Fonction exponentielle

Terminale S1(2013-2014) fonction exponentielle - exercices
Fonction exponentielle
Exercice 1 :
Simplifier les expressions suivantes :
a. exp(3) ·exp(2) ; b. exp(2) ·exp(−2) ; c. exp(x)
exp(3x); d. (exp(x))3.
Exercice 2 :
R´esoudre sur Rles ´equations suivantes :
a. exp(x) = e ; b. exp(−x) = 1 ; c. exp(x) = −2;
d. e2x−1= e3; e. ex2= 1 ; f. e4x−1= 2.
Exercice 3 :
R´esoudre sur Rles ´equations suivantes :
a. ex−e−x= 0 ; b. ex+ e−x= 0 ; c. e2x+ 3ex−4 = 0.
Exercice 4 :
R´esoudre sur Rles in´equations suivantes :
a. e
x
2<e; b. e−x>1; c. e−x+5 >ex.
Exercice 5 :
R´esoudre sur Rl’in´equation e2x−(1 + e)ex+ e >0.
Exercice 6 :
Soit fla fonction d´efiie sur Rpar f(x) = (ex−1)2et C sa courbe repr´esentative.
1. Calculer les limites de fen +∞et −∞. Interpr´eter graphiquement.
2. ´ Etudier le sens de variation de f.
Exercice 7 :
Soit fla fonction d´efiie sur Rpar f(x) = xex2.
1. ´ Etudier la parit´e de fsur R.
2. Quel est le signe f?
3. Calculer lim
x→+∞
f(x). En d´eduire lim
x→−∞
f(x).
4. ´ Etudier le sens de variation de f.
Exercice 8 :R.O.C
Dans cet exercice, on veut d´emontrer que lim
x→+∞
ex
x= +∞.
On pose h(x) = ex−1 + x+x2
2pour tout x∈R. Calculer h′(x)et h′′ (x), puis ´etudier le sens de
variation de h. Conclure.
Exercice 9 :
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = x+1−ex
1+exet on d´esigne par C sa courbe repr´esentative.
1. Montrer que la fonction fest impaire.
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Terminale S1(2013-2014) fonction exponentielle - exercices
2. Montrer que, pour x∈R, on a : f(x) = x+ 1 −2ex
ex+1 =x−1 + 2 ex+1 .
3. Calculer les limites de fen +∞et −∞.
4. ´ Etudier les variations de la fonction f.
Exercice 10 :
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = ex
ex+1 et Csa courbe repr´esentative dans un rep`ere (O;#”
ı ,#” ).
1. Justifier que, pour x∈R,f(x) = 1
1+e−x.
2. Calculer les limites de fen +∞et −∞. Interpr´eter graphiquement.
3. ´ Etudier les variations de fet tracer C.
4. Prouver que le point I0 ; 1
2est centre de sym´etrie pour C.
5. D´eterminer une ´equation de la tangente T`a Cen I.
6. Pour x∈R, on pose ϕ(x) = 1
4x+1 2−f(x).
a) Prouver que ϕ′(x) = (ex−1)2
4(ex+1)2,∀x∈R.
b) En d´eduire le signe de ϕ(x).
c) Que peut-on en d´eduire ?
Exercice 11 :
1. R´esoudre dans Rl’´equation (E) : ex−e−x= 0, et ´etudier le signe de D(x) = ex−e−x.
2. On consid`ere la fonction fd´efinie sur R∗par f(x) = ex+e−x
ex−e−xet on d´esigne par C sa courbe repr´esentative
dans un rep`ere orthogonal.
a) Prouver que fest impaire.
b) calculer lim
x→0+f(x).
c) Prouver que, pour x6= 0, on a f(x) = 1+e−2x
1−e−2xet en d´eduire la limite de fen +∞.
d) Justifier que C admet trois asymptotes.
Exercice 12 :
Soit fune fonction d´efinie et d´erivable sur R. On suppose que pour tout r´eel x,−f(x)6f′(x)6f(x).
On d´esigne par get hles fonctions d´efinies sur Rpar g(x) = exf(x)et h(x) = e−xf(x).
1. Montrer que get hsont d´erivables sur Ret d´eterminer leurs fonctions d´eriv´ees.
2. Montrer que gest une fonction croissante et que hest une fonction d´ecroissante sur R.
3. D´eduire que, si f(0) = 0, alors pour tout r´eel x,f(x) = 0.
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