énoncé

TB2 − 2010-2011
Mathématiques
L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
Devoir surveillé n˚5
Durée : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le barème prendra significativement en compte :
• la présentation,
• la clarté des explications,
• le soin porté à l’argumentation des réponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Problème 1 (Concours A TB 2008) : Étude d’une fonction définie par une intégrale
1. Domaine de définition
Z
(a) Soit x appartenant à ]1, +∞[. Justifier l’existence de l’intégrale
x
son signe.
x2
dt
et déterminer
ln(t)
Z
(b) Soit x appartenant à ]0, 1[. Justifier aussi l’existence de l’intégrale
x
déterminer son signe.
x2
dt
et
ln(t)
Nous pouvons ainsi définir une fonction numérique f sur R+× \ {1} par :
Z x2
dt
+×
∀ x ∈ R \ {1} f (x) =
.
ln(t)
x
2. Étude de la dérivabilité
(a)
1
sur ]1, +∞[, puis
ln(t)
exprimer pour tout réel x appartenant à ]1, +∞[, f (x) en fonction de H(x2 ) et
H(x).
i. Justifier l’existence d’une primitive H de la fonction t 7→
ii. En déduire que f est dérivable sur ]1, +∞[ et calculer f 0 .
iii. Quel est le sens de variation de f sur ]1, +∞[ ?
1
(b)
i. Montrer que f est dérivable sur ]0, 1[ et calculer f 0 .
ii. Quel est le sens de variation de f sur ]0, 1[ ?
3. Étude des limites aux bornes du domaine de définition
(a) Étude en 0 par valeurs supérieures
i. Soit x ∈]0, 1[. Montrer que pour tout t ∈ [x2 , x] :
déduire que :
1
1
1
≤
≤
, et en
ln(x)
ln(t)
ln(x2 )
x(x − 1)
x(x − 1)
≤ f (x) ≤
.
2 ln(x)
ln(x)
ii. Montrer alors que f est prolongeable par continuité en 0 et préciser la valeur en
0 de f ainsi prolongée.
La fonction f ainsi prolongée est toujours notée f dans la suite.
f (x)
a pour limite 0 en 0. Que
iii. À l’aide de l’encadrement précédent, montrer que
x
peut-on en déduire sur la fonction f ? Interpréter géométriquement ce résultat.
(b) Étude en l’infini
i. En s’inspirant de la méthode décrite en (a).i, encadrer f (x) pour tout réel
x ∈]1, +∞[.
ii. En déduire la limite de f en +∞.
iii. Étudier la nature de la branche infinie de la courbe représentative de f au voisinage de +∞.
(c) Étude en 1 par valeurs supérieures
Z
x2
dt
i. Soit x ∈]1, +∞[. Montrer que :
= ln(2), puis, en remarquant que
t ln(t)
x
Z x2
dt
f (x) =
t
, prouver que : x ln(2) ≤ f (x) ≤ x2 ln(2).
t ln(t)
x
ii. En déduire l’existence et la valeur de la limite de f en 1 par valeurs supérieures.
(d) Étude en 1 par valeurs inférieures
Par un travail similaire à la question (c), montrer que f (x) a pour limite ln(2) lorsque
x tend vers 1 par valeurs inférieures.
2
(e) Prolongement par continuité de f en 1
i. Montrer que f est prolongeable par continuité en 1 en posant : f (1) = ln(2).
La fonction f ainsi prolongée est toujours notée f dans la suite.
ii. Montrer que f est dérivable en 1 et préciser la valeur de f 0 (1).
(f) Représentation graphique de f
i. Résumer les résultats précédents en dressant le tableau de variations de f , ce
tableau précisant les prolongements et la nature géométrique des points particuliers étudiés.
ii. Représenter la fonction f . On précise que ln(2) est voisin de 0, 69.
Problème 2 : Études de fonctions, étude d’une suite définie par récurrence et calculs d’aires.
1. Études de fonctions
(a) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = (x2 + 1)e−x pour tout x ∈ R.
i. Étudier les limites en −∞ et en +∞ de f .
ii. Justifier que f est dérivable sur R, puis montrer que pour tout x ∈ R, f 0 (x) =
−(1 − x)2 e−x . Dresser le tableau de variations de f .
iii. Calculer f 0 (0) et f 0 (1) et donner une interprétation géométrique de ces deux
nombres.
1
iv. On donne les encadrements suivants
0, 75 < f ( 2 ) < 0, 76 et 0, 73 < f (1) < 0, 74.
1
1
Montrer que pour tout x ∈ , 1 , f (x) appartient à
,1 .
2
2
1
1
v. Montrer que pour tout x ∈ , 1 , |f 0 (x)| ≤ .
2
4
(b) On considère la fonction h définie sur R par h(x) = f (x) − x pour tout x ∈ R.
i. Montrer que h est strictement décroissante sur R.
ii. Établir que l’équation f (x) = x possède une unique solution sur R, notée α.
1
iii. Montrer que α ∈ , 1 .
2
3
iv. Un repère R orthonormé du plan étant fixé, on note Cf la courbe représentative
de f dans R. Étudier la position relative de Cf et de la droite d’équation y = x.
(c) Représenter l’allure de la courbe Cf et la droite d’équation y = x sur le même graphique, en utilisant les propriétés géométriques obtenues à la question 1.(a).iii. On
prendra comme unité 5 cm et on placera approximativement , mais de façon
cohérente avec les résultats précédents, le nombre α sur l’axe des abscisses.
2. Étude d’une suite définie par récurrence
Soit (un )n∈N la suite définie par u0 = 1 et la relation valable pour tout n ∈ N, un+1 =
f (un ).
1
(a) Montrer grâce à la question 1.(a).iv que pour tout n ∈ N, un ∈ , 1 .
2
(b) Déduire de la question 1.(a).v que pour tout n ∈ N, |un+1 − α| ≤
1
|un − α|.
4
n
1
(c) En déduire que pour tout n ∈ N, |un − α| ≤
|u0 − α|.
4
(d) Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (un )n∈N .
(e) Construire les abscisses u0 , u1 et u2 sur le graphique de la question 1.(c).
3. Calculs d’aires
(a) À l’aide de deux intégrations par parties, déterminer une primitive de la fonction f
sur R.
(b) Que vaut l’aire du domaine du plan délimité par la courbe Cf , l’axe des abscisses,
l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1 ?
+∞
Z
f (t) dt est convergente, déterminer sa valeur
(c) Montrer que l’intégrale généralisée
0
et interpréter géométriquement le résultat.
4