CH06 - Fiche d`exercices - Tivomaths

Premi` ere S Janvier 2016
CH06 - Fiche d’exercices
Th` eme : Suites num´ eriques (Partie 1).
I G´en´eralit´es
Exercice 1.
Calculer, dans chaque cas, u1,u2, . . ., u4.
a) un= 2n+ 1
b) (T) un=n+ 1
n+ 3
c) un=n2
d) un= (−1)n
e) (T) un=√n+ 1
f) (T) un= (−2)n
g) un=Å1
2ãn−1
h) (T) un= 2n+ (−1)n
i) un= 2 + (−1)n+1
n
Exercice 2.
Dans chacun des cas suivants, exprimer un+1,un−1,un+2
et u3n+1 en fonction de n.
a) un= 2n2−3
b) un= (−1)n
c) (T) un=5n
n+ 1
d) (T) un=−n2+ 5n
e) un=n2−3n
n+ 2
f) (T) un= 2n−1
Exercice 3.
La suite (un)n∈Nest d´efinie par u0= 2 et par une relation
de r´ecurrence. Dans chacun des cas suivants, calculer u1,u2
et u3.
a) un+1 = 6un+ 1
b) (T) un+1 = (un)2−1
c) un+1 =2 + un
un−1
d) (T) un+1 =2
un
+ 1
e) (T) un+1 =
√un+ 14
f) un+1 =f(un)
o`u f(x) = (x−1)2
Exercice 4.
Exprimer un+1 en fonction de unsachant que pour tout
n∈N:
a) un= 4n−1
b) un=n2
c) un= 3n−1
Exercice 5.
1. Repr´esenter dans le plan les 6 premiers termes de la suite
(un)n∈Nd´efinie par :
∀n∈N, un=f(n)o`u f:x∈R7→ x2−4x+ 3
2. En utilisant les variations de f, montrer que la suite
(un)n∈Na un terme plus petit que tous les autres.
Exercice 6. (T)
Soit (vn)n∈Nla suite d´efinie par (v0= 2 ;
vn+1 = 7 −1
2vn,∀n∈N.
En utilisant la droite d’´equation y=x(i.e la premi`ere bis-
sectrice), repr´esenter les 5 premiers termes de (vn)n∈Nsur
l’axe des abscisses d’un r.o.n.
Exercice 7.
On consid`ere l’algorithme suivant :
1. On saisit n= 6 et on ap-
plique cet algorithme. Dres-
ser un tableau `a deux lignes
(une pour i, l’autre pour u)
en y indiquant toutes les va-
leurs que prennent ces deux
lettres.
2. Cet algorithme affiche les termes d’une suite g´en´er´ee par
une relation de r´ecurrence. Donner la d´efinition de cette
suite et pr´eciser les termes affich´es par l’algorithme.
3. Coder cet algorithme `a l’aide d’un tableur ou de la cal-
culatrice.
4. Modifier l’algorithme de sorte que seul le terme de rang
nsoit affich´e.
5. ` A l’aide du programme, donner u17 et u26.
II Monotonie, majorant, minorant
Exercice 8.
´
Etudier les variations de chacune des suites (un)n∈Nsui-
vantes.
a) un= 2n2−1
b) (T) un= 2n−3
c) un=3
n+ 4
d) un=6 + n
n(n>1)
e) (T) un=√n−1
f) (T) un=…n
2
g) (T) un=5 + n
n2(n>
1)
h) un= 1 −2√n+ 1
i) (T) un= 3n+ 1
j) un= 0,3n×n
k) (T) un=3n
n(n>1)
l) un=n+ 1
0,3n
Exercice 9.
1. (T) ´ Etudier la monotonie de la suite (un)n∈Ntelle que,
pour tout n∈N,un=n2+ 3n+ 1.
2. ´ Etudier la monotonie de la suite (vn)n∈Ntelle que v0= 1
et ∀n∈N, vn+1 =v2
n+ 3vn+ 2.
Exercice 10.
Soit (vn)n∈Nla suite d´efinie par ßv0=−0,5
vn+1 =f(vn),∀n∈N
o`u f(x) = −1
4x2+ 2x+ 2.
1. ` A l’aide de la calculatrice (cf fiche calculatrices), dresser
un tableau de valeurs de (vn)n∈Npour nvariant de 0`a
10. (on pourra arrondir les valeurs `a 10−2pr`es)
2. La suite (vn)n∈Nest-elle monotone ?
3. Montrer que 6est un majorant de (vn)n∈N.
Corrig´e disponible sur http://tivomaths.free.fr/ - 1/2-L
A
T
E
X 2ε

Exercice 11.
Soit (wn)n∈Nla suite telle que wn=2n−1
n+ 1 ,∀n∈N.
1. ´ Etudier le sens de variation de (wn)n∈N.
2. Montrer que, pour tout n∈N,wn∈[−3 ; 2 ]. (On pourra
´etudier le signe de wn+ 3 et de wn−2)
Que peut-on alors dire de (wn)n∈N?
Exercice 12.
On consid`ere la suite (un)n∈Nd´efinie par :
(u0= 18
un+1 =1
2un+ 3 ,∀n∈N
1. Calculer u1,u2et u3.
2. ` A l’aide de la calculatrice, calculer u4,u5,. . .,u10.
3. a) Montrer que si unest positif, alors un+1 est positif.
b) Quel est le signe de u0? Que peut-on en d´eduire ?
4. a) Montrer que si un>6, alors un+1 >6. (On pourra
´etudier le signe de un+1 −6)
b) En d´eduire que (un)n∈Nest minor´ee.
5. ´ Etudier la monotonie de (un)n∈N.
Soit (vn)n∈Nla suite d´efinie par vn= 6 + 12
2n.
6. Calculer v0,v1,v2et v3.´ Emettre une conjecture.
7. Exprimer vn+1 et 1
2vn+ 3 en fonction de n. Que peut-on
en d´eduire ?
Exercice 13.
Soit (un)n∈Nla suite d´efinie par : ßu0= 0 ;
∀n∈N, un+1 =√6 + un.
1. Montrer, par r´ecurrence sur n, que : ∀n∈N,06un<3.
(On pourra ´etudier le signe de un−3)
2. Prouver que (un)n∈Nest strictement croissante.
III Suites & Algorithmes
Exercice 14 (BAC S - Am´erique du Nord - Juin 2015).
On se place dans un rep`ere orthonorm´e et, pour tout entier naturel n, on d´efinit les points (An)par leurs coordonn´ees
(xn;yn)de la fa¸con suivante :
ßx0=−3
y0= 4 et pour tout entier naturel n, ßxn+1 = 0,8xn−0,6yn
yn+1 = 0,6xn+ 0,8yn
1. D´eterminer les coordonn´ees des points A0, A1et A2.
2. Pour construire les points Anainsi obtenus, on ´ecrit l’algorithme ci-dessous. Puis, `a l’aide d’un tableur, on a obtenu
le nuage de points suivant.
Variables : i,x,yet tsont des nombres r´eels
Initialisation : xprend la valeur −3
yprend la valeur 4
Traitement : Pour iallant de 0 `a 20
Construire le point de coordonn´ees (x;y)
tprend la valeur x
xprend la valeur . . . .
yprend la valeur . . . .
Fin Pour
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1234567−1−2−3−4−5−6−7
a) Compl´eter cet algorithme pour qu’il construise les points A0`a A20 .
b) Identifier les points A0, A1et A2. On les nommera sur la figure.
c) Quel semble ˆetre l’ensemble auquel appartiennent les points Anpour tout nentier naturel ?
d) Montrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n,OAn= 5.
e) Quelle interpr´etation g´eom´etrique peut-on faire de ce r´esultat ?
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Corrig´e disponible sur http://tivomaths.free.fr/ - 2/2-L
A
T
E
X 2ε