TD1 - LIG Membres

Calculabilité - Fiche 1
Calculabilité Intuitive - Fonctions RP
F. Prost - C. Pernet
M1 informatique 2017
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Calculabilité sans théorie
Pour chacun des problèmes suivants, essayez de trouver :
• un algorithme de décision ;
• ou, à défaut, un algorithme de semi-décision (un “semi-algorithme”) ;
• ou, à défaut, une opinion argumentée en faveur de l’existence ou de l’inexistence d’un tel algorithme
ou semi-algorithme.
1. Etant donné un graphe G et un entier k, y a-t-il une clique de taille k dans G ?
2. Etant donnée une équation quadratique ax2 + bx + c = 0 à coefficients entiers, a-t-elle une solution
réelle ? une solution entière ?
3. Etant donnée une équation algébrique à une ou plusieurs variables et à coefficients entiers, a-t-elle
une solution réelle ? une solution entière ? Réfléchissez d’abord à la façon de résoudre l’équation
x66 − 15x62 − 2017 = 0 ou bien x7 − 17xy + y 5 − 9999 = 0.
4. Pour quelles valeurs initiales a de x, le programme P suivant s’arrête-t-il ? Pour lesquelles diverge-t-il ?
while (x mod 5) <> 0
if x mod 5 = 4
then x := (x*x) + 1
else x := x + 2.
5. C’est une légère généralisation du problème précédent. Pour quelles valeurs initiales a et b de x et de
y le programme P suivant s’arrête-t-il ? Pour lesquelles diverge-t-il ?
while (x mod y) <> 0
if (x mod y) = y - 1
then x := (x*x) + 1
else x := x + 2
6. Même question que pour 4 et 5.
while x <> 1
if x mod 2 = 0
then x := x/2
else x := 3x + 1
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7. Même question . . . mais il y a un cas particulier !
while x <> 1 do
if (x mod 2) = 0
then x := x/2
else x := 3*x - 1
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Quelques Fonctions Récursives Primitives
Montrer que les fonctions suivantes, sur les entiers naturels, sont récursives primitives (RP). On rappelle que
l’ensemble (RP) est inductivement définit par :
• Base :
– Constantes : m(k) = (x1 , . . . , xk ) 7→ m
– Successeurs : S = x 7→ x + 1
(k)
– Choix d’argument : Ai = (x1 , . . . , xk ) 7→ xi
• Schémas d’induction :
– Substitution régulière :
(m)
σ[g (k) , g1
(m)
(m)
, . . . , gk ] = (x1 , . . . , xm ) 7→ g (k) (g1
(m)
(x1 , . . . , xm ), . . . , gk (x1 , . . . , xm ))
– Récursion primitive :
ρ[g
(k−1)
(k+1)
,h
]=
(0, x2 , . . . , xk ) 7→ g(x2 , . . . , xk )
(y + 1, x2 , . . . , xk ) 7→ h(k+1) (y, ρ[g (k−1) , h(k+1) ](y, x2 , . . . , xk ), x2 , . . . , xk )
1. Multiplication M ult = (a, b) 7→ a ∗ b (en supposant prouvé que Add = (a, b) 7→ a + b ∈ RP
2. Exponentielle Exp = (a, b) 7→ ab .
...a
3. Double exponentielle EExp = (a, b) 7→ aa
(avec b étages de puissance).
4. Le Signe Sg = a 7→ (a > 0) (Sg(a) = 0 si a = 0 et 1 sinon).
5. Le prédécesseur P d défini par P d(a) = 0 si a = 0 et a − 1 si a > 0.
·
6. La différence propre Dif f = (a, a) 7→ a − b définie par Dif f (a, b) = a − b si a ≥ b et 0 sinon.
7. La différence absolue Abs = (a, b) 7→ |a − b|.
8. Le maximum de deux éléments M ax défini par M ax(a, b) = a si a ≥ b et b sinon.
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Schémas et fonctions RP plus complexes
• Somme finie. Montrer que si f (n+1) ∈ RP alors h(n+1) = Σ[f (n+1) ] définie par (y, x1 , . . . , xn ) 7→
Σyi=0 f (n+1) (y, x1 , . . . , xn ) est aussi dans RP .
• Prédicats RP simples. Montrer que les prédicats suivants sont RP : x 7→ x = 0; (x, y) 7→ x >
y; (x, y) 7→ x < y, (x, y) 7→ x = y
• Nombres parfaits. Un nombre est parfait s’il est égal à la somme de tous ses diviseurs (différents de
x). Montrer que le prédicat E stParfait est RP.
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