TD1 - LIG Membres

Calculabilit´e - Fiche 1
Calculabilit´e Intuitive - Fonctions RP
F. Prost - C. Pernet
M1 informatique 2017
1 Calculabilit´e sans th´eorie
Pour chacun des probl`emes suivants, essayez de trouver :
•un algorithme de d´ecision ;
•ou, `a d´efaut, un algorithme de semi-d´ecision (un “semi-algorithme”) ;
•ou, `a d´efaut, une opinion argument´ee en faveur de l’existence ou de l’inexistence d’un tel algorithme
ou semi-algorithme.
1. Etant donn´e un graphe Get un entier k, y a-t-il une clique de taille kdans G?
2. Etant donn´ee une ´equation quadratique ax2+bx +c= 0 `a coefficients entiers, a-t-elle une solution
r´eelle ? une solution enti`ere ?
3. Etant donn´ee une ´equation alg´ebrique `a une ou plusieurs variables et `a coefficients entiers, a-t-elle
une solution r´eelle ? une solution enti`ere ? R´efl´echissez d’abord `a la fa¸con de r´esoudre l’´equation
x66 −15x62 −2017 = 0 ou bien x7−17xy +y5−9999 = 0.
4. Pour quelles valeurs initiales a de x, le programme Psuivant s’arrˆete-t-il ? Pour lesquelles diverge-t-il ?
while (x mod 5) <> 0
ifxmod5=4
then x := (x*x) + 1
else x := x + 2.
5. C’est une l´eg`ere g´en´eralisation du probl`eme pr´ec´edent. Pour quelles valeurs initiales aet bde xet de
yle programme Psuivant s’arrˆete-t-il ? Pour lesquelles diverge-t-il ?
while (x mod y) <> 0
if(xmody)=y-1
then x := (x*x) + 1
else x := x + 2
6. Mˆeme question que pour 4 et 5.
while x <> 1
ifxmod2=0
then x := x/2
else x := 3x + 1
1

7. Mˆeme question . . . mais il y a un cas particulier !
while x <> 1 do
if (x mod 2) = 0
then x := x/2
else x := 3*x - 1
2 Quelques Fonctions R´ecursives Primitives
Montrer que les fonctions suivantes, sur les entiers naturels, sont r´ecursives primitives (RP). On rappelle que
l’ensemble (RP) est inductivement d´efinit par :
•Base :
–Constantes : m(k)= (x1, . . . , xk)7→ m
–Successeurs : S=x7→ x+ 1
–Choix d’argument : A(k)
i= (x1, . . . , xk)7→ xi
•Sch´emas d’induction :
–Substitution r´eguli`ere :
σ[g(k), g(m)
1, . . . , g(m)
k] = (x1, . . . , xm)7→ g(k)(g(m)
1(x1, . . . , xm), . . . , g(m)
k(x1, . . . , xm))
–R´ecursion primitive :
ρ[g(k−1), h(k+1)] = (0, x2, . . . , xk)7→ g(x2, . . . , xk)
(y+ 1, x2, . . . , xk)7→ h(k+1)(y, ρ[g(k−1), h(k+1)](y, x2, . . . , xk), x2, . . . , xk)
1. Multiplication Mult = (a, b)7→ a∗b(en supposant prouv´e que Add = (a, b)7→ a+b∈RP
2. Exponentielle Exp = (a, b)7→ ab.
3. Double exponentielle EExp = (a, b)7→ aa...a (avec b´etages de puissance).
4. Le Signe Sg =a7→ (a > 0) (Sg(a) = 0 si a= 0 et 1 sinon).
5. Le pr´ed´ecesseur P d d´efini par P d(a) = 0 si a= 0 et a−1 si a > 0.
6. La diff´erence propre Diff = (a, a)7→ a
·
−bd´efinie par Diff(a, b) = a−bsi a≥bet 0 sinon.
7. La diff´erence absolue Abs = (a, b)7→ |a−b|.
8. Le maximum de deux ´el´ements Max d´efini par Max(a, b) = asi a≥bet bsinon.
3 Sch´emas et fonctions RP plus complexes
•Somme finie. Montrer que si f(n+1) ∈RP alors h(n+1) = Σ[f(n+1)] d´efinie par (y, x1, . . . , xn)7→
Σy
i=0f(n+1)(y, x1, . . . , xn) est aussi dans RP .
•Pr´edicats RP simples. Montrer que les pr´edicats suivants sont RP : x7→ x= 0; (x, y)7→ x >
y; (x, y)7→ x < y, (x, y)7→ x=y
•Nombres parfaits. Un nombre est parfait s’il est ´egal `a la somme de tous ses diviseurs (diff´erents de
x). Montrer que le pr´edicat EstParfait est RP.
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