Exercices régimes transitoires
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Exercices régimes transitoires Exercice 1 1. Écrire les équations différentielles pour les circuits électriques représentés ci­dessous : Colonne de gauche : l'interrupteur K, initialement ouvert, est fermé à l'instant t = 0 . Colonne de droite : l'interrupteur K, initialement fermé, est ouvert à l'instant t = 0 . L'inconnue est uc(t), U = 200 V, R = 10 Ω L'inconnue est uC(t), I = 10 A et R = 20 Ω L'inconnue est i(t), U = 150 V, R = 30 Ω L'inconnue est iL(t), I = 15 A, R = 30 Ω 2. Déduire des équations précédentes les expressions littérales des constantes de temps de chaque circuit. 3. Pour chaque situation précédente, déterminer les valeurs atteintes en régime établi avec les valeurs proposées. Exercice 2 Déterminer graphiquement les constantes de temps des dispositifs dont les réponses indicielles sont représentées ci­contre et ci­dessous. Exercices régimes transitoires Page 1 sur 6 TS2 ET 2014­2015 Exercice 3 1. La constante de temps du circuit ci­contre s'écrit : = R = C C R = =RC 1 RC 2. La constante de temps du circuit ci­contre s'écrit : = R = L L R =RL = 1 RL 3. Pour le dispositif représenté ci­contre, l'intensité en régime établi est égale à : 10 A 100 A 0 A elle dépend de la valeur de l'inductance U = 200 V et R = 20 Ω 4. Pour le dispositif représenté ci­contre, l'intensité en régime établi est égale à : 1 A 0 A 30 A Impossible à déterminer U = 30 V et R = 1 Ω 5. L'interrupteur K est fermé à l'instant t = 0, parmi les graphes ci­dessous et ceux de la page suivante, lequel peut correspondre à l'évolution de la tension aux bornes de la résistance ? U = 20 V, R = 10 Ω et L = 100 mH. a. Exercices régimes transitoires b. Page 2 sur 6 TS2 ET 2014­2015 c. d. Exercice 4 On considère le montage ci­contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant i(t), la dérivée de i(t), u(t), R et L. 2. En déduire l'expression de la constante de temps en fonction de R et L. La tension u(t) est nulle pour t négatif et égale à 100 V si t est positif. 3. Déterminer la valeur de i(t) en régime établi à partir du graphe ci­dessous. 4. La solution de l'équation différentielle est de la forme −t it =A e B a. Quelle est la valeur de B ? b. Déterminer la constante A à partir des conditions initiales. 5. Le graphe ci­contre représente l'évolution de i(t). Déterminer la constante de temps et en déduire la valeur de l'inductance L. Exercice 5 : Variation du couple résistant sur l’arbre d’un moteur à courant continu Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous une tension U constante et égale à 220 V. La charge mécanique accouplée sur l’arbre présente un couple résistant de moment noté Cr. Caractéristiques du moteur : Résistance de l’induit : R = 4 W, constante de couple : KF = 1,6 N.m/A, l’inductance de l’induit est négligée. Le groupe tournant présente un moment d’inertie J = 0,28 kg.m². 1. Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation entre I (intensité du courant dans l’induit), KF , Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W. 2. À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, KF et W. 3. Déduire des deux relations précédentes l’équation différentielle reliant W (et d t ) avec Cr et les dt éléments caractéristiques du moteur et de la charge. Exercices régimes transitoires Page 3 sur 6 TS2 ET 2014­2015 4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour Cr = Cr1 = 6 N.m puis Cr = Cr2 = 10 N.m. À l’instant t = 0, le moment du couple résistant passe de Cr1 à Cr2. La solution de l’équation différentielle de −t la question 3 est de la forme t = Ae B . 5. Déterminer la constante de temps t à partir de l’équation différentielle. 6. Donner la valeur numérique de B puis déterminer la constante A. 7. Représenter l’évolution de W en fonction du temps. Exercice 6 : Étude du courant dans la charge d’un hacheur série On considère le dispositif représenté ci­contre (les composants sont supposés parfaits) : K est commandé à la fermeture de 0 à αT et à l’ouverture de αT à T. i(t) L 1. Indiquer la valeur de u(t) entre 0 et αT puis entre αT et T (la conduction est ininterrompue). 2. Établir l’équation différentielle reliant u(t), i(t) et les éléments du montage. Déterminer l’expression littérale de la constante de temps τ. E U u(t) R 3. Étude entre 0 et αT t La solution de l’équation différentielle est de la forme it =A e− B 1 1 a. Représenter le schéma équivalent du montage. i(t) b. Pour le schéma représenté ci contre : exprimer i(t) en fonction de U, E et R. En déduire la valeur de B1. U c. Pour t = 0, i(0) = Imin. Déterminer l’expression de A1. L E u(t) R d. Écrire la solution de l’équation différentielle sur cet intervalle de temps. 4. Étude entre αT et T t La solution de l’équation différentielle est de la forme it =A e− B . 2 2 a. Représenter le schéma équivalent du montage. b. Pour ce schéma, exprimer i(t) en fonction de U, E et R. En déduire la valeur de B2. c. Pour t = αT, i(αT) = Imax. Déterminer l’expression de A2. d. Écrire la solution de l’équation différentielle sur cet intervalle de temps. 5. Détermination de Imax a. À partir de l’équation trouvée à la question 3.d, trouver une relation entre Imin et Imax, les éléments du montage et α et T. b. À partir de l’équation trouvée à la question 4.d, trouver une autre relation entre Imin et Imax, les éléments du montage et α et T. c. Déduire de ce qui précède une relation entre Imax, E, R, α, et T. Exercices régimes transitoires Page 4 sur 6 TS2 ET 2014­2015 Exercice 7 On considère le circuit RLC ci­contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant uc(t) et ses dérivées première et seconde, R, L, C et u(t). 2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des éléments du circuit. 3. Pour quelle valeur Rc de R obtient­on le régime critique ? Quelle est l'allure de la réponse à un échelon si R = 3000 W ? L = 150 mH, C = 470 nF 4. On relève l'évolution de uc(t) lorsque u(t) est un échelon de 0 à 10 V pour R = 500 W et R = 1000 W. Parmi les trois graphes suivants : • Lequel (ou lesquels) ne correspond pas à cette évolution ? • Lequel (ou lesquels) correspond au régime pseudo­périodique ? • Lequel (ou lesquels) correspond au régime apériodique ? • Lequel correspond à 500 W ? à 1000 W ? Exercice 8 On considère le circuit RLC ci­contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant iL(t) et ses dérivées première et seconde, R, L, C et i(t). 2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des éléments du circuit. 3. Pour quelle valeur Rc de R obtient­on le régime critique ? L = 0,15 H, C = 470 nF 4. Comment évolue le facteur d'amortissement lorsque R augmente ? 5. i(t) est un échelon de 0 à 10 A, quelle sera la valeur de iL(t) en régime établi ? Exercices régimes transitoires Page 5 sur 6 TS2 ET 2014­2015 Exercice 9 Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous tension U réglable. La charge mécanique accouplée sur l'arbre présente un couple résistant constant de moment noté Cr (le moment du couple de pertes est négligé). Caractéristiques du moteur : • Résistance de l'induit : 2,5 W • Constante de couple : KF = 16,7 10­2 N.m • Moment d'inertie du groupe : J = 5890 g.cm2 Une inductance L est placée dans le circuit de l'induit. 1. Équation mécanique Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation entre I (intensité du courant dans l'induit), KF, Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W (en rad/s). 2. Équation électrique À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, L, KF et la vitesse de rotation W (l'inductance du circuit d'induit n'est pas négligeable). 3. Équation différentielle pour la vitesse de rotation a. Extraire l'expression de I de l'équation de la question 1. b. À partir de cette expression et de l'équation de la question 2, montrer que l'équation différentielle 2 R.C r RJ d LJ d =U − permettant de déterminer la vitesse de rotation s'écrit K 2 K dt K dt K c. Mettre l'équation précédente sous la forme normalisée et exprimer la pulsation propre et le coefficient d'amortissement en fonction des caractéristiques de la machine. Calculer ces deux éléments pour une inductance de 40 mH puis 100 mH. 4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour une tension d'induit de 30 V puis 60 V si le couple résistant est égal à 1,2 N.m. 5. Les courbes suivantes représentent la réponse à un échelon de 30 V à 60 V pour 40 mH puis 100 mH. a. Quelle courbe correspond à 100 mH (les axes verticaux sont gradués en rad/s) ? b. Si l'induit du moteur est alimenté par un redresseur commandé, quel est l'avantage de placer une bobine de lissage d'inductance élevée en série avec l'induit ? Quel est l'inconvénient ? Exercices régimes transitoires Page 6 sur 6 TS2 ET 2014­2015
