Exercices régimes transitoires

Exercices régimes transitoires
Exercice 1
1. Écrire les équations différentielles pour les circuits électriques représentés ci-dessous :
Colonne de gauche : l'interrupteur K, initialement ouvert, est fermé à l'instant t = 0 .
Colonne de droite : l'interrupteur K, initialement fermé, est ouvert à l'instant t = 0 .
L'inconnue est uc(t), U = 200 V, R = 10 ΩL'inconnue est uC(t), I = 10 A et R = 20 Ω
L'inconnue est i(t), U = 150 V, R = 30 ΩL'inconnue est iL(t), I = 15 A, R = 30 Ω
2. Déduire des équations précédentes les expressions littérales des constantes de temps de chaque circuit.
3. Pour chaque situation précédente, déterminer les valeurs atteintes en régime établi avec les valeurs
proposées.
Exercice 2
Déterminer graphiquement les constantes de temps
des dispositifs dont les réponses indicielles sont
représentées ci-contre et ci-dessous.
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Exercice 3
1. La constante de temps du circuit ci-contre s'écrit :
=R
C
=C
R
=RC
= 1
RC
2. La constante de temps du circuit ci-contre s'écrit :
= R
L
= L
R
=RL
= 1
RL
3. Pour le dispositif représenté ci-contre, l'intensité en régime
établi est égale à :
10 A 100 A 0 A elle dépend de la valeur de l'inductance
U = 200 V et R = 20 Ω
4. Pour le dispositif représenté ci-contre, l'intensité en régime
établi est égale à :
1 A 0 A 30 A Impossible à déterminer
U = 30 V et R = 1 Ω
5. L'interrupteur K est fermé à l'instant t = 0, parmi les graphes
ci-dessous et ceux de la page suivante, lequel peut
correspondre à l'évolution de la tension aux bornes de la
résistance ?
U = 20 V, R = 10 Ω et L = 100 mH.
a. b.
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c. d.
Exercice 4
On considère le montage ci-contre.
1. Établir l'équation différentielle reliant i(t), la dérivée de i(t),
u(t), R et L.
2. En déduire l'expression de la constante de temps en fonction
de R et L.
La tension u(t) est nulle pour t négatif et égale à 100 V si t est positif.
3. Déterminer la valeur de i(t) en régime établi à partir du graphe ci-dessous.
4. La solution de l'équation différentielle est de la forme
it=A e
−t
B
a. Quelle est la valeur de B ?
b. Déterminer la constante A à partir des conditions
initiales.
5. Le graphe ci-contre représente l'évolution de i(t).
Déterminer la constante de temps et en déduire la valeur de
l'inductance L.
Exercice 5 : Variation du couple résistant sur l’arbre d’un moteur à courant continu
Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous une tension U constante et égale
à 220 V. La charge mécanique accouplée sur l’arbre présente un couple résistant de moment noté Cr.
Caractéristiques du moteur :
Résistance de l’induit : R = 4 W, constante de couple : KF = 1,6 N.m/A, l’inductance de l’induit est négligée.
Le groupe tournant présente un moment d’inertie J = 0,28 kg.m².
1. Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation
entre I (intensité du courant dans l’induit), KF , Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W.
2. À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, KF et W.
3. Déduire des deux relations précédentes l’équation différentielle reliant W (et
dt
dt
) avec Cr et les
éléments caractéristiques du moteur et de la charge.
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4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour Cr = Cr1 = 6 N.m puis Cr = Cr2 = 10 N.m.
À l’instant t = 0, le moment du couple résistant passe de Cr1 à Cr2. La solution de l’équation différentielle de
la question 3 est de la forme
 t= Ae
−t
B
.
5. Déterminer la constante de temps t à partir de l’équation différentielle.
6. Donner la valeur numérique de B puis déterminer la constante A.
7. Représenter l’évolution de W en fonction du temps.
Exercice 6 : Étude du courant dans la charge d’un hacheur série
On considère le dispositif représenté ci-contre (les composants sont supposés parfaits) :
K est commandé à la fermeture de 0 à αT et à l’ouverture de αT à T.
1. Indiquer la valeur de u(t) entre 0 et αT puis entre αT et T (la
conduction est ininterrompue).
2. Établir l’équation différentielle reliant u(t), i(t) et les éléments du
montage. Déterminer l’expression littérale de la constante de
temps τ.
u(t)
L
U
E
R
i(t)
3. Étude entre 0 et αT
La solution de l’équation différentielle est de la forme
it=A1e−t
B1
a. Représenter le schéma équivalent du montage.
b. Pour le schéma représenté ci contre : exprimer i(t) en fonction
de U, E et R. En déduire la valeur de B1.
c. Pour t = 0, i(0) = Imin. Déterminer l’expression de A1.
d. Écrire la solution de l’équation différentielle sur cet intervalle
de temps.
4. Étude entre αT et T
u(t)
L
U
E
R
i(t)
La solution de l’équation différentielle est de la forme
it=A2e−t
B2
.
a. Représenter le schéma équivalent du montage.
b. Pour ce schéma, exprimer i(t) en fonction de U, E et R. En déduire la valeur de B2.
c. Pour t = αT, i(αT) = Imax. Déterminer l’expression de A2.
d. Écrire la solution de l’équation différentielle sur cet intervalle de temps.
5. Détermination de Imax
a. À partir de l’équation trouvée à la question 3.d, trouver une relation entre Imin et Imax, les éléments du
montage et α et T.
b. À partir de l’équation trouvée à la question 4.d, trouver une autre relation entre Imin et Imax, les éléments
du montage et α et T.
c. Déduire de ce qui précède une relation entre Imax, E, R, α, et T.
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Exercice 7
On considère le circuit RLC ci-contre.
1. Établir l'équation différentielle reliant uc(t) et ses dérivées
première et seconde, R, L, C et u(t).
2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation
propre en fonction des éléments du circuit.
3. Pour quelle valeur Rc de R obtient-on le régime critique ?
Quelle est l'allure de la réponse à un échelon si R = 3000 W ? L = 150 mH, C = 470 nF
4. On relève l'évolution de uc(t) lorsque u(t) est un échelon de 0 à 10 V pour R = 500 W et R = 1000 W.
Parmi les trois graphes suivants :
•Lequel (ou lesquels) ne correspond pas à cette
évolution ?
•Lequel (ou lesquels) correspond au régime
pseudo-périodique ?
•Lequel (ou lesquels) correspond au régime
apériodique ?
•Lequel correspond à 500 W ? à 1000 W ?
Exercice 8
On considère le circuit RLC ci-contre.
1. Établir l'équation différentielle reliant iL(t) et ses dérivées
première et seconde, R, L, C et i(t).
2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre
en fonction des éléments du circuit.
3. Pour quelle valeur Rc de R obtient-on le régime critique ?
L = 0,15 H, C = 470 nF
4. Comment évolue le facteur d'amortissement lorsque R augmente ?
5. i(t) est un échelon de 0 à 10 A, quelle sera la valeur de iL(t) en régime établi ?
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