CH06 - Fiche d`exercices - Tivomaths

Première S
Janvier 2016
CH06 - Fiche d’exercices
Thème : Suites numériques (Partie 1).
I
Exercice 7.
On considère l’algorithme suivant :
Généralités
Exercice 1.
Calculer, dans chaque cas, u1 , u2 , . . ., u4 .
f) (T) un = (−2)n
Å ãn−1
1
g) un =
2
h) (T) un = 2n + (−1)n
a) un = 2n + 1
n+1
b) (T) un =
n+3
c) un = n2
d) un = (−1)n
√
e) (T) un = n + 1
i) un = 2 +
(−1)n+1
n
Exercice 2.
Dans chacun des cas suivants, exprimer un+1 , un−1 , un+2
et u3n+1 en fonction de n.
1. On saisit n = 6 et on applique cet algorithme. Dresser un tableau à deux lignes
(une pour i, l’autre pour u)
en y indiquant toutes les valeurs que prennent ces deux
lettres.
2. Cet algorithme affiche les termes d’une suite générée par
une relation de récurrence. Donner la définition de cette
suite et préciser les termes affichés par l’algorithme.
3. Coder cet algorithme à l’aide d’un tableur ou de la calculatrice.
a) un = 2n2 − 3
d) (T) un = −n2 + 5n
4. Modifier l’algorithme de sorte que seul le terme de rang
n soit affiché.
b) un = (−1)n
e) un =
5. À l’aide du programme, donner u17 et u26 .
c) (T) un =
n2 − 3n
n+2
f) (T) un = 2n−1
5n
n+1
Exercice 3.
La suite (un )n∈N est définie par u0 = 2 et par une relation
de récurrence. Dans chacun des cas suivants, calculer u1 , u2
et u3 .
a) un+1 = 6un + 1
2
b) (T) un+1 = (un ) − 1
c) un+1
2 + un
=
un − 1
2
+1
un
un+1
=
d) (T) un+1 =
e) √
(T)
un + 14
f) un+1 = f (un )
où f (x) = (x − 1)2
Exercice 4.
Exprimer un+1 en fonction de un sachant que pour tout
n∈N:
a) un = 4n − 1
b) un = n2
c) un = 3n−1
Exercice 5.
1. Représenter dans le plan les 6 premiers termes de la suite
(un )n∈N définie par :
∀ n ∈ N, un = f (n) où f : x ∈ R 7→ x2 − 4x + 3
II
Exercice 8.
Étudier les variations de chacune des suites (un )n∈N suivantes.
a) un = 2n2 − 1
b) (T) un = 2n − 3
3
c) un =
n+4
6+n
d) un =
(n > 1)
n
√
e) (T) un = n − 1
…
n
f) (T) un =
2
g) (T) un =
1)
5+n
(n >
n2
√
h) un = 1 − 2 n + 1
i) (T) un = 3n + 1
j) un = 0,3n × n
3n
(n > 1)
k) (T) un =
n
n+1
l) un =
0,3n
Exercice 9.
1. (T) Étudier la monotonie de la suite (un )n∈N telle que,
pour tout n ∈ N, un = n2 + 3n + 1.
2. Étudier la monotonie de la suite (vn )n∈N telle que v0 = 1
et ∀ n ∈ N, vn+1 = vn2 + 3vn + 2.
ß
Exercice 10.
v0 = −0,5
Soit (vn )n∈N la suite définie par
vn+1 = f (vn ) ,
1
où f (x) = − x2 + 2x + 2.
4
2. En utilisant les variations de f , montrer que la suite
(un )n∈N a un terme plus petit que tous les autres.
(
Exercice 6. (T)
v0 = 2 ;
1.
1
Soit (vn )n∈N la suite définie par
vn+1 = 7 − vn , ∀ n ∈ N.
2
En utilisant la droite d’équation y = x (i.e la première bissectrice), représenter les 5 premiers termes de (vn )n∈N sur 2.
l’axe des abscisses d’un r.o.n.
3.
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Monotonie, majorant, minorant
- 1/2 -
∀n ∈ N
À l’aide de la calculatrice (cf fiche calculatrices), dresser
un tableau de valeurs de (vn )n∈N pour n variant de 0 à
10. (on pourra arrondir les valeurs à 10−2 près)
La suite (vn )n∈N est-elle monotone ?
Montrer que 6 est un majorant de (vn )n∈N .
LATEX 2ε
Exercice 11.
2n − 1
Soit (wn )n∈N la suite telle que wn =
, ∀ n ∈ N.
n+1
1. Étudier le sens de variation de (wn )n∈N .
2. Montrer que, pour tout n ∈ N, wn ∈ [ −3 ; 2 ]. (On pourra
étudier le signe de wn + 3 et de wn − 2)
Que peut-on alors dire de (wn )n∈N ?
Exercice 12.
On considère la suite (un )n∈N définie par :
(
u0 = 18
1
un+1 = un + 3 , ∀ n ∈ N
2
b) En déduire que (un )n∈N est minorée.
5. Étudier la monotonie de (un )n∈N .
Soit (vn )n∈N la suite définie par vn = 6 +
12
.
2n
6. Calculer v0 , v1 , v2 et v3 . Émettre une conjecture.
1
7. Exprimer vn+1 et vn + 3 en fonction de n. Que peut-on
2
en déduire ?
1. Calculer u1 , u2 et u3 .
2. À l’aide de la calculatrice, calculer u4 , u5 ,. . .,u10 .
3. a) Montrer que si un est positif, alors un+1 est positif.
b) Quel est le signe de u0 ? Que peut-on en déduire ?
III
4. a) Montrer que si un > 6, alors un+1 > 6. (On pourra
étudier le signe de un+1 − 6)
ß
Exercice 13.
u = 0;
√
Soit (un )n∈N la suite définie par : 0
∀n ∈ N, un+1 = 6 + un .
1. Montrer, par récurrence sur n, que : ∀n ∈ N, 0 6 un < 3.
(On pourra étudier le signe de un − 3)
2. Prouver que (un )n∈N est strictement croissante.
Suites & Algorithmes
Exercice 14 (BAC S - Amérique du Nord - Juin 2015).
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (An ) par leurs coordonnées
(xn ; yn ) de la façon suivante :
ß
x0
y0
= −3
=
4
et pour tout entier naturel n,
ß
xn+1
yn+1
=
=
0,8xn − 0,6yn
0,6xn + 0,8yn
1. Déterminer les coordonnées des points A0 , A1 et A2 .
2. Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l’algorithme ci-dessous. Puis, à l’aide d’un tableur, on a obtenu
le nuage de points suivant.
5b
b
Variables :
Initialisation :
Traitement :
i, x, y et t sont des nombres réels
x prend la valeur −3
y prend la valeur 4
Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x ; y)
t prend la valeur x
x prend la valeur . . . .
y prend la valeur . . . .
Fin Pour
b
b
4
b
3
b
b
2
b
1
b
b
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
b
2
3
4
5b
6
7
−2
b
−3
b
b
−4
b
b
−5
b
b
−6
a) Compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0 à A20 .
b) Identifier les points A0 , A1 et A2 . On les nommera sur la figure.
c) Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?
d) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, OAn = 5.
e) Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
⋆ ⋆ ⋆
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LATEX 2ε