= (P∞
n=0 |xn|p)1/p <∞} est un espace
de Banach, et que (lp)0=lq, o`u q=p/(p−1). Soit (an)∈RNune suite telle que pour tout x= (xn)∈lp
la s´erie P∞
n=0 anxnconverge. Montrer que (an)∈lq. (Indication : appliquer Banach-Steinhaus `a la suite
de formes lin´eaires un:x7→ Pn
k=0 akxkd´efinies sur lp.)
Exercice 5 On rappelle que (L1(Ω))0=L∞(Ω), et que pour tout f∈L1
loc(Ω), si RΩfu = 0 pour
tout u∈ Cc(Ω) alors f= 0 p.p. sur Ω. On suppose que B(0,1/n)⊂Ω pour nassez grand. Soit
fn=αn1B(0,1/n), o`u α−1
nest le volume de B(0,1/n).
1. Montrer que (fn) n’a aucune sous-suite convergente pour la topologie faible σ(L1, L∞).
2. En d´eduire que L1(Ω) n’est pas r´eflexif et que (L∞(Ω))0contient strictement L1(Ω).
Exercice 6 On suppose que 0 ∈Ω. Soit δ0:Cc(Ω) →Rla forme lin´eaire d´efinie par δ0(f) = f(0) pour
toute fonction f∈ Cc(Ω). Montrer que :
1. δ0se prolonge en une forme lin´eaire continue sur L∞.
2

2. Il n’existe pas de fonction u∈L1telle que δ0(f) = RΩuf pour tout f∈L∞(Indication : utiliser
le r´esultat sur L1
loc(Ω) rappel´e au d´ebut de l’exercice 5.)
Exercice 7 Soient I⊂R,p∈[1,+∞[, ql’exposant conjugu´e de p, et K(x, y)∈Lq(I×I).
1. Justifier que ∀f∈Lp(I), AK(f)(x) = RIK(x, y)f(y)dy existe dans Lq(I), que AK:Lp(I)→Lq(I)
est continu, et que kAKk≤kKkLq(I×I).
2. On suppose que p= 2.
(a) Quel est l’adjoint de AK? En remarquant que {ej(x)ek(y)}j,k est une base hilbertienne de
L2(I×I) si {en(x)}nest une base hilbertienne de L2(I), en d´eduire que AKest un op´erateur
compact.
(b) Soit α∈Cet g∈L2(]0,1[). Justifier que u(f)(x) = αg(x)R1
0f(t)dt +Rx 0f(t)dt d´efinit un
op´erateur compact sur L2(]0,1[).
Exercice 8 Soit Ω ⊂RNun ouvert et f: Ω →R. Soit (Ui)i∈Ila famille des ouverts Ui⊂Ω tels que
f= 0 p.p. sur Ui, et U=∪i∈IUi. On d´efinit Supp(f)=Ω\U.
1. Montrer que f= 0 p.p. sur Ω. (Indication : l’ensemble In’´etant pas d´enombrable, utiliser la suite
de compacts Kn={x∈U, d(x, RN\U)≥1/n, kxk ≤ n}, qui est telle que U=∪nKn.)
2. V´erifier que si fest continue, alors Supp(f) = {x∈Ω, f(x)6= 0}, et que si f=gp.p. sur Ω, alors
Supp(f) = Supp(g). Quel est le support de 1Q?
3. Montrer que si f∈L1(RN) et g∈Lp(RN), alors Supp(f∗g)⊂Supp(f) + Supp(g).
Exercice 9 Soit (ρn) une suite r´egularisante de D(RN), telle que Supp(ρn)⊂B(0,1/n). Montrer que
pour tout f∈ C(RN), la suite (ρn∗f) converge uniform´ement vers fsur tout compact de RN.
Exercice 10 On rappelle que l’espace D0(Ω) des distributions sur un ouvert Ω ⊂RNest muni de la
topologie d´efinie par la famille de semi-normes kukϕ=|u(ϕ)|, o`u ϕ∈ D(Ω) := C∞
c(Ω). Pour tout
1≤p < +∞on munit l’espace Lp
loc(Ω) de la topologie d´efinie par la famille de semi-normes ||f||p,K =
(RK|f(x)|pdx)1/p. Pour tout f∈Lp
loc(Ω) et ϕ∈ D(Ω) on pose
uf(ϕ) = ZΩ f(x)ϕ(x)dx.
1. Montrer que f7→ ufd´efinit une application lin´eaire j:Lp
loc → D0(Ω), puis que u∈Im(j) ssi il
existe c > 0 tel que |u(ϕ)| ≤ ckϕkqpour tout ϕ∈ D(Ω), o`u qest l’exposant conjugu´e de p.
2. Montrer que jest continue, puis qu’elle est injective. (Pour l’injectivit´e, on pourra utiliser le r´esultat
sur L1
loc(Ω) rappel´e au d´ebut de l’exercice 5, et la densit´e de D(Ω) dans Lq(Ω).)
Exercice 11 On pose K(f)(x) = ex/2f(ex).
1. Montrer que K:L2(R+)→L2(R) est continu, puis que c’est un isomorphisme isom´etrique.
2. Soit g∈L1(R) d´efinie par g(x) = e−x/21R+(x). D´eterminer ˆg.
3. Pour tout f∈L2(R+) on note T(f) = K−1(K(f)∗g). Montrer que Test un endomorphisme
continu de L2(R+), et que kTk ≤ 2.
4. ´ Etablir T(f)(x) = 1
xZx
0
f(t)dt ∈C0(]0,+∞[) et lim
x→+∞T(f)(x) = 0.
Exercice 12 En utilisant la transform´ee de Fourier, montrer que l’alg`ebre L1(R) ne poss`ede pas d’unit´e,
c’est-`a-dire qu’il n’existe pas de fonction g∈L1(R) telle que f∗g=fpour tout f∈L1(R). Ensuite,
r´esoudre dans L1(R) l’´equation f∗f=f.
Exercice 13 (Semi-groupe de Poisson) Pour a > 0 on pose f(x) = e−a|x|.
3

1. Calculer la transform´ee de Fourier de f, et en d´eduire celle de x7→ 1
1+x2.
2. Calculer f∗f, et en d´eduire la transform´ee de Fourier de x7→ 1
(1+x2)2.
3. D´eterminer la transform´ee de Fourier de x7→ x
(1+x2)2.
Exercice 14 (Semi-groupe de la chaleur) Pour ε > 0 et x∈Ron pose fε(x) = e−εx2.
1. Montrer que ˆ fεv´erifie l’´equation diff´erentielle iξ ˆ fε(ξ) = −2iε ˆ fε(ξ), puis d´eterminer ˆ fε.
2. Pour t > 0 on pose qt(x) = 1
√4πt e−x2
4t. Montrer que qt∗qs=qs+t.
Exercice 15 Le but de cet exercice est de montrer que la transform´ee de Fourier F:L1(R)→ C0(R) n’est
pas surjective.
1. D´eduire du cours les deux faits suivants :
(a) L’image de Fest dense (pour la topologie usuelle sur C0(R)).
(b) Si F´etait surjective il existerait une constante C > 0 telle que kfk1≤Ckˆ fk∞.
2. Soient h=1[−1,1] et gn=1[−n,n]. Calculer gn∗h.
3. Calculer F(gn∗h), puis montrer que gn∗hest la transform´ee de Fourier d’une fonction que l’on
d´eterminera.
4. On pose fn(x) = sin(nx) sin(x)/x2. Calculer limn→∞ kfnk1, puis conclure (on rappelle que sin(t)≥
2t/π pour t∈[0, π/2], et que |sin(u)/u|n’est pas int´egrable sur R).
Exercice 16 Pour f∈L1(R) on note ˆ fla transform´ee de Fourier de f. Pour g∈L2(R) on note F(g) la
transform´ee de Fourier-Plancherel de g.
1. Soient f∈L1(R) et g∈L2(R). Parmi les deux formules suivantes, laquelle peut avoir un sens :
[
f∗g=√2πˆ fF(g) ou F(f∗g) = √2πˆ fF(g) ? La d´emontrer lorsque g∈ S(R), puis dans le cas
g´en´eral.
2. Soient f, g ∈L2(R).
(a) Justifier que le produit de convolution f∗gest une fonction continue d´efinie en tout point de
R, puis que l’application (f, g)7→ F(f)∗F(g) est continue de L2(R)×L2(R) dans C(R) muni
de la topologie de la convergence simple.
(b) Parmi les deux formules suivantes, laquelle peut avoir un sens : F(f)∗ F(g) = √2πF(fg) ou
F(f)∗ F(g) = √2πc fg ? La d´emontrer.
3. On note fa(x) = sin(ax)/πx. Calculer la transform´ee de Fourier de 1[−a,a], puis d´eduire de la
question pr´ec´edente fa∗fb, avec a, b > 0.
4. Montrer que l’´equation f∗f=f, o`u f∈L2(R), admet une infinit´e de solutions. Comparer avec
l’exercice 12.
Exercice 17 Le but de cet exercice est de rechercher des fonctions uint´egrables qui sont solutions de
l’´equation
u(x) = e−|x|+βZR e−|x−s|u(s)ds (1)
o`u x∈Ret βest un r´eel strictement positif.
1. On pose, pour x∈R,f(x) = e−|x|. Calculer la transform´ee de Fourier de f.
2. ´ Ecrire l’´equation sous une forme faisant intervenir un produit de convolution.
3. On suppose que l’´equation admet une solution. D´eterminer ˆu. En d´eduire que β∈]0,1/2[.
4. R´eciproquement, on suppose β∈]0,1/2[. D´emontrer que l’´equation admet une unique solution, et
la d´eterminer.
4