concours blanc pcsi math´ematiques 1 - PCSI

CONCOURS BLANC PCSI
Lycée de L’essouriau - Université Paris Sud
Lundi 18 Mars - 8h30-12h30
MATHÉMATIQUES 1
Durée : 4 heures
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une
part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
indiquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
L’usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
Tournez la page S.V.P.
Exercice 1. Calculs d’intégrales
Les trois questions sont indépendantes.
Z
1. Déterminer
arctan t dt.
Z
2. Déterminer
x2
1
dx.
+ 2x + 3
x2
à l’aide des fonctions usuelles.
1 + x2
2
x
b
Indication : Écrire une identité de la forme
=a+
.
2
1+x
1 + x2
Z π/2
1 − cos θ
(b) Justifier l’existence de l’intégrale I =
dθ et calculer sa valeur exacte.
1 + cos θ 0
θ
θ
2
2 tan
1 − tan
2
2
et cos θ =
Rappels : Pour tout θ ∈] − π, π[ : cos θ =
θ
θ
2
2
1 + tan
1 + tan
2
2
3. (a) Déterminer une primitive sur R de x 7→
Exercice 2. Étude d’une fonction
1. Étudier la convexité de la fonction exp.
Montrer par un argument de convexité que pour tout u ∈ R, eu > u − 1.
2. En déduire que pour tout x 6= 0 nous avons l’inégalité e−1/x + 1 −
1
Indication : on peut poser u = .
x
Pour tout réel x 6= 0 on considère la fonction f définie par f (x) =
e−1/x
> 0.
x
x
.
1 + e−1/x
3. Montrer que la fonction f est de classe C ∞ sur R∗ .
4. Montrer que f se prolonge en une fonction continue sur R. On note toujours f la fonction prolongée ;
donner la valeur de f (0).
5. Étude de la dérivabilité de f en 0.
(a) Pour tout x 6= 0, calculer f 0 (x).
(b) Montrer que f est dérivable à droite en 0 et donner fd0 (0).
(c) Montrer que f est dérivable à gauche en 0 et donner fg0 (0). La fonction est-elle dérivable en 0 ?
6. Allure du graphe de f .
(a) Donner le tableau de variation complet (avec limites aux bornes) de la fonction f (on pourra
mettre à profit l’inégalité (1)).
(b) L’exécution de la commande Maple >simplify(diff(x/(1+exp(-1/x)),x,x)) ; nous donne la
dérivée seconde de f :
e−1/x e−1/x − 1
3
x3 1 + e−1/x
En déduire la convexité de la fonction f sur les intervalles R∗− et R∗+ .
(c) Tracer l’allure de la courbe représentative Cf de f dans un repère orthonormé direct.
Les éléments concernant Cf qui sont apparus au cours de l’étude doivent figurer sur le graphe.
2
Exercice 3. Étude asymptotique d’une série divergente
n
X
1
√ . L’objectif de l’exercice est d’obtenir ce que l’on appelle un
2 k
k=1
développement asymptotique (D.A.) à deux termes de Sn .
Pour tout n > 1, on pose Sn =
Un équivalent de Sn .
1. Montrer que (Sn )n>1 est croissante.
2. A l’aide de l’inégalité des accroissements finis, démontrer que ∀n ∈ N∗ :
√
√
1
1
6 n+1− n6 √
2 n
2 n+1
√
3. En déduire un encadrement, puis un équivalent de Sn .
Un D.A. à deux termes.
4. Soit (εn )n ∈ RN . Que signifie εn = o(1) ? Justifier.
√
On pose un = Sn − n + 1.
5. Montrer que (un )n>1 est minorée.
6. Montrer que (un )n>1 est décroissante.
7. Justifier l’existence de l ∈ R tel que un = l + o(1).
√
8. En déduire l’existence de α ∈ R tel que Sn = n + α + o(1).
PROBLÈME
(d’après Petites Mines 2009)
Dans tout ce problème, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique
et th la fonction tangente hyperbolique.
Partie A - Étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur
R∗
1
par f (x) = x sh
.
x
1. Étudier la parité de f .
2. (a) Donner un équivalent de la fonction sh en 0. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞.
(b) Déterminer la limite de f en 0.
3. Justifier que f est dérivable sur R∗ et que pour tout x ∈ R∗ ,
1
1
1
0
f (x) = th
−
× ch
.
x
x
x
4. Montrer que, pour tout X ∈ R∗+ , th(X) < X.
5. En déduire le tableau de variation de f .
X3
6. On admet qu’au voisinage de 0, sh X = X +
+ o(X 3 ).
6
En déduire qu’au voisinage de +∞ et de −∞, f admet un développement de la forme :
a1
a2
1
f (x) = a0 +
+ 2 +o
,
x
x
x2
où a0 , a1 , a2 sont trois réels que l’ont précisera.
1
∗
7. Montrer que la fonction x ∈ R 7→ f
∈ R se prolonge sur R en une fonction notée F continue,
x
puis prouver que F est dérivable sur R.
3
Partie B - Tracé d’une courbe paramétrée

1


 x(t) = t sh
t On s’intéresse à l’arc paramétré défini pour t 6= 0 par les équations :
1


 y(t) = t exp
t
−2
On note Γ son support. On donne la valeur approchée sh(1) ≈ 1, 18 à 10 près.
8. Dresser le tableau des variations des fonctions x et y sur R∗ en précisant les limites.
9. Déterminer les asymptotes de γ en 0, +∞ et −∞ et préciser la position de γ par rapport à chacune
de ses asymptotes.
10. Tracer l’allure de Γ, ainsi que ses asymptotes et la tangente à Γ au point de paramètre t = 1. On
prendra 2 cm comme unité en abscisse et en ordonnées.
Partie C - Une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) suivante, que l’on va résoudre sur différents intervalles :
xy 0 + y = ch(x). (E)
11. Résoudre sur l’intervalle R∗+ l’équation différentielle (E).
12. Donner sans justification les solutions de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle R∗− .
13. Justifier que la fonction F (définie dans la question A.7.) est l’unique fonction définie et dérivable sur
R qui soit solution de l’équation différentielle (E) sur R.
Partie D - Étude d’une suite
n+1
admet une unique solution dans R∗+ . On la note
n
un . On définit ainsi une suite (un )n∈N∗ que l’on va étudier dans les questions qui suivent.
15. Montrer que la suite (un )n∈N∗ est croissante.
16. Montrer que la suite (un )n∈N∗ tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
17. En utilisant la question A.6., déterminer un équivalent de un quand n tend vers +∞.
14. Montrer que pour n ∈ N∗ , l’équation f (x) =
Partie E - Une fonction définie par une intégrale
Pour x ∈
∗,
R+
Z
x
on pose J(x) =
f (t) dt.
x/2
18. Montrer que pour tout x ∈ R, sh(2x) = 2 ch(x) sh(x).
19. Justifier que J est dérivable sur R∗+ et que pour tout x ∈ R∗+ ,
1
1
.
J 0 (x) = f (x) 1 − ch
2
x
20. En déduire le signe de J 0 sur R∗+ ; on exprimera le (les) zéro(s) de J 0 à l’aide de la fonction ln.
21. On admet les résultats suivants :
(*) lim J(x) = +∞,
x→0+
x
(*) lim J(x) = +∞ et J admet au voisinage de +∞ une asymptote d’équation y = ,
x→+∞
2
(*) la courbe représentative de J est toujours « au dessus » de l’asymptote précédente.
Donner le tableau de variation de J sur R∗+ .
22. Tracer l’allure de la courbe de représentative de J.
1
1
√ ≈ 0, 76 et J
√
On donne pour le tracé :
≈ 0, 65 à 10−2 près.
ln(2 + 3)
ln(2 + 3)
*** Fin du sujet ***
4