Espaces de Hilbert, Lp et transformée de Fourier

Master 1 Mathématiques
Analyse Fonctionnelle HMMA113
Université de Montpellier
Année universitaire 2016-2017
Feuille d’exercices no 3
Espaces de Hilbert, espaces Lp et transformée de Fourier
Exercice 1 (Autour des espaces de Hilbert) Dans cet exercice les questions sont indépendantes les
unes des autres. Soit (H, ( , )) un espace préhilbertien.
1. Montrer que toute famille de vecteurs de H non nuls et orthogonaux est libre.
2. Soit A une partie non vide, convexe et complète de H et x un point de H. On rappelle que x possède
un unique projeté sur A, noté pA (x), caractérisé par la propriété kx − pA (x)k = inf a∈A kx − ak.
(a) Soient x, y ∈ H, et a ∈ A. En utilisant l’inclusion pA (x)+t(a−pA (x)) ∈ A pour tout 0 ≤ t ≤ 1,
montrer qu’on a −2tRe((x − pA (x), a − pA (x))) + t2 ka − pA (x)k2 ≥ 0. À l’aide de l’inégalité
de Cauchy-Schwarz, en déduire que kpA (x) − pA (y)k ≤ kx − yk.
(b) Montrer que si de plus A est un sous-espace vectoriel de H, et y ∈ A alors y = pA (x) ssi
x − y ∈ A⊥ . Vérifier que pA est la projection de H sur A parallèlement à A⊥ .
(c) On prend A = B(0, 1]. Montrer que pour tout x ∈ H \ A on a pA (x) = x/kxk.
(d) On suppose que (H, ( , )) est l’espace l2 (N) des suites complexes x = (xn ) telles que kxk2 < ∞,
muni d’une base orthonormée (en ). Soit F le sous-espace vectoriel engendré par la famille (e2n ).
Montrer que :
P
i. pA (x) = n≥0 (x, e2n )e2n , où A ⊂ l2 (N) est l’adhérence de F .
ii. Si x est la suite (1/n), il n’existe aucun vecteur y ∈ F tel que x − y ∈ F ⊥ .
iii. Il existe y ∈ F tel que x − y ∈ F ⊥ ssi l’ensemble des entiers n tels que (x, e2n ) 6= 0 est fini.
iv. Déterminer F ⊥ .
3. Montrer que si (H, ( , )) est un Hilbert, alors pour tout sous-espace F de H on a F ⊥⊥ = F̄ .
4. On suppose à nouveau que (H, ( , )) est l’espace l2 (N). Montrer que A = {(1 + 1/n)en , n ∈ N \ {0}}
est une partie fermée de H, mais que le vecteur nul n’a pas de projection sur A. (On pourra montrer
que pour tout point z ∈
/ A, B(z, 1/2] ∩ A contient au plus un point de A.)
5. On suppose que (H, ( , )) est un Hilbert, et T un endomorphisme continu de H.
(a) Montrer qu’il existe un unique endomorphisme continu T ∗ de H tel que (T x, y) = (x, T ∗ y)
pour tous x, y ∈ H (On pourra utiliser le théorème de représentation de Riesz). Montrer que
T ∗∗ = T , puis que kT k = kT ∗ k.
(b) Soit F un sous-espace fermé de H. Montrer que pF = p∗F . Réciproquement, montrer que si
H = F ⊕ G est une somme directe topologique telle que le projecteur p de E sur F vérifie
p = p∗ , alors G = F ⊥ et p = pF .
P
6. On rappelle qu’une famille (xi )i∈I de H est sommable de somme x, notée i∈I
P xi , si pour tout
ε > 0 il existe J0 ⊂ I fini tel que pour toute partie J qui contient J0 , on a kx − j∈J xj k < ε. Soit
(Fi )i∈I une famille de sous-espaces de H complets et deux à deux orthogonaux, pi la projection
orthogonale de H sur Fi , et F l’adhérence du sous-espace vectoriel de H formé par les combinaisons
linéaires finies de vecteurs yi ∈ Fi .
(a) Montrer
P que pour tout xP∈ H, et toute famille finie (yi )i∈J avec yi ∈ Fi , on a l’inégalité
kx − i∈J pi (x)k ≤ kx − i∈J yi k.
(b) En déduire que x est la somme d’une unique famille (xi )i∈I , xi ∈ Fi .
1
(c) Que dit ce résultat lorsque H = l2 (N) et Fi = Kei ?
7. (Endomorphismes compacts) On suppose que (H, ( , )) est un espace de Hilbert.
(a) Soit (Tn ) une suite d’endomorphismes compacts de H. Montrer que si (Tn ) converge pour la
norme d’opérateurs, alors sa limite est un endomorphisme compact. (Indication : montrer que
T (B(0, 1)) est précompacte.)
(b) Vérifier que tout endomorphisme de H continu et de rang fini est compact.
(c) On veut montrer que si H est séparable (auquel cas H possède un système orthonormal
complet dénombrable {en }n∈N ), alors tout endomorphisme compact de H est limite d’une
suite d’endomorphismes de H continus et de rang fini. Soit donc T : H → H compact.
i. Montrer que l’application identité de (T (B(0, 1)), k · k) sur T (B(0, 1)) muni de la topologie
faible est un homéomorphisme.
ii. En déduire que si (xn ) converge faiblement vers x, alors T (xn ) converge fortement vers
T (x).
iii. En déduire que la suite (T (en )) converge fortement vers 0 pour tout système orthonormal
complet {en }n∈N de H. (Indication : utiliser l’inégalité de Bessel.)
iv. On suppose qu’il existe ε > 0 tel que kT − Qk > ε pour tout opérateur Q : H → H de
rang fini. En raisonnant par récurrence, montrer qu’alors il existe un système orthonormal
complet {en }n∈N de H tel que kT (en )k > ε pour tout n ∈ N. (Indication : noter que
kT − T Pn k > ε, où Pn est le projecteur orthogonal de H sur le sous-espace engendré par
les vecteurs ek , k ≤ n.)
v. Conclure.
8. (Un exemple) On considère l’espace de Hilbert complexe H = L2 ([0, π/2]). Pour toute fonction
Rt
f ∈ H et tout t ∈ [0, π/2] on pose T f (t) = cos(t) 0 sin(s)f (s)ds. Montrer que l’application
T : f 7→ T f définit une application linéaire et continue de H dans H. Déterminer T ∗ , et montrer
que T et T ∗ sont des opérateurs compacts.
Exercice 2 Soit L1 (0, 1) l’espace des fonctions réelles Lebesgue intégrables sur ]0, 1[ muni de la norme
R1
kuk = 0 |u(x)|dx.
R1
1. Soit f une fonction réelle continue sur [0, 1]. On définit T (u) = 0 f (x)u(x)dx, u ∈ L1 (0, 1).
Justifier que T ∈ (L1 (0, 1))0 et kT k = kf k∞ .
2. Même question lorsque f est une fonction réelle mesurable sur ]0, 1[ telle que f ∈ L∞ (0, 1).
Exercice 3 Soient Ω un ouvert borné de Rn et g une fonction mesurable sur Ω telle que f g ∈ L1 (Ω) pour
toute classe de fonctions f ∈ Lp (Ω) (1 ≤ p < ∞). En utilisant le théorème du graphe fermé, montrer que
l’opérateur linéaire A : Lp (Ω) → L1 (Ω) tel que Af (x) = g(x)f (x) pour tout f ∈ Lp (Ω) est continu.
P∞
Exercice 4 Soit p ∈ [1; ∞[. On rappelle que lp = {(xn ) ∈ RN , kxkp = ( n=0 |xn |p )1/p < ∞} est un espace
p 0
q
N
p
de Banach,
P∞et que (l ) = l , où q = p/(p − 1). Soitq(an ) ∈ R une suite telle que pour tout x = (xn ) ∈ l
la série n=0 an xn converge. P
Montrer que (an ) ∈ l . (Indication : appliquer Banach-Steinhaus à la suite
n
de formes linéaires un : x 7→ k=0 ak xk définies sur lp .)
R
Exercice 5 On rappelle que (L1 (Ω))0 = L∞ (Ω), et que pour tout f ∈ L1loc (Ω), si Ω f u = 0 pour
tout u ∈ Cc (Ω) alors f = 0 p.p. sur Ω. On suppose que B(0, 1/n) ⊂ Ω pour n assez grand. Soit
fn = αn 1B(0,1/n) , où αn−1 est le volume de B(0, 1/n).
1. Montrer que (fn ) n’a aucune sous-suite convergente pour la topologie faible σ(L1 , L∞ ).
2. En déduire que L1 (Ω) n’est pas réflexif et que (L∞ (Ω))0 contient strictement L1 (Ω).
Exercice 6 On suppose que 0 ∈ Ω. Soit δ0 : Cc (Ω) → R la forme linéaire définie par δ0 (f ) = f (0) pour
toute fonction f ∈ Cc (Ω). Montrer que :
1. δ0 se prolonge en une forme linéaire continue sur L∞ .
2
R
2. Il n’existe pas de fonction u ∈ L1 telle que δ0 (f ) = Ω uf pour tout f ∈ L∞ (Indication : utiliser
le résultat sur L1loc (Ω) rappelé au début de l’exercice 5.)
Exercice 7 Soient I ⊂ R, p ∈ [1, +∞[, q l’exposant conjugué de p, et K(x, y) ∈ Lq (I × I).
R
1. Justifier que ∀f ∈ Lp (I), AK (f )(x) = I K(x, y)f (y)dy existe dans Lq (I), que AK : Lp (I) → Lq (I)
est continu, et que kAK k ≤ kKkLq (I×I) .
2. On suppose que p = 2.
(a) Quel est l’adjoint de AK ? En remarquant que {ej (x)ek (y)}j,k est une base hilbertienne de
L2 (I × I) si {en (x)}n est une base hilbertienne de L2 (I), en déduire que AK est un opérateur
compact.
R1
Rx
(b) Soit α ∈ C et g ∈ L2 (]0, 1[). Justifier que u(f )(x) = αg(x) 0 f (t)dt + 0 f (t)dt définit un
opérateur compact sur L2 (]0, 1[).
Exercice 8 Soit Ω ⊂ RN un ouvert et f : Ω → R. Soit (Ui )i∈I la famille des ouverts Ui ⊂ Ω tels que
f = 0 p.p. sur Ui , et U = ∪i∈I Ui . On définit Supp(f ) = Ω \ U .
1. Montrer que f = 0 p.p. sur Ω. (Indication : l’ensemble I n’étant pas dénombrable, utiliser la suite
de compacts Kn = {x ∈ U, d(x, RN \ U ) ≥ 1/n, kxk ≤ n}, qui est telle que U = ∪n Kn .)
2. Vérifier que si f est continue, alors Supp(f ) = {x ∈ Ω, f (x) 6= 0}, et que si f = g p.p. sur Ω, alors
Supp(f ) = Supp(g). Quel est le support de 1Q ?
3. Montrer que si f ∈ L1 (RN ) et g ∈ Lp (RN ), alors Supp(f ∗ g) ⊂ Supp(f ) + Supp(g).
Exercice 9 Soit (ρn ) une suite régularisante de D(RN ), telle que Supp(ρn ) ⊂ B(0, 1/n). Montrer que
pour tout f ∈ C(RN ), la suite (ρn ∗ f ) converge uniformément vers f sur tout compact de RN .
Exercice 10 On rappelle que l’espace D0 (Ω) des distributions sur un ouvert Ω ⊂ RN est muni de la
topologie définie par la famille de semi-normes kukϕ = |u(ϕ)|, où ϕ ∈ D(Ω) := Cc∞ (Ω). Pour tout
1R≤ p < +∞ on munit l’espace Lploc (Ω) de la topologie définie par la famille de semi-normes ||f ||p,K =
( K |f (x)|p dx)1/p . Pour tout f ∈ Lploc (Ω) et ϕ ∈ D(Ω) on pose
Z
uf (ϕ) =
f (x)ϕ(x)dx.
Ω
1. Montrer que f 7→ uf définit une application linéaire j : Lploc → D0 (Ω), puis que u ∈ Im(j) ssi il
existe c > 0 tel que |u(ϕ)| ≤ ckϕkq pour tout ϕ ∈ D(Ω), où q est l’exposant conjugué de p.
2. Montrer que j est continue, puis qu’elle est injective. (Pour l’injectivité, on pourra utiliser le résultat
sur L1loc (Ω) rappelé au début de l’exercice 5, et la densité de D(Ω) dans Lq (Ω).)
Exercice 11 On pose K(f )(x) = ex/2 f (ex ).
1. Montrer que K : L2 (R+ ) → L2 (R) est continu, puis que c’est un isomorphisme isométrique.
2. Soit g ∈ L1 (R) définie par g(x) = e−x/2 1R+ (x). Déterminer ĝ.
3. Pour tout f ∈ L2 (R+ ) on note T (f ) = K −1 (K(f ) ∗ g). Montrer que T est un endomorphisme
continu de L2 (R+ ), et que kT k ≤ 2.
Z
1 x
4. Établir T (f )(x) =
f (t)dt ∈ C 0 (]0, +∞[) et lim T (f )(x) = 0.
x→+∞
x 0
Exercice 12 En utilisant la transformée de Fourier, montrer que l’algèbre L1 (R) ne possède pas d’unité,
c’est-à-dire qu’il n’existe pas de fonction g ∈ L1 (R) telle que f ∗ g = f pour tout f ∈ L1 (R). Ensuite,
résoudre dans L1 (R) l’équation f ∗ f = f .
Exercice 13 (Semi-groupe de Poisson) Pour a > 0 on pose f (x) = e−a|x| .
3
1. Calculer la transformée de Fourier de f , et en déduire celle de x 7→
2. Calculer f ∗ f , et en déduire la transformée de Fourier de x 7→
3. Déterminer la transformée de Fourier de x 7→
1
1+x2 .
1
(1+x2 )2 .
x
(1+x2 )2 .
2
Exercice 14 (Semi-groupe de la chaleur) Pour ε > 0 et x ∈ R on pose fε (x) = e−εx .
1. Montrer que fˆε vérifie l’équation différentielle iξ fˆε (ξ) = −2iεfˆε (ξ), puis déterminer fˆε .
2. Pour t > 0 on pose qt (x) =
x2
√ 1 e− 4t
4πt
. Montrer que qt ∗ qs = qs+t .
Exercice 15 Le but de cet exercice est de montrer que la transformée de Fourier F : L1 (R) → C0 (R) n’est
pas surjective.
1. Déduire du cours les deux faits suivants :
(a) L’image de F est dense (pour la topologie usuelle sur C0 (R)).
(b) Si F était surjective il existerait une constante C > 0 telle que kf k1 ≤ Ckfˆk∞ .
2. Soient h = 1[−1,1] et gn = 1[−n,n] . Calculer gn ∗ h.
3. Calculer F(gn ∗ h), puis montrer que gn ∗ h est la transformée de Fourier d’une fonction que l’on
déterminera.
4. On pose fn (x) = sin(nx) sin(x)/x2 . Calculer limn→∞ kfn k1 , puis conclure (on rappelle que sin(t) ≥
2t/π pour t ∈ [0, π/2], et que | sin(u)/u| n’est pas intégrable sur R).
Exercice 16 Pour f ∈ L1 (R) on note fˆ la transformée de Fourier de f . Pour g ∈ L2 (R) on note F(g) la
transformée de Fourier-Plancherel de g.
1. Soient f ∈ L1 (R) et g ∈ L2 (R). Parmi les deux formules suivantes, laquelle peut avoir un sens :
√
√
f[
∗ g = 2π fˆF(g) ou F(f ∗ g) = 2π fˆF(g) ? La démontrer lorsque g ∈ S(R), puis dans le cas
général.
2. Soient f, g ∈ L2 (R).
(a) Justifier que le produit de convolution f ∗ g est une fonction continue définie en tout point de
R, puis que l’application (f, g) 7→ F(f ) ∗ F(g) est continue de L2 (R) × L2 (R) dans C(R) muni
de la topologie de la convergence simple.
√
(b) Parmi les deux formules suivantes, laquelle peut avoir un sens : F(f ) ∗ F(g) = 2πF(f g) ou
√
F(f ) ∗ F(g) = 2π fcg ? La démontrer.
3. On note fa (x) = sin(ax)/πx. Calculer la transformée de Fourier de 1[−a,a] , puis déduire de la
question précédente fa ∗ fb , avec a, b > 0.
4. Montrer que l’équation f ∗ f = f , où f ∈ L2 (R), admet une infinité de solutions. Comparer avec
l’exercice 12.
Exercice 17 Le but de cet exercice est de rechercher des fonctions u intégrables qui sont solutions de
l’équation
Z
u(x) = e−|x| + β e−|x−s| u(s)ds
(1)
R
où x ∈ R et β est un réel strictement positif.
1. On pose, pour x ∈ R, f (x) = e−|x| . Calculer la transformée de Fourier de f .
2. Écrire l’équation sous une forme faisant intervenir un produit de convolution.
3. On suppose que l’équation admet une solution. Déterminer û. En déduire que β ∈]0, 1/2[.
4. Réciproquement, on suppose β ∈]0, 1/2[. Démontrer que l’équation admet une unique solution, et
la déterminer.
4