Chapitre 3 Un peu de vocabulaire de la théorie des ensembles

Chapitre 3
Un peu de vocabulaire de la th´eorie
des ensembles
3.1 Ensembles
3.1.1 Appartenance et inclusion
On appellera ensemble une collection d’objets ou d’´el´ements. Un ensemble peut ˆetre
d´efini :
par l’´enum´eration de tous ses ´el´ements. Par exemple A={1,2,3}d´esigne l’ensemble
des nombres 1,2 et 3.
par des r`egles d’appartenance, formul´ees par une proposition du type ”E={xt.q. P (x)}.
Par exemple, l’ensemble B={nN,pN, n = 2p}esigne l’ensemble des entiers
pairs.
On utilise des accolades.
Il y a des ensembles finis et des ensembles infinis. Dans les exemples ci-dessus, Aest fini
et Best infini.
D´efinition 3.1.1. Etant donn´e un ensemble A, on dira que xAsi xest un ´el´ement de A.
D´efinition 3.1.2. Etant donn´es deux ensembles Aet B, on dira que Aest inclus dans B
(not´e AB) si tout ´el´ement de Aappartient n´ecessairement `a B. Autrement dit,
ABssi xA, x B(3.1)
On dit aussi que Aest un sous ensemble de B.
Deux ensembles Aet Bsont ´egaux si ABet BA.
ATTENTION : ne pas confondre et .
{2}est un singleton, c`ad un ensemble `a un seul ´el´ement.
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2 est un ´el´ement de {2}, et aussi un ´el´ement de N.
Ainsi, 2 ∈ {2}et 2 N, mais {2} ⊂ N.
Remarque 3.1.1. Une inclusion d’ensembles correspond `a une implication logique :
ABssi x, (xAxB)
L’´egalit´e entre deux ensembles signifie que chacun est inclus dans l’autre :
A=Bssi (AB)(BA)
Ainsi,
A=Bssi (xAxB)
Dans la pratique, pour prouver que deux ensembles sont ´egaux, si on ne peut pas
proc´eder directement par ´equivalence, on commence par montrer une inclusion, puis
on montre l’inclusion inverse.
Exercice 3.1.1. Soient Eet Fdeux ensembles. Ecrire une assertion math´ematique tradui-
sant que Fn’est pas inclus dans E.
Exercice 3.1.2. Soient A, B, C trois ensembles tels que ABet BC. Montrer que
AC.
D´efinition 3.1.3. est l’ensemble vide.
ATTENTION : Ne pas confondre et {0}. L’ensemble vide a pour propri´et´e d’ˆetre inclus
dans tout ensemble, ce qui n’est pas le cas de {0}.
D´efinition 3.1.4. Le cardinal d’un ensemble Afini est son nombre d’´el´ements. Si A=
{1,2,3}, Card(A)=3.
3.1.2 Op´erations sur les ensembles
On d´efinit maintenant des moyens de construire de nouveaux ensembles.
D´efinition 3.1.5. Soient Aet Bdeux ensembles.
On d´efinit la r´eunion de Aet Bpar AB={x, x Aou xB}.
On d´efinit l’intersection de Aet Bpar AB={x, x Aet xB}.
Si Aest un sous ensemble de Bon d´efinit le compl´ementaire Adans Bpar B\A={x
B, x /A}. S’il n’y a aucune ambiguit´e concernant B, on note aussi le compl´ementaire
de Apar Ac.
Il est tr`es facile de montrer les inclusions suivantes : ABAAB(les mˆemes sont
aussi v´erifi´ees avec B).
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Exercice 3.1.3. Ecrire sous forme d’intervalle, ou d’union d’intervalles, les ensembles E=
{xR|x24}et F={xR|x24}.
Exercice 3.1.4. Etant donn´es deux ensembles Aet B, on peut former un ensemble AB
de la mani`ere suivante :
AB:= (A\B)(B\A)
1. Montrer que AB= (AB)\(AB) ; dessiner cet ensemble.
2. Soit Al’ensemble des nombres r´eels xtels que 1x3 et Bl’ensemble des r´eels y
tels que 2 y5 ; expliciter l’ensemble AB.
D´efinition 3.1.6. On d´efinit le produit cartesien de Aet Bpar A×B={(x, y), x A, y
B}. Ses ´el´ements s’appellent des couples, ou des paires ordonn´ees.
Exercice 3.1.5. D´ecrire E×Florsque E={1,2}et F={1,2,3}.
D´efinition 3.1.7. A partir de nensembles E1, E2, . . . , En, on d´efinit le produit cart´esien
E1×E2··· × Enpar
E1×E2··· × En={(x1, x2, . . . , xn), x1E1, x2E2, . . . , xnEn}
Ses ´el´ements s’appellent des n-uplets (des triplets si n= 3), ou encore des familles `a n
´el´ements.
Remarque 3.1.2. Il ne faut pas confondre l’ensemble {x1, . . . , xn}avec le n-uplets (x1, . . . , xn).
Dans un n-uplet, l’ordre des symboles est important, mais pas dans un ensemble ; d’un point
de vue logique, ce sont des constructions tr`es diff´erentes.
A titre d’exemple, les coordonn´ees (xA, yA) d’un point Adans un rep`ere du plan forment
un couple : il est important de savoir quel nombre correspond `a l’abscisse et quel nombre, `a
l’ordonn´ee.
Il en est de mˆeme pour les coordonn´ees d’un vecteur.
3.2 Applications, image, image r´eciproque
Donnons nous maintenant E, F deux ensembles ; soit f:EFune application (c’est `a
dire “un moyen de fabriquer un unique ´el´ement de F`a partir d’un ´el´ement de E), d´efinie
par l’ensemble de couples {(x, f(x)), x E} ⊂ E×F. D’un point de vue ensembliste, une
application se d´efinit comme suit :
D´efinition 3.2.1. Une application fde Edans Fest un ensemble de couples (x, y)E×F
tels que
pour tout xE, il existe yFtel que (x, y)f;
pour tous (x, y),(x0, y0)f,x=x0y=y0.
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Remarque 3.2.1. La donn´ee de l’ensemble de d´epart Efait partie int´egrante de la d´efinition.
Si parfois on parle, par exemple, de l’application f:x7→ x2, c’est par abus de langage, en
sous-entendant qu’elle est d´efinie sur R.
On peut fabriquer de nouveaux ensembles `a l’aide de f.
D´efinition 3.2.2. Soit f:EFune application et soient AE,BF.
On d´efinit l’image de Apar fpar f(A) = {f(x), x A}. C’est un sous ensemble de
B.
On d´efinit l’image r´eciproque de Bpar fpar f1(B) = {xE, f(x)B}. C’est
un sous ensemble de E. Plus pr´ecisemment, c’est le sous ensemble de Econstitu´e des
´el´ements dont l’image par fappartient `a B.
Attention, dans la d´efinition pr´ec´edente, la notation f1ne signifie pas que fest bijective.
C’est juste une notation !
Exercice 3.2.1. Soit f:EFune application et soient AF,BF. Montrer que
f1(AB) = f1(A)f1(B), f1(AB) = f1(A)f1(B), f1(Ac) = (f1(A))c(Ac
est le compl´ementaire de Adans Fet (f1(A))cest le compl´ementaire de f1(A) dans E.
Exercice 3.2.2. Soit f:EFune application et soient AE,BE. Montrer que
f(AB) = f(A)f(B).
Trouver un exemple d’application ftelle que f(AB)6=f(A)f(B).
Exercice 3.2.3. Soit f:RRd´efinie par f(x) = x2+ 1. D´eterminer les ensembles
suivants :
f([0,2]), f(R), f1([1,2]), f1([0,1[).
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