Chapitre 3 Un peu de vocabulaire de la théorie des ensembles

Chapitre 3
Un peu de vocabulaire de la th´eorie
des ensembles
3.1 Ensembles
3.1.1 Appartenance et inclusion
On appellera ensemble une collection d’objets ou d’´el´ements. Un ensemble peut ˆetre
d´efini :
– par l’´enum´eration de tous ses ´el´ements. Par exemple A={1,2,3}d´esigne l’ensemble
des nombres 1,2 et 3.
– par des r`egles d’appartenance, formul´ees par une proposition du type ”E={xt.q. P (x)}”.
Par exemple, l’ensemble B={n∈N,∃p∈N, n = 2p}d´esigne l’ensemble des entiers
pairs.
On utilise des accolades.
Il y a des ensembles finis et des ensembles infinis. Dans les exemples ci-dessus, Aest fini
et Best infini.
D´efinition 3.1.1. Etant donn´e un ensemble A, on dira que x∈Asi xest un ´el´ement de A.
D´efinition 3.1.2. Etant donn´es deux ensembles Aet B, on dira que Aest inclus dans B
(not´e A⊂B) si tout ´el´ement de Aappartient n´ecessairement `a B. Autrement dit,
A⊂Bssi ∀x∈A, x ∈B(3.1)
On dit aussi que Aest un sous ensemble de B.
Deux ensembles Aet Bsont ´egaux si A⊂Bet B⊂A.
ATTENTION : ne pas confondre ∈et ⊂.
{2}est un singleton, c`ad un ensemble `a un seul ´el´ement.
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2 est un ´el´ement de {2}, et aussi un ´el´ement de N.
Ainsi, 2 ∈ {2}et 2 ∈N, mais {2} ⊂ N.
Remarque 3.1.1. – Une inclusion d’ensembles correspond `a une implication logique :
A⊂Bssi ∀x, (x∈A⇒x∈B)
– L’´egalit´e entre deux ensembles signifie que chacun est inclus dans l’autre :
A=Bssi (A⊂B)∧(B⊂A)
Ainsi,
A=Bssi (x∈A⇔x∈B)
Dans la pratique, pour prouver que deux ensembles sont ´egaux, si on ne peut pas
proc´eder directement par ´equivalence, on commence par montrer une inclusion, puis
on montre l’inclusion inverse.
Exercice 3.1.1. Soient Eet Fdeux ensembles. Ecrire une assertion math´ematique tradui-
sant que Fn’est pas inclus dans E.
Exercice 3.1.2. Soient A, B, C trois ensembles tels que A⊂Bet B⊂C. Montrer que
A⊂C.
D´efinition 3.1.3. ∅est l’ensemble vide.
ATTENTION : Ne pas confondre ∅et {0}. L’ensemble vide a pour propri´et´e d’ˆetre inclus
dans tout ensemble, ce qui n’est pas le cas de {0}.
D´efinition 3.1.4. Le cardinal d’un ensemble Afini est son nombre d’´el´ements. Si A=
{1,2,3}, Card(A)=3.
3.1.2 Op´erations sur les ensembles
On d´efinit maintenant des moyens de construire de nouveaux ensembles.
D´efinition 3.1.5. Soient Aet Bdeux ensembles.
– On d´efinit la r´eunion de Aet Bpar A∪B={x, x ∈Aou x∈B}.
– On d´efinit l’intersection de Aet Bpar A∩B={x, x ∈Aet x∈B}.
– Si Aest un sous ensemble de Bon d´efinit le compl´ementaire Adans Bpar B\A={x∈
B, x /∈A}. S’il n’y a aucune ambiguit´e concernant B, on note aussi le compl´ementaire
de Apar Ac.
Il est tr`es facile de montrer les inclusions suivantes : A∩B⊂A⊂A∪B(les mˆemes sont
aussi v´erifi´ees avec B).
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Exercice 3.1.3. Ecrire sous forme d’intervalle, ou d’union d’intervalles, les ensembles E=
{x∈R|x2≤4}et F={x∈R|x2≥4}.
Exercice 3.1.4. Etant donn´es deux ensembles Aet B, on peut former un ensemble A∆B
de la mani`ere suivante :
A∆B:= (A\B)∪(B\A)
1. Montrer que A∆B= (A∪B)\(A∩B) ; dessiner cet ensemble.
2. Soit Al’ensemble des nombres r´eels xtels que −1≤x≤3 et Bl’ensemble des r´eels y
tels que 2 ≤y≤5 ; expliciter l’ensemble A∆B.
D´efinition 3.1.6. On d´efinit le produit cartesien de Aet Bpar A×B={(x, y), x ∈A, y ∈
B}. Ses ´el´ements s’appellent des couples, ou des paires ordonn´ees.
Exercice 3.1.5. D´ecrire E×Florsque E={1,2}et F={1,2,3}.
D´efinition 3.1.7. A partir de nensembles E1, E2, . . . , En, on d´efinit le produit cart´esien
E1×E2··· × Enpar
E1×E2··· × En={(x1, x2, . . . , xn), x1∈E1, x2∈E2, . . . , xn∈En}
Ses ´el´ements s’appellent des n-uplets (des triplets si n= 3), ou encore des familles `a n
´el´ements.
Remarque 3.1.2. Il ne faut pas confondre l’ensemble {x1, . . . , xn}avec le n-uplets (x1, . . . , xn).
Dans un n-uplet, l’ordre des symboles est important, mais pas dans un ensemble ; d’un point
de vue logique, ce sont des constructions tr`es diff´erentes.
A titre d’exemple, les coordonn´ees (xA, yA) d’un point Adans un rep`ere du plan forment
un couple : il est important de savoir quel nombre correspond `a l’abscisse et quel nombre, `a
l’ordonn´ee.
Il en est de mˆeme pour les coordonn´ees d’un vecteur.
3.2 Applications, image, image r´eciproque
Donnons nous maintenant E, F deux ensembles ; soit f:E→Fune application (c’est `a
dire “un moyen de fabriquer un unique ´el´ement de F`a partir d’un ´el´ement de E”), d´efinie
par l’ensemble de couples {(x, f(x)), x ∈E} ⊂ E×F. D’un point de vue ensembliste, une
application se d´efinit comme suit :
D´efinition 3.2.1. Une application fde Edans Fest un ensemble de couples (x, y)∈E×F
tels que
– pour tout x∈E, il existe y∈Ftel que (x, y)∈f;
– pour tous (x, y),(x0, y0)∈f,x=x0⇒y=y0.
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Remarque 3.2.1. La donn´ee de l’ensemble de d´epart Efait partie int´egrante de la d´efinition.
Si parfois on parle, par exemple, de l’application f:x7→ x2, c’est par abus de langage, en
sous-entendant qu’elle est d´efinie sur R.
On peut fabriquer de nouveaux ensembles `a l’aide de f.
D´efinition 3.2.2. Soit f:E→Fune application et soient A⊂E,B⊂F.
– On d´efinit l’image de Apar fpar f(A) = {f(x), x ∈A}. C’est un sous ensemble de
B.
– On d´efinit l’image r´eciproque de Bpar fpar f−1(B) = {x∈E, f(x)∈B}. C’est
un sous ensemble de E. Plus pr´ecisemment, c’est le sous ensemble de Econstitu´e des
´el´ements dont l’image par fappartient `a B.
Attention, dans la d´efinition pr´ec´edente, la notation f−1ne signifie pas que fest bijective.
C’est juste une notation !
Exercice 3.2.1. Soit f:E→Fune application et soient A⊂F,B⊂F. Montrer que
f−1(A∪B) = f−1(A)∪f−1(B), f−1(A∩B) = f−1(A)∩f−1(B), f−1(Ac) = (f−1(A))c(Ac
est le compl´ementaire de Adans Fet (f−1(A))cest le compl´ementaire de f−1(A) dans E.
Exercice 3.2.2. Soit f:E→Fune application et soient A⊂E,B⊂E. Montrer que
f(A∪B) = f(A)∪f(B).
Trouver un exemple d’application ftelle que f(A∩B)6=f(A)∩f(B).
Exercice 3.2.3. Soit f:R→Rd´efinie par f(x) = x2+ 1. D´eterminer les ensembles
suivants :
f([0,2]), f(R), f−1([1,2]), f−1([0,1[).
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