Fonctions circulaires

Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny --
Fonctions circulaires
1 Cercle trigonom´etrique
D´efinition 1 Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal (O;~ı,~),on appelle cercle trigonom´etrique U
le cercle de centre Oet de rayon 1 sur lequel on choisit comme sens direct le sens contraire des aiguilles
d’une montre.
O~
i
~
j
B
A
A0
B0
M
A tout point Mde Uon associe l’angle orient´e ³−→
OA, −−→ OM´ainsi que l’arc orient´e AM
D´efinition 2 Soit x∈R.L’image de xsur le cercle trigonom´etrique est le point de Utel que la longueur
de l’arc de cercle AM soit |x|apr`es avoir parcouru le cercle dans les sens direct si x > 0 et dans le sens
indirect si x < 0.
Exemple 1 π/2 a pour image B; 3π/2 a pour image B0;πa pour image A0;−3π/2 a pour image
B; 2πa pour image A; etc...
Remarque 1 xet x+ 2kπ (avec k∈Z) ont la mˆeme image sur le cercle trigonom´etrique.
D´efinition 3 Si M∈ U on appelle mesure de l’angle orient´e ³−→
OA, −−→ OM´ou de l’arc orient´e AM tout
nombre r´eel xayant pour image Msur le cercle trigonom´etrique U.
Remarque 2 Si xest une mesure de ³−→
OA, −−→ OM´et si k∈Z, x + 2kπ est ´egalement une mesure
de ³−→
OA, −−→ OM´.Parmi toutes les mesures de ³−→
OA, −−→ OM´,il en existe une et une seule appartenant `a
l’intervalle ]−π, π].On l’appelle mesure principale de ³−→
OA, −−→ OM´.Elle correspond au plus court chemin
`a parcourir sur Upour aller de A`a M.

Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny --
Fonctions circulaires 2
2 Fonctions trigonom´etriques (ou circulaires)
D´efinition 4 Soit x∈Ret soit Ml’image de xsur U.
1. On appelle cosinus de xet on note cos xl’abscisse du point M.
2. On appelle sinus de xet on note sin xl’ordonn´ee du point M.
O
B
A
A0
B0
M
cos x
sin x
Remarque 3 ∀x∈R:−16sin x61 et −16cos x61
Th´eor`eme 1 x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x01
2
√2
2
√3
21
cos x1√3
2
√2
2
1
20
Remarque 4 Retenir les valeurs correspondant `a π
6;π 4;π 3car les autres sont imm´ediates par lecture
sur le cercle trigonom´etrique. Il en est de mˆeme pour π.
Th´eor`eme 2 Les fonctions sin et cos sont d´efinies sur Ret sont p´eriodiques de p´eriode 2π.
Th´eor`eme 3 La fonction sin est impaire.
Th´eor`eme 4 La fonction cos est paire.
Th´eor`eme 5 Les fonctions sin et cos sont d´erivables sur Ret
(sin x)0= cos x
(cos x)0=−sin x
Corollaire 1 Les fonctions x7→ sin (ax +b) et x7→ cos (ax +b) sont d´erivables sur Ret
(sin (ax +b))0=acos (ax +b)
(cos (ax +b))0=−asin (ax +b)

Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny --
Fonctions circulaires 3
3 Variations des fonctions circulaires
3.1 Etude de la fonction sinus
Nous savons d´ej`a que la fonction sin est d´efinie et d´erivable sur R.
De plus, la fonction sin est impaire.
La courbe Cfrepr´esentative de fest donc sym´etrique par rapport `a l’origine du rep`ere.
De plus, la fonction sin est p´eriodique de p´eriode 2π.
La courbe Cfrepr´esentative de fest donc invariante par translation de vecteur 2π~ i.
Il suffit donc d’´etudier fsur [0; π] puis de compl´eter par la sym´etrie de centre Oet enfin d’utiliser
l’invariance par translation de Cfpour construire la courbe dans son entier.
Nous savons ´egalement que (sin x)0= cos x.
A l’aide du cercle trigonom´etrique, on ´etudie le signe de cos x.
0< x < π
2⇒cos x > 0 et π 2< x < π ⇒cos x < 0.
D’o`u le tableau de variations :
x0π/2π
cos x1 + 0 − −1
sin x0%1&0
D’o`u la courbe Cf:
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0
1
f(x) = sin x
x
y
π
2
π
3.2 Etude de la fonction cosinus.
On proc`ede comme pour la fonction sin .
(cos x)0=−sin x.
0< x < π ⇒sin x > 0⇒et donc (cos x)0<0.D’o`u le tableau de variations :
x0π
−sin x0−0
cos x1& −1
D’o`u la courbe Cf:

Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny --
Fonctions circulaires 4
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0
1
f(x) = cos x
x
y
π
2π
4 Equations trigonom´etriques
4.1 Equation sin x=a
Remarquer tout d’abord que si a < −1 ou a > 1 l’´equation n’admet pas de solution.
Si a∈[−1; 1] il existe α∈Rtel que sin α=a.
Donc sin x=a⇔sin x= sin α
L’´etude du cercle trigonom´etrique conduit `a :
sin x= sin α⇔½x=α+ 2kπ
x=π−α+ 2kπ avec k∈Z
4.2 Equation cos x=b
Cette ´equation n’a pas de solution si b < −1 ou b > 1.
Si b∈[−1; 1] il existe β∈Rtel que cos β=b.
Donc cos x=b⇔cos x= cos β
L’´etude du cercle trigonom´etrique conduit `a :
cos x= cos β⇔½x=β+ 2kπ
x=−β+ 2kπ avec k∈Z