Chapitre 3 Un peu de vocabulaire de la théorie des ensembles

Chapitre 3
Un peu de vocabulaire de la théorie
des ensembles
3.1
3.1.1
Ensembles
Appartenance et inclusion
On appellera ensemble une collection d’objets ou d’éléments. Un ensemble peut être
défini :
– par l’énumération de tous ses éléments. Par exemple A = {1, 2, 3} désigne l’ensemble
des nombres 1, 2 et 3.
– par des règles d’appartenance, formulées par une proposition du type ”E = {x t.q. P (x)}”.
Par exemple, l’ensemble B = {n ∈ N, ∃p ∈ N, n = 2p} désigne l’ensemble des entiers
pairs.
On utilise des accolades.
Il y a des ensembles finis et des ensembles infinis. Dans les exemples ci-dessus, A est fini
et B est infini.
Définition 3.1.1. Etant donné un ensemble A, on dira que x ∈ A si x est un élément de A.
Définition 3.1.2. Etant donnés deux ensembles A et B, on dira que A est inclus dans B
(noté A ⊂ B) si tout élément de A appartient nécessairement à B. Autrement dit,
A ⊂ B ssi ∀x ∈ A, x ∈ B
On dit aussi que A est un sous ensemble de B.
Deux ensembles A et B sont égaux si A ⊂ B et B ⊂ A.
ATTENTION : ne pas confondre ∈ et ⊂.
{2} est un singleton, càd un ensemble à un seul élément.
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(3.1)
2 est un élément de {2}, et aussi un élément de N.
Ainsi, 2 ∈ {2} et 2 ∈ N, mais {2} ⊂ N.
Remarque 3.1.1.
– Une inclusion d’ensembles correspond à une implication logique :
A ⊂ B ssi ∀x, (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
– L’égalité entre deux ensembles signifie que chacun est inclus dans l’autre :
A = B ssi (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
Ainsi,
A = B ssi (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Dans la pratique, pour prouver que deux ensembles sont égaux, si on ne peut pas
procéder directement par équivalence, on commence par montrer une inclusion, puis
on montre l’inclusion inverse.
Exercice 3.1.1. Soient E et F deux ensembles. Ecrire une assertion mathématique traduisant que F n’est pas inclus dans E.
Exercice 3.1.2. Soient A, B, C trois ensembles tels que A ⊂ B et B ⊂ C. Montrer que
A ⊂ C.
Définition 3.1.3. ∅ est l’ensemble vide.
ATTENTION : Ne pas confondre ∅ et {0}. L’ensemble vide a pour propriété d’être inclus
dans tout ensemble, ce qui n’est pas le cas de {0}.
Définition 3.1.4. Le cardinal d’un ensemble A fini est son nombre d’éléments. Si A =
{1, 2, 3}, Card(A) = 3.
3.1.2
Opérations sur les ensembles
On définit maintenant des moyens de construire de nouveaux ensembles.
Définition 3.1.5. Soient A et B deux ensembles.
– On définit la réunion de A et B par A ∪ B = {x, x ∈ A ou x ∈ B}.
– On définit l’intersection de A et B par A ∩ B = {x, x ∈ A et x ∈ B}.
– Si A est un sous ensemble de B on définit le complémentaire A dans B par B\A = {x ∈
B, x ∈
/ A}. S’il n’y a aucune ambiguité concernant B, on note aussi le complémentaire
de A par Ac .
Il est très facile de montrer les inclusions suivantes : A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B (les mêmes sont
aussi vérifiées avec B).
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Exercice 3.1.3. Ecrire sous forme d’intervalle, ou d’union d’intervalles, les ensembles E =
{x ∈ R | x2 ≤ 4} et F = {x ∈ R | x2 ≥ 4}.
Exercice 3.1.4. Etant donnés deux ensembles A et B, on peut former un ensemble A∆B
de la manière suivante :
A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A)
1. Montrer que A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ; dessiner cet ensemble.
2. Soit A l’ensemble des nombres réels x tels que −1 ≤ x ≤ 3 et B l’ensemble des réels y
tels que 2 ≤ y ≤ 5 ; expliciter l’ensemble A∆B.
Définition 3.1.6. On définit le produit cartesien de A et B par A × B = {(x, y), x ∈ A, y ∈
B}. Ses éléments s’appellent des couples, ou des paires ordonnées.
Exercice 3.1.5. Décrire E × F lorsque E = {1, 2} et F = {1, 2, 3}.
Définition 3.1.7. A partir de n ensembles E1 , E2 , . . . , En , on définit le produit cartésien
E1 × E2 · · · × En par
E1 × E2 · · · × En = {(x1 , x2 , . . . , xn ), x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 , . . . , xn ∈ En }
Ses éléments s’appellent des n-uplets (des triplets si n = 3), ou encore des familles à n
éléments.
Remarque 3.1.2. Il ne faut pas confondre l’ensemble {x1 , . . . , xn } avec le n-uplets (x1 , . . . , xn ).
Dans un n-uplet, l’ordre des symboles est important, mais pas dans un ensemble ; d’un point
de vue logique, ce sont des constructions très différentes.
A titre d’exemple, les coordonnées (xA , yA ) d’un point A dans un repère du plan forment
un couple : il est important de savoir quel nombre correspond à l’abscisse et quel nombre, à
l’ordonnée.
Il en est de même pour les coordonnées d’un vecteur.
3.2
Applications, image, image réciproque
Donnons nous maintenant E, F deux ensembles ; soit f : E → F une application (c’est à
dire “un moyen de fabriquer un unique élément de F à partir d’un élément de E”), définie
par l’ensemble de couples {(x, f (x)), x ∈ E} ⊂ E × F . D’un point de vue ensembliste, une
application se définit comme suit :
Définition 3.2.1. Une application f de E dans F est un ensemble de couples (x, y) ∈ E ×F
tels que
– pour tout x ∈ E, il existe y ∈ F tel que (x, y) ∈ f ;
– pour tous (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ f , x = x0 ⇒ y = y 0 .
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Remarque 3.2.1. La donnée de l’ensemble de départ E fait partie intégrante de la définition.
Si parfois on parle, par exemple, de l’application f : x 7→ x2 , c’est par abus de langage, en
sous-entendant qu’elle est définie sur R.
On peut fabriquer de nouveaux ensembles à l’aide de f .
Définition 3.2.2. Soit f : E → F une application et soient A ⊂ E, B ⊂ F .
– On définit l’image de A par f par f (A) = {f (x), x ∈ A}. C’est un sous ensemble de
B.
– On définit l’image réciproque de B par f par f −1 (B) = {x ∈ E, f (x) ∈ B}. C’est
un sous ensemble de E. Plus précisemment, c’est le sous ensemble de E constitué des
éléments dont l’image par f appartient à B.
Attention, dans la définition précédente, la notation f −1 ne signifie pas que f est bijective.
C’est juste une notation !
Exercice 3.2.1. Soit f : E → F une application et soient A ⊂ F , B ⊂ F . Montrer que
f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B), f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B), f −1 (Ac ) = (f −1 (A))c (Ac
est le complémentaire de A dans F et (f −1 (A))c est le complémentaire de f −1 (A) dans E.
Exercice 3.2.2. Soit f : E → F une application et soient A ⊂ E, B ⊂ E. Montrer que
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
Trouver un exemple d’application f telle que f (A ∩ B) 6= f (A) ∩ f (B).
Exercice 3.2.3. Soit f : R → R définie par f (x) = x2 + 1. Déterminer les ensembles
suivants :
f ([0, 2]), f (R), f −1 ([1, 2]), f −1 ([0, 1[).
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