Exercice 3.1.3. Ecrire sous forme d’intervalle, ou d’union d’intervalles, les ensembles E=
{x∈R|x2≤4}et F={x∈R|x2≥4}.
Exercice 3.1.4. Etant donn´es deux ensembles Aet B, on peut former un ensemble A∆B
de la mani`ere suivante :
A∆B:= (A\B)∪(B\A)
1. Montrer que A∆B= (A∪B)\(A∩B) ; dessiner cet ensemble.
2. Soit Al’ensemble des nombres r´eels xtels que −1≤x≤3 et Bl’ensemble des r´eels y
tels que 2 ≤y≤5 ; expliciter l’ensemble A∆B.
D´efinition 3.1.6. On d´efinit le produit cartesien de Aet Bpar A×B={(x, y), x ∈A, y ∈
B}. Ses ´el´ements s’appellent des couples, ou des paires ordonn´ees.
Exercice 3.1.5. D´ecrire E×Florsque E={1,2}et F={1,2,3}.
D´efinition 3.1.7. A partir de nensembles E1, E2, . . . , En, on d´efinit le produit cart´esien
E1×E2··· × Enpar
E1×E2··· × En={(x1, x2, . . . , xn), x1∈E1, x2∈E2, . . . , xn∈En}
Ses ´el´ements s’appellent des n-uplets (des triplets si n= 3), ou encore des familles `a n
´el´ements.
Remarque 3.1.2. Il ne faut pas confondre l’ensemble {x1, . . . , xn}avec le n-uplets (x1, . . . , xn).
Dans un n-uplet, l’ordre des symboles est important, mais pas dans un ensemble ; d’un point
de vue logique, ce sont des constructions tr`es diff´erentes.
A titre d’exemple, les coordonn´ees (xA, yA) d’un point Adans un rep`ere du plan forment
un couple : il est important de savoir quel nombre correspond `a l’abscisse et quel nombre, `a
l’ordonn´ee.
Il en est de mˆeme pour les coordonn´ees d’un vecteur.
3.2 Applications, image, image r´eciproque
Donnons nous maintenant E, F deux ensembles ; soit f:E→Fune application (c’est `a
dire “un moyen de fabriquer un unique ´el´ement de F`a partir d’un ´el´ement de E”), d´efinie
par l’ensemble de couples {(x, f(x)), x ∈E} ⊂ E×F. D’un point de vue ensembliste, une
application se d´efinit comme suit :
D´efinition 3.2.1. Une application fde Edans Fest un ensemble de couples (x, y)∈E×F
tels que
– pour tout x∈E, il existe y∈Ftel que (x, y)∈f;
– pour tous (x, y),(x0, y0)∈f,x=x0⇒y=y0.
23