Fonction exponentielle

Terminale S1
fonction exponentielle - exercices
(2013-2014)
Fonction exponentielle
Exercice 1 :
Simplifier les expressions suivantes :
a. exp(3) · exp(2) ;
b. exp(2) · exp(−2) ;
Exercice 2 :
Résoudre sur R les équations suivantes :
a. exp(x) = e ;
b. exp(−x) = 1 ;
d. e2x−1 = e3 ;
2
e. ex = 1 ;
c.
exp(x)
exp(3x)
;
d. (exp(x))3 .
c. exp(x) = −2 ;
f. e4x−1 = 2.
Exercice 3 :
Résoudre sur R les équations suivantes :
a. ex − e−x = 0 ;
b. ex + e−x = 0 ;
c. e2x + 3ex − 4 = 0.
Exercice 4 :
Résoudre sur R les inéquations suivantes :
x
b. e−x > 1 ;
a. e 2 < e ;
c. e−x+5 > ex .
Exercice 5 :
Résoudre sur R l’inéquation e2x − (1 + e)ex + e > 0.
Exercice 6 :
Soit f la fonction défiie sur R par f (x) = (ex − 1)2 et C sa courbe représentative.
1. Calculer les limites de f en +∞ et −∞. Interpréter graphiquement.
2. Étudier le sens de variation de f .
Exercice 7 :
2
Soit f la fonction défiie sur R par f (x) = xex .
1. Étudier la parité de f sur R.
2. Quel est le signe f ?
3. Calculer lim f (x). En déduire lim f (x).
x→+∞
x→−∞
4. Étudier le sens de variation de f .
Exercice 8 : R.O.C
ex
= +∞ .
Dans cet exercice, on veut démontrer que lim
x→+∞ x
2
On pose h(x) = ex − 1 + x + x2 pour tout x ∈ R. Calculer h′ (x) et h′′ (x), puis étudier le sens de
variation de h. Conclure.
Exercice 9 :
x
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x + 1−e
et on désigne par C sa courbe représentative.
1+ex
1. Montrer que la fonction f est impaire.
1/2
13 novembre 2013
Terminale S1
fonction exponentielle - exercices
(2013-2014)
2. Montrer que, pour x ∈ R, on a : f (x) = x + 1 −
2ex
ex +1
=x−1+
2
ex +1
.
3. Calculer les limites de f en +∞ et −∞.
4. Étudier les variations de la fonction f .
Exercice 10 :
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
1. Justifier que, pour x ∈ R, f (x) =
1
1+e−x
ex
ex +1
et C sa courbe représentative dans un repère (O ; #”
ı , #”
 ).
.
2. Calculer les limites de f en +∞ et −∞. Interpréter graphiquement.
3. Étudier les variations de f et tracer C.
4. Prouver que le point I 0 ; 12 est centre de symétrie pour C.
5. Déterminer une équation de la tangente T à C en I.
6. Pour x ∈ R, on pose ϕ(x) = 14 x + 12 − f (x) .
a) Prouver que ϕ′ (x) =
(ex −1)2
,
4(ex +1)2
∀x ∈ R.
b) En déduire le signe de ϕ(x).
c) Que peut-on en déduire ?
Exercice 11 :
1. Résoudre dans R l’équation (E) : ex − e−x = 0, et étudier le signe de D(x) = ex − e−x .
2. On considère la fonction f définie sur R∗ par f (x) =
dans un repère orthogonal.
ex +e−x
ex −e−x
et on désigne par C sa courbe représentative
a) Prouver que f est impaire.
b) calculer lim+ f (x).
x→0
c) Prouver que, pour x 6= 0, on a f (x) =
1+e−2x
1−e−2x
et en déduire la limite de f en +∞.
d) Justifier que C admet trois asymptotes.
Exercice 12 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On suppose que pour tout réel x, −f (x) 6 f ′ (x) 6 f (x).
On désigne par g et h les fonctions définies sur R par g(x) = ex f (x) et h(x) = e−x f (x).
1. Montrer que g et h sont dérivables sur R et déterminer leurs fonctions dérivées.
2. Montrer que g est une fonction croissante et que h est une fonction décroissante sur R.
3. Déduire que, si f (0) = 0, alors pour tout réel x, f (x) = 0.
2/2
13 novembre 2013