chapitre 5 (Fonctions de références I)

Chapitre 5 : Fonctions de r´ef´erence
1 Fonction carr´e
1.1 D´efinition et repr´esentation graphique
D´efinition 1 La fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x2est la fonction carr´e.
Dans la suite de cette partie, on appelle fcette fonction.
1.2 Sym´etrie
Th´eor`eme 1 fest une fonction paire.
D´emonstration :
En effet : 1) son ensemble de d´efinition est Ret 2) pour tout x∈R,f(−x) = (−x)2=x2=f(x)
CQFD.
1.3 Variations et extr´emum
Th´eor`eme 2 fest strictement d´ecroissante sur ]−∞; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[,
elle atteint un minimum valant 0pour x= 0.
D´emonstration :
On sait que c’est une fonction paire. Il suffit donc de montrer que fest croissante sur [0; +∞[.
1ere m´ethode : Soient donc aet bdeux r´eels positifs, tels que a < b. Alors a2< ab en multipliant
par a > 0. Mais en multipliant par b > 0 on trouve aussi : ab < b2. Donc a2< ab < b2. D’o`u
f(a)< f(b). CQFD.
2eme m´ethode : On calcule le taux de variation entre aet b:
f(a)−f(b)
a−b=a2−b2 a−b=(a−b)(a+b) a−b=a+b
Or a+b > 0 puisque aet bsont >0. Le taux d’accroissement entre deux r´eels positifs quelconques
´etant strictement positif, fest strictement croissante. CQFD.
3eme m´ethode : f(a) est l’aire d’un carr´e de cˆot´e a.f(b) est l’aire d’un carr´e de cˆot´e b.a < b
donc l’aire du premier carr´e est inf´erieure `a l’aire du second (voir fig. 1). CQFD.
1

b
a
ab
2
2
Fig. 1
1.4 Courbe
Tra¸cons la dans un rep`ere orthonorm´e. On sait d´ej`a que la courbe est sym´etrique par rapport
`a l’axe des ordonn´ees et qu’elle passe par l’origine. Un carr´e ´etant toujours positif, elle est
enti`erement au-dessus de l’axe des x. Pla¸cons quelques points puis tra¸cons la au mieux.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
2
4
6
8
10
Fig. 2
Cette courbe s’appelle une “parabole”. On dit que Oest le sommet de cette parabole. La courbe
trac´ee par une balle lanc´ee en l’air, ou par un jet d’eau, est aussi une parabole. Les antennes
(ou les skis) “paraboliques” ont ´egalement cette forme.
1.5 Comparaison entre xet x2
Repr´esentez sur le mˆeme graphique la droite d’´equation y=x. Qu’observe-t-on ?
2

Th´eor`eme 3 Pour x∈[0; 1],x2≤x, avec ´egalit´e si et seulement si x= 0 ou x= 1. Pour
x > 1,x2> x.
D´emonstration :
0< x < 1⇒0< x2< x en multipliant chaque membre par x, ce qui ne change pas les in´egalit´es
puisque x > 0. De mˆeme, x > 1⇒x2> x en multipliant par xde chaque cˆot´e. L’´egalit´e pour
x= 0 ou x= 1 est ´evidente. CQFD.
Remarque : On peut v´erifier graphiquement que fcroˆıt plus vite que n’importe quelle fonction
affine.
1.6 Fonctions dont l’´etude se ram`ene `a la fonction carr´e
Soit un rep`ere (O; (−→ i;−→ j)). Tra¸cons point par point les courbes des fonctions suivantes : f(x) =
x2,g(x) = x2+ 1, h(x) = (x−2)2, et enfin k(x) = (x−2)2+ 1.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
5
10
15
20
25
f
g
h
Fig. 3
On observe que la courbe de gest la translat´ee de la courbe de fpar le vecteur −→ j. Celle de h
est la translat´ee de la courbe de fpar le vecteur 2−→ i. Enfin la derni`ere est la translat´ee de Cf
par 2−→ i+−→ j. Comment utiliser ce r´esultat ?
´
Etudions par exemple le cas de k. Soit O0(2; 1). Introduisons un nouveau rep`ere en changeant
l’origine Oet O0(on garde les mˆeme vecteurs de base). Appelons x0et y0les coordonn´ees
dans le nouveau rep`ere d’un point Mde coordonn´ees (x;y) dans l’ancien rep`ere. Alors comme
−−→
OM =−−→ OO0+−−−→ O0Mon en d´eduit que x=x0+ 2 et y=y0+ 1. Supposons que le point M
appartienne `a la courbe de k. Alors y= (x−2)2+ 1. Donc y−1 = (x−2)2ce qui est ´equivalent
`a y0=x02. Autrement dit, la repr´esentation graphique de kdans l’ancien rep`ere co¨ıncide avec
celle de fdans le nouveau rep`ere.
3

Th´eor`eme 4 Soient fet gdeux fonctions telles que pour tout xon ait : g(x) = f(x−a) + b.
Soient de plus Cfet Cgles repr´esentations graphiques de fet gdans le rep`ere (O; (−→ i;−→ j)).
Alors Cgest la translat´ee de Cfpar le vecteur −→ v(a
b). De plus, Cgest la repr´esentation graphique
de la fonction fdans le rep`ere (O0; (−→ i;−→ j)) o`u O0est le point de coordonn´ees (a;b)dans l’ancien
rep`ere.
Corollaire 1 Soit g(x)=(x−a)2+b. Alors la fonction gest d´ecroissante strictement sur
]− ∞;a[, puis croissante strictement sur ]a; +∞[. Elle admet donc un minimum sur Rvalant
b, atteint en a.
La courbe de gest une parabole “orient´ee vers le haut”, d’axe de sym´etrie la droite d’´equation
x=a, et de sommet le point de coordonn´ees (a;b).
D´emonstration :
Les affirmations sur la courbe sont imm´ediates par translation. Les propri´et´es de la fonction s’en
d´eduisent imm´ediatement. CQFD.
Remarque : On fera attention aux signes. La courbe de la fonction g(x) = (x+ 2)2+ 5 est une
parabole de sommet le point de coordonn´ees (−2; 5).
Exercice 1 ´ Etudier la fonction g(x) = x2−2x+ 4 d´efinie sur R.
Pour r´esoudre l’exercice pr´ec´edent, il faut voir que g(x) peut s’´ecrire g(x) = (x−1)2+3. Il existe
une technique g´en´erale que nous verrons au paragraphe suivant. Mais d’abord int´eressons-nous
`a un autre type de fonction.
Soit φ(x) = 2x2et ψ(x) = −x2, toutes deux d´efinies sur R. Tra¸cons point par point leur courbes.
Il est clair que la courbe de ψest sym´etrique de celle de fpar une sym´etrie d’axe (Ox). Celle
de φressemble `a la courbe de fque l’on aurait “´etir´ee”. C’est encore une parabole, de mˆeme
axe, et de mˆeme sommet. On voit qu’on peut facilement ramener l’´etude de ces fonctions `a celle
de f.
Remarque : Pour tracer la courbe de φon peut d’abord tracer celle de f, puis changer les unit´es
sur l’axes des ordonn´ees en rempla¸cant le vecteur −→ jpar le vecteur 1
2−→
j. La courbe de fdans
l’ancien rep`ere co¨ıncide alors avec celle de φdans le nouveau rep`ere.
Exercice 2 ´ Etudier la fonction φ(x) = −2x2+ 4x−8d´efinie sur R. (Indication : factoriser par
−2.)
1.7 Forme canonique d’un polynˆome du second degr´e.
On appelle trinˆome ou polynˆome du second degr´e toute fonction du type g(x) = ax2+bx +c
avec a, b, c des constantes r´eelles, telles que a6= 0. Nous allons ´etudier ces fonctions en utilisant
les techniques du paragraphe pr´ec´edent.
Nous allons expliquer la technique g´en´erale en prenant l’exemple du polynˆome suivant :
g(x) = 3x2+ 6x+ 5
1ere ´etape : on factorise par 3. On obtient :
g(x) = 3(x2+ 2x+5
3)
4

2eme ´etape : on reconnaˆıt le d´ebut d’une identit´e remarquable dans les deux premiers termes. Ici
par exemple on a : x2+ 2x. C’est le d´ebut de (x+ 1)2. On remplace alors x2+ 2xpar (x+ 1)2−1
(il faut soustraire 1 pour compenser le terme 12qui provient du d´eveloppement de l’identit´e
remarquable). Exemple :
g(x) = 3[(x+ 1)2−1 + 5
3]
3eme ´etape : on regroupe les constantes en faisant l’addition (ou la soustraction).
g(x) = 3[(x+ 1)2+2
3]
On a obtenu la forme canonique de g. On peut alors l’´etudier. On voit par exemple que la courbe
de gest une parabole de sommet (−1; 2
3) et dirig´ee vers le haut (car 3 >0). On en d´eduit que
gest d’abord d´ecroissante jusqu’`a x=−1 o`u elle atteint un minimum qui vaut 2
3puis elle croˆıt
`a nouveau.
Cette technique fonctionne toujours. On en d´eduit que la courbe d’une fonction polynˆome du
second degr´e est une parabole. Comme on voit que la premi`ere ´etape consiste `a factoriser par a,
on peut en d´eduire l’orientation de la parabole, donc le sens de variation : si a > 0 alors fest
d´ecroissante (strict.) puis croissante (strict.), et si a < 0 c’est le contraire.
1.8 R´esolution d’une ´equation du second degr´e
Il existe une formule g´en´erale que l’on apprend en 1ere. On peut cependant utiliser la mise sous
forme canonique.
Supposons que l’on ait l’´equation ax2+bx +c= 0. Cela revient `a chercher les ant´ec´edent de
0 par la fonction g(x) = ax2+bx +c´etudi´ee au paragraphe pr´ec´edent. On met gsous forme
canonique. Prenons trois exemples : g(x) = 3x2+6x+5, h(x) = x2+x−1 et k(x) = 3x2+6x+3.
On a vu que g(x) = 3((x+ 1)2+2
3). Donc
g(x) = 0 ⇔3((x+ 1)2+2
3) = 0
⇔(x+ 1)2+2
3= 0 ⇔(x+ 1)2=−2 3
Or un carr´e ne peut ˆetre strictement n´egatif. Cette ´equation n’a donc pas de solution dans R.
Donc 0 n’a pas d’ant´ec´ dent par g, ce qui se constate facilement sur la courbe : celle-ci ne croise
jamais l’axe des abscisses. Passons `a la deuxi`eme ´equation.
On met sous forme canonique :
h(x) = (x+1
2)2−5 4
Or 5
4= (√5 2)2. Donc l’´equation `a r´esoudre est ´equivalente `a :
(x+1
2)2−(√5 2)2= 0
Or on reconnaˆıt la diff´erence de deux carr´es, on utilise donc a2−b2= (a+b)(a−b), et on
trouve :
(x+1
2+√5 2)(x+1 2−√5 2) = 0
5