concours blanc pcsi math´ematiques 1 - PCSI

CONCOURS BLANC PCSI
Lyc´ee de L’essouriau - Universit´e Paris Sud
Lundi 18 Mars - 8h30-12h30
MATH´ EMATIQUES 1
Dur´ee : 4 heures
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une
part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
indiquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Tournez la page S.V.P.

Exercice 1. Calculs d’int´egrales
Les trois questions sont ind´ependantes.
1. D´eterminer Zarctan tdt.
2. D´eterminer Z1
x2+ 2x+ 3 dx.
3. (a) D´eterminer une primitive sur Rde x7→ x2
1 + x2`a l’aide des fonctions usuelles.
Indication : ´ Ecrire une identit´e de la forme x2
1 + x2=a+b 1 + x2.
(b) Justifier l’existence de l’int´egrale I=Zπ/2
0
1−cos θ
1 + cos θdθet calculer sa valeur exacte.
Rappels : Pour tout θ∈]−π, π[ : cos θ=
1−tan2θ
2
1 + tan2θ
2et cos θ=
2 tan θ
2
1 + tan2θ
2
Exercice 2. ´ Etude d’une fonction
1. ´ Etudier la convexit´e de la fonction exp.
Montrer par un argument de convexit´e que pour tout u∈R,eu>u−1.
2. En d´eduire que pour tout x6= 0 nous avons l’in´egalit´e e−1/x + 1 −e−1/x
x>0.
Indication : on peut poser u=1
x.
Pour tout r´eel x6= 0 on consid`ere la fonction fd´efinie par f(x) = x
1 + e−1/x .
3. Montrer que la fonction fest de classe C∞sur R∗.
4. Montrer que fse prolonge en une fonction continue sur R. On note toujours fla fonction prolong´ee ;
donner la valeur de f(0).
5. ´ Etude de la d´erivabilit´e de fen 0.
(a) Pour tout x6= 0, calculer f0(x).
(b) Montrer que fest d´erivable `a droite en 0 et donner f0
d(0).
(c) Montrer que fest d´erivable `a gauche en 0 et donner f0
g(0). La fonction est-elle d´erivable en 0 ?
6. Allure du graphe de f.
(a) Donner le tableau de variation complet (avec limites aux bornes) de la fonction f(on pourra
mettre `a profit l’in´egalit´e (1)).
(b) L’ex´ecution de la commande Maple >simplify(diff(x/(1+exp(-1/x)),x,x)) ; nous donne la
d´eriv´ee seconde de f:
e−1/x e−1/x −1
x31 + e−1/x3
En d´eduire la convexit´e de la fonction fsur les intervalles R∗
−et R∗ +.
(c) Tracer l’allure de la courbe repr´esentative Cfde fdans un rep`ere orthonorm´e direct.
Les ´el´ements concernant Cfqui sont apparus au cours de l’´etude doivent figurer sur le graphe.
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Exercice 3. ´ Etude asymptotique d’une s´erie divergente
Pour tout n>1, on pose Sn=
n
X
k=1
1
2√k. L’objectif de l’exercice est d’obtenir ce que l’on appelle un
d´eveloppement asymptotique (D.A.) `a deux termes de Sn.
Un ´equivalent de Sn.
1. Montrer que (Sn)n>1est croissante.
2. A l’aide de l’in´egalit´e des accroissements finis, d´emontrer que ∀n∈N∗:
1
2√n+ 1 6√n+ 1 −√n61
2√n
3. En d´eduire un encadrement, puis un ´equivalent de Sn.
Un D.A. `a deux termes.
4. Soit (εn)n∈RN. Que signifie εn=o(1) ? Justifier.
On pose un=Sn−√n+ 1.
5. Montrer que (un)n>1est minor´ee.
6. Montrer que (un)n>1est d´ecroissante.
7. Justifier l’existence de l∈Rtel que un=l+o(1).
8. En d´eduire l’existence de α∈Rtel que Sn=√n+α+o(1).
PROBL` EME (d’apr`es Petites Mines 2009)
Dans tout ce probl`eme, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique
et th la fonction tangente hyperbolique.
Partie A - ´ Etude d’une fonction
Soit fla fonction d´efinie sur R∗par f(x) = xsh 1
x.
1. ´ Etudier la parit´e de f.
2. (a) Donner un ´equivalent de la fonction sh en 0. En d´eduire les limites de fen +∞et en −∞.
(b) D´eterminer la limite de fen 0.
3. Justifier que fest d´erivable sur R∗et que pour tout x∈R∗,
f0(x) = th 1
x−1 x×ch 1 x.
4. Montrer que, pour tout X∈R∗
+,th(X)< X.
5. En d´eduire le tableau de variation de f.
6. On admet qu’au voisinage de 0, sh X=X+X3
6+o(X3).
En d´eduire qu’au voisinage de +∞et de −∞,fadmet un d´eveloppement de la forme :
f(x) = a0+a1
x+a2 x2+o1 x2,
o`u a0, a1, a2sont trois r´eels que l’ont pr´ecisera.
7. Montrer que la fonction x∈R∗7→ f1
x∈Rse prolonge sur Ren une fonction not´ee Fcontinue,
puis prouver que Fest d´erivable sur R.
3

Partie B - Trac´e d’une courbe param´etr´ee
On s’int´eresse `a l’arc param´etr´e d´efini pour t6= 0 par les ´equations : 
x(t) = tsh 1
t
y(t) = texp 1
t
On note Γ son support. On donne la valeur approch´ee sh(1) ≈1,18 `a 10−2pr`es.
8. Dresser le tableau des variations des fonctions xet ysur R∗en pr´ecisant les limites.
9. D´eterminer les asymptotes de γen 0, +∞et −∞ et pr´eciser la position de γpar rapport `a chacune
de ses asymptotes.
10. Tracer l’allure de Γ, ainsi que ses asymptotes et la tangente `a Γ au point de param`etre t= 1. On
prendra 2 cm comme unit´e en abscisse et en ordonn´ees.
Partie C - Une ´equation diff´erentielle
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) suivante, que l’on va r´esoudre sur diff´erents intervalles :
xy0+y= ch(x).(E)
11. R´esoudre sur l’intervalle R∗
+l’´equation diff´erentielle (E).
12. Donner sans justification les solutions de l’´equation diff´erentielle (E) sur l’intervalle R∗
−.
13. Justifier que la fonction F(d´efinie dans la question A.7.) est l’unique fonction d´efinie et d´erivable sur
Rqui soit solution de l’´equation diff´erentielle (E) sur R.
Partie D - ´ Etude d’une suite
14. Montrer que pour n∈N∗, l’´equation f(x) = n+ 1
nadmet une unique solution dans R∗
+. On la note
un. On d´efinit ainsi une suite (un)n∈N∗que l’on va ´etudier dans les questions qui suivent.
15. Montrer que la suite (un)n∈N∗est croissante.
16. Montrer que la suite (un)n∈N∗tend vers +∞quand ntend vers +∞.
17. En utilisant la question A.6., d´eterminer un ´equivalent de unquand ntend vers +∞.
Partie E - Une fonction d´efinie par une int´egrale
Pour x∈R∗
+, on pose J(x) = Zx
x/2
f(t) dt.
18. Montrer que pour tout x∈R,sh(2x) = 2 ch(x) sh(x).
19. Justifier que Jest d´erivable sur R∗
+et que pour tout x∈R∗ +,
J0(x) = f(x)1−1
2ch 1 x.
20. En d´eduire le signe de J0sur R∗
+; on exprimera le (les) z´ero(s) de J0`a l’aide de la fonction ln.
21. On admet les r´esultats suivants :
(*) lim
x→0+J(x)=+∞,
(*) lim
x→+∞J(x) = +∞et Jadmet au voisinage de +∞une asymptote d’´equation y=x
2,
(*) la courbe repr´esentative de Jest toujours «au dessus »de l’asymptote pr´ec´edente.
Donner le tableau de variation de Jsur R∗
+.
22. Tracer l’allure de la courbe de repr´esentative de J.
On donne pour le trac´e : 1
ln(2 + √3) ≈0,76 et J1 ln(2 + √3)≈0,65 `a 10−2pr`es.
*** Fin du sujet ***
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