énoncé

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 −2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´e n˚5
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
•la pr´esentation,
•la clart´e des explications,
•le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
•la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Probl`eme 1 (Concours A TB 2008) : ´ Etude d’une fonction d´efinie par une int´egrale
1. Domaine de d´efinition
(a) Soit xappartenant `a ]1,+∞[. Justifier l’existence de l’int´egrale Zx2
x
dt
ln(t)et d´eterminer
son signe.
(b) Soit xappartenant `a ]0,1[. Justifier aussi l’existence de l’int´egrale Zx2
x
dt
ln(t)et
d´eterminer son signe.
Nous pouvons ainsi d´efinir une fonction num´erique fsur R+×\ {1}par :
∀x∈R+×\ {1}f(x) = Zx2
x
dt
ln(t).
2. ´ Etude de la d´erivabilit´e
(a) i. Justifier l’existence d’une primitive Hde la fonction t7→ 1
ln(t)sur ]1,+∞[, puis
exprimer pour tout r´eel xappartenant `a ]1,+∞[, f(x) en fonction de H(x2) et
H(x).
ii. En d´eduire que fest d´erivable sur ]1,+∞[ et calculer f0.
iii. Quel est le sens de variation de fsur ]1,+∞[ ?
1

(b) i. Montrer que fest d´erivable sur ]0,1[ et calculer f0.
ii. Quel est le sens de variation de fsur ]0,1[ ?
3. ´ Etude des limites aux bornes du domaine de d´efinition
(a) ´ Etude en 0par valeurs sup´erieures
i. Soit x∈]0,1[. Montrer que pour tout t∈[x2, x] : 1
ln(x)≤1 ln(t)≤1 ln(x2), et en
d´eduire que : x(x−1)
2 ln(x)≤f(x)≤x(x−1) ln(x).
ii. Montrer alors que fest prolongeable par continuit´e en 0 et pr´eciser la valeur en
0 de fainsi prolong´ee.
La fonction fainsi prolong´ee est toujours not´ee fdans la suite.
iii. ` A l’aide de l’encadrement pr´ec´edent, montrer que f(x)
xa pour limite 0 en 0. Que
peut-on en d´eduire sur la fonction f? Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
(b) ´ Etude en l’infini
i. En s’inspirant de la m´ethode d´ecrite en (a).i, encadrer f(x) pour tout r´eel
x∈]1,+∞[.
ii. En d´eduire la limite de fen +∞.
iii. ´ Etudier la nature de la branche infinie de la courbe repr´esentative de fau voi-
sinage de +∞.
(c) ´ Etude en 1 par valeurs sup´erieures
i. Soit x∈]1,+∞[. Montrer que : Zx2
x
dt
tln(t)= ln(2),puis, en remarquant que
f(x) = Zx2
x
tdt
tln(t), prouver que : xln(2) ≤f(x)≤x2ln(2).
ii. En d´eduire l’existence et la valeur de la limite de fen 1 par valeurs sup´erieures.
(d) ´ Etude en 1 par valeurs inf´erieures
Par un travail similaire `a la question (c), montrer que f(x) a pour limite ln(2) lorsque
xtend vers 1 par valeurs inf´erieures.
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(e) Prolongement par continuit´e de fen 1
i. Montrer que fest prolongeable par continuit´e en 1 en posant : f(1) = ln(2).
La fonction fainsi prolong´ee est toujours not´ee fdans la suite.
ii. Montrer que fest d´erivable en 1 et pr´eciser la valeur de f0(1).
(f) Repr´esentation graphique de f
i. R´esumer les r´esultats pr´ec´edents en dressant le tableau de variations de f, ce
tableau pr´ecisant les prolongements et la nature g´eom´etrique des points parti-
culiers ´etudi´es.
ii. Repr´esenter la fonction f. On pr´ecise que ln(2) est voisin de 0,69.
Probl`eme 2 : ´ Etudes de fonctions, ´etude d’une suite d´efinie par r´ecurrence et cal-
culs d’aires.
1. ´ Etudes de fonctions
(a) On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = (x2+ 1)e−xpour tout x∈R.
i. ´ Etudier les limites en −∞ et en +∞de f.
ii. Justifier que fest d´erivable sur R, puis montrer que pour tout x∈R,f0(x) =
−(1 −x)2e−x. Dresser le tableau de variations de f.
iii. Calculer f0(0) et f0(1) et donner une interpr´etation g´eom´etrique de ces deux
nombres.
iv. On donne les encadrements suivants 0,75 < f(1
2)<0,76 et 0,73 < f(1) <0,74.
Montrer que pour tout x∈1
2,1,f(x) appartient `a 1 2,1.
v. Montrer que pour tout x∈1
2,1,|f0(x)| ≤ 1 4.
(b) On consid`ere la fonction hd´efinie sur Rpar h(x) = f(x)−xpour tout x∈R.
i. Montrer que hest strictement d´ecroissante sur R.
ii. ´ Etablir que l’´equation f(x) = xposs`ede une unique solution sur R, not´ee α.
iii. Montrer que α∈1
2,1.
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iv. Un rep`ere Rorthonorm´e du plan ´etant fix´e, on note Cfla courbe repr´esentative
de fdans R.´ Etudier la position relative de Cfet de la droite d’´equation y=x.
(c) Repr´esenter l’allure de la courbe Cfet la droite d’´equation y=xsur le mˆeme gra-
phique, en utilisant les propri´et´es g´eom´etriques obtenues `a la question 1.(a).iii. On
prendra comme unit´e 5 cm et on placera approximativement , mais de fa¸con
coh´erente avec les r´esultats pr´ec´edents, le nombre αsur l’axe des abscisses.
2. ´ Etude d’une suite d´efinie par r´ecurrence
Soit (un)n∈Nla suite d´efinie par u0= 1 et la relation valable pour tout n∈N,un+1 =
f(un).
(a) Montrer grˆace `a la question 1.(a).iv que pour tout n∈N,un∈1
2,1.
(b) D´eduire de la question 1.(a).v que pour tout n∈N,|un+1 −α| ≤ 1
4|un−α|.
(c) En d´eduire que pour tout n∈N,|un−α| ≤ 1
4n
|u0−α|.
(d) Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.
(e) Construire les abscisses u0,u1et u2sur le graphique de la question 1.(c).
3. Calculs d’aires
(a) ` A l’aide de deux int´egrations par parties, d´eterminer une primitive de la fonction f
sur R.
(b) Que vaut l’aire du domaine du plan d´elimit´e par la courbe Cf, l’axe des abscisses,
l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equation x= 1 ?
(c) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z+∞
0
f(t)dt est convergente, d´eterminer sa valeur
et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
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